Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
1. Случайные и достоверные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности.
2. Общее определение вероятности: аксиомы Колмогорова.
3. Теоремы сложения. Условная вероятность и независимость.
4. Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формула Бейеса.
5. Случайные величины- дискретные и непрерывные. Функция распределения и ее свойства.
6. Плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины.
7. Числовые характеристики случайных величин (и их вероятностный смысл): математическое ожидание; дисперсия и среднее квадратическое отклонение; мода и медиана; коэффициент вариации; асимметрия, эксцесс.
· Биномиальное распределение и его числовые характеристики. Схема Бернулли-схема формирования биномиальной случайной величины. Формула Бернулли. Теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.
· Гипергеометрическое распределение и его числовые характеристики. Урновая схема- схема формирования гипергеометрического распределения.
· Распределение Пуассона и его числовые характеристики.
· Равномерное и показательное распределения. Числовые характеристики.
· Нормальное распределение. Правило 3 сигм.
9.. Предельные теоремы: Закон больших чисел; центральная предельная теорема.
10. Зависимость случайных величин: ковариация и корреляция.
ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Первичная обработка данных. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма. 2. Выборочные оценки числовых характеристик.
3. Теория оценивания. Точечные оценки и их свойства: несмещенность; состоятельность;
4. Оценки максимального правдоподобия и их свойства.
5. Доверительные интервалы для средней и дисперсии нормальной генеральной совокупности. 6. Доверительные интервалы для неизвестной вероятности.
7. Проверка гипотез. Общая схема проверки гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. F,T- критерии. 8.c 2
-критерий.
Таблица выбора заданий по вариантам для выполнения контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Номер варианта соответствует последней цифре в № зачетки
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
При выполнении контрольных работ (далее К.Р.) необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Каждая К.Р. выполняется в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной не менее 2 см для замечаний рецензента.
2. Внешнее оформление К.Р.: на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы; название дисциплины; номер контрольной работы; вариант; название учебного заведения; проставлена дата ее выполнения и подпись студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по соответствующему варианту. В случае не выполнения этого требования ставится «незачет».
4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
5. К.р. представляется не позднее установленных сроков. В случае не выполнения этого требования проверка К.Р. производится в неустановленные сроки (после сессии).
6. Если К.Р. «не зачтена», то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями, данными в рецензии, и с надписью «повторная», сдать на проверку, приложив рецензию к работе.
7. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
8. К.Р. с оценкой «зачет» обязательно представляется на экзамене (зачете).
!!! Экзамен (зачет) начинается с проверки знаний студента по выполненной К.Р.. Если при этом обнаруживается не самостоятельность выполнения К.Р. и непонимания студентом смысла проведенных операций, то экзаменатор ставит «незачет», аннулируя предварительный «зачет» К.Р., а в ведомость оценку «неудовлетворительно» по данной дисциплине.
1. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) два; б)меньше пяти.
2. В ящике находится 90 красных и 15 черных шаров. Наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он а) красный, б) белый, в) черный.
3. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б) меньше трех.
4. Случайным образом выбирается число из множества {12,20,32,41,53,64,72,86}. Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 2.
5. Студент знает 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент а) знает б) не знает.
6. Из колоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, что а) эта туз; б) дама черви или король черви.
7. Из слова " вероятность " наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что это будет а) буква "В"; б) согласная буква.
8. В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Какова вероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.
9. В магазин поступило 150 цветных телевизоров, среди которых 50 фирмы Самсунг. Некто случайным образом покупает телевизор. Какова вероятность, что он от фирмы Самсунг.
10. Набирая номер телефона, забыли последнюю цифру. Какова вероятность того, что набирая ее случайным образом, правильно наберем номер. Как изменится эта вероятность, если дополнительно известно, что это четная цифра.
ЗАДАНИЕ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Для определения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий. При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, что произведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.
2. Обследование показало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительно приобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а) приобретет товар б) не приобретет товар.
3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность, что стрелок поразит мишень.
4. Из 500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность, что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000 часов без поломок.
5. За последние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара повысится.
6. Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.
7. Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Какова вероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.
8. При аттестации 100 сотрудников неаттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.
9. Относительная частота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет 0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?
10.Из 1000 проверенных изделий оказалось, что 130 из них - "подделки". Какова вероятность, что приобретенный товар является "подделкой"?
ЗАДАНИЕ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
1. Технологический процесс контролируется тремя независимо работающими приборами, вероятности отказа которых 0,1;0,1;0,2 соответственно. Определите вероятность выхода из строя хотя бы одного прибора.
2. Вероятность того, что на торговую площадку в течении минуты придет одно сообщению равна 0,3, то, что два равна 0,15, то, что три сообщения - 0,05. Какова вероятность того, что в течении следующей минуты придет от одного до трех сообщений включительно.
3. Вероятность того, что индекс N ценной бумаги А возрастет равна 0,4, а для ценной бумаги В эта вероятность равна 0,3. Вероятность того, что индекс N возрастет одновременно для обоих ценных бумаг равна 0,15. Какова вероятность того, что а) индекс N возрастет хотя бы для одной ценной бумаги; б) индекс N не возрастет ни у одной ценной бумаги.
4. Вероятность того, что студент изучает английский равна 0,8, а немецкий 0,3. Вероятность того, что студент изучает оба языка равна 0,2. Найти вероятность того, что случайно взятый студент а) изучает хотя бы один язык; б) не изучает ни одного.
5. Вероятность того, что станок А выйдет из строя в течении смены равна 0,1, а для станка В-0,05. Вероятность того, что оба станка выйдут из строя в течении смены - 0,01. Найти вероятность того, что в течении смены а) выйдет из строя хотя бы один станок; б) не выйдут из строя оба станка.
6. Рабочий обслуживает три станка, вероятности отказа станков в течении смены р 1
=0,4; р 2
=0,25; р 3
=0,15 соответственно. Найти вероятность того, что в течении смены откажут ровно два станка.
7. В условиях предыдущей задачи положить p 1
=0,45; p 2
=0,1, p 3
=0,35.
8. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих датчика, вероятности отказа которых p 1
=0,2 и p 2
=0,1. Найти вероятность того, что при отказе сработает ровно один датчик.
9. В урне находится n=10 красных и m=20 белых шара. Из урны без возвращения вынимают три шара. Какова вероятность того, что среди них два белых. При решении использовать теоремы сложения и умножения.
10.В условиях предыдущей задачи положить n=20, m=40.
ЗАДАНИЕ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА
1. В магазин поступили телевизоры с двух заводов в соотношении 30% с завода №1 и 70% с завода №2. Продукция завода №1 содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, а завода №2-10%. Найти вероятность того, что купленный телевизор содержит скрытый дефект.
2. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. Известно, что купленный телевизор оказался со скрытым дефектом. Требуется найти вероятность того, что он произведен на заводе №2.
3. В урне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1 черный шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?
4. В условиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый. Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2.
5. Известно, что 5% всех мужчин и 3% всех женщин - дальтоники. В группе из 100 человек 60 мужчин и 40 женщин. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек - дальтоник.
6. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи и предположим, что выбранный человек - дальтоник. Какова вероятность, что это женщина.
7. Вероятность того, что "хороший" эксперт оценит неправильно ценную бумагу равна 0,05, эта вероятность для "среднего" эксперта 0,15. В конторе работает 5 "хороших" и 3 "средних" эксперта. Для оценки ценной бумаги случайным образом выбран эксперт. Найти вероятность того, что ценная бумага будет оценена неправильно.
8. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. И пусть известно, что ценная бумага оценена неправильно. Какова вероятность того, что ошибку допустил "хороший" эксперт.
9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее на удачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
10.В условиях предыдущей задачи стало известно, что деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1.
ЗАДАНИЕ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В следующих задача дискретная случайная величина задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
В следующих задачах непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятности:
Требуется вычислить константу А и математическое ожидание Х. Найти вероятность Р(с9,то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.
j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);
б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.
здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице.
Пример 10.
Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:
а) ровно 3 ошибки; б) от 2 до 4 ошибок включительно.
Решение:
Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001. Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:
Пример 11.
С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности: а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).
Решение:
Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (МХ=1,5) находим, что l=1,5.Числовые характеристики Х равны
МХ=l=1,5 ; DХ=l=1,5; среднее квадратическое отклонение
Моду с.в. Х найдем по таблице: Мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность.а) По таблице находим Р(Х=0)=0,22313; б)
в) Р(Х>7)=0,00017.Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.
Пример 12.
Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.
Решение:
Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):
k=0,1,2,..., q=1-p. В нашем случае: N=6+4=10 - общее число шаров в урне; n=3 - число шаров, которые достаются из урны; Np=6 - количество черных шаров, Þp=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);
Nq=4 - число белых шаров,Þq=0,4. Итак:
Числовые характеристики с.в. Х равны MX=n×p=3×0,6=1,8 ;
Пример 13.
С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1t кр
, то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.
Пример 24.
Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).
Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?
Решение:
Выберем уровень значимости a=0,05. Если гипотеза Н 0
: сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в таблицу.
Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости a=0,05 по таблице 7 приложения находим , то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.
Пример_25.
Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:
Решение:
Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем a=0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и s 2
, то оценим их по выборке, объем которой равен: n=2+4+8+12+16+10+3=55.
Для удобства вычисления статистики будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие
Здесь Р i
- вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал D i
при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; s 2
=8,53 (s=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:
Значения в V столбце вычисляются так:
Значения в VI столбце вычисляются так:
Тогда сумма VI столбца даст значение Теперь найдем по таблице 7 приложения при уровне значимости a=0,1. Т.к. после объединения интервалов у нас осталось r=5- интервалов и по выборке мы оценили два (S=2) параметра а и s, то для нахождения параметр число степеней свободы будет равен k=r-s-1=5-2-1=2. Тогда Так как (т.е. 0,928<4,61), то гипотезу о нормальном распределении можно принять.
Пример_26.
Построить линию регрессии в виде Можно ли использовать ее в дальнейших прогнозах?
Решение:
Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид , где -условная средняя (при фиксированным х); -выборочные средние; -несмещенные оценки дисперсии; r B
- выборочный коэффициент корреляции: .
n=6, т.к. наблюдалось 6 точек вида (x i
;y i
);
S x
=3 ; S y
=9,06 ; =4×0,5+5×4,2+8×12,7+8×13,6+10×19,2+12××24,8=723
r B
=(723-6×7,83×12,5)/(6×3×9,06)=0,832.
Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, т.е. H 0
:r=0, H 1
:r¹0.
По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=n-2=6-2=4 из таблицы находим двухстороннюю критическую область t кр
=2,776. Так как ½t наб
½>t кр
, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем, т.е. считаем, что r¹0.
Найдем, коэффициент детерминации Так как R 2
<0,75 (0,75-шаблонное значение), то уравнением регрессии пользоваться не рекомендуется. В дальнейшем, т.к. зависимость между X и Y существует (r¹0), следует либо изменить вид зависимости, либо увеличить число наблюдений и провести анализ зависимости снова.
Таблица 1. Плотность стандартного нормального распределения
1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М: Финансы и статистика., 1983г.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1999г.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1999г.
4. Ковалев Е.А. Вероятность и статистика. Тольятти, 2003г.
5. Ковалев Е.А. Задачник по теории вероятностей. Тольятти, 2002г.
6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юнита, 2001 г.
Название: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие
Добавлен 01:43:19 26 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 4202
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
( заштрихованная площадь под кривой равна значению функции Лапласа )
Таблица 5. Распределение Стьюдента ( t-распределение).
(k-степени свободы, - заданная вероятность )
(В таблицах по заданным находятся
)
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
Реферат: Your Mother Rocks In Bed Bitch Essay
Реферат: Современное состояние малого бизнес в Приморском крае
Реферат Объективные Тенденции Формирования Национальной Модели Экономики
Реферат: Колумбия: ожидание мира
Реферат: Классификация и производство отливок из хладостойкой стали. Отливки из магниевых сплавов
Контрольная работа по теме Сучасні технології навчання іноземної мови у дошкільному закладі
Реферат: Good Neighbor Policy Essay Research Paper The
Реферат по теме Архитектура современных суперЭВМ
Контрольная работа по теме Банковская система и создание денег
Доклад по теме Электробезопасность
Координационные Способности И Методика Их Развития Реферат
Контрольная работа: Макс Вебер и бюрократия. Западноевропейская модель менеджмента. Человеческий фактор в управленче
Реферат: Формирование образа Кавказа в российской общественной мысли (конец XVIII – середина XIX вв.)
Реферат Воспитания Детей Дошкольного Возраста
Сочинение Почему Плохо Быть Равнодушным
Сочинение По Картине Золотая Осень Художника Остроухова
Реферат по теме Кровотечения и способы их остановки
Курсовая работа по теме Самооценка детей-сирот с задержкой психического развития
Реферат по теме Эмоциональная и волевая сферы личности
Гдз Александрова Контрольная Работа
Доклад: Льюис Кэрролл
Доклад: Сексуальные суеверия
Реферат: Феноменологический подход в психологии: история и перспективы (по работам Э. Гуссерля)