Учебное пособие: Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Ульяновский государственный университет
Кафедра алгебро-геометрических вычислений
Методические указания для студентов факультета математики
и информационных технологий и факультета управления
Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы. Ульяновск: УлГУ.-2007.
Методические указания составлены в соответствии с учебными программами курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и факультета управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3](по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.
Определение
. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство
Пример 1
. Доказать, что (указать ).
Решение.
Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть
Пример 2
. Доказать, что (указать ).
Решение.
Неравенство принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство: Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда
При вычислении предела в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае , и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.
Решение.
Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:
. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем
Вообще предел отношения двух многочленов переменной можно находить по правилу
так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .
При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона
Также следует знать формулу ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).
Решение.
Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -
старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 ( ). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения
(первая и вторая из них получаются из третьей при и соответственно).
Так, например, если выражение содержит множитель , где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .
Решение.
Имеем неопределённость .Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :
Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при
Замечание.
Сразу после (6) можно было записать , поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе и равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть
, эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).
Решение.
Имеем неопределённость . Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:
Замечание. С
разу после (7) можно было записать (см. предыдущее замечание).
Решение.
Поскольку , то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то . Окончательно получаем
Решение.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:
Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :
Решение.
Обозначим Если - чётное, , то Если - нечётное, , то
Таким образом, при любом Поскольку то .
Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
.
Решение.
1-й способ
. Обозначим Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве
2-й способ
. Используя формулу (2), получаем Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что
3-й способ
. Найдём , при которых выполняется неравенство Следовательно, при
, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .
Пример 11.
Доказать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .
или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов
, где т.е. в случае неопределённости вида
Решение.
Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.
Пример 13.
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
Действительно, это неравенство равносильно неравенствам
Последнее неравенство верно, поскольку последовательность
убывает(см. пример ) и её предел равен Тогда
Пример 15.
Для нахождения применяется следующий процесс: произвольно,
Решение
. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .
Пример 16.
Последовательность определяется следующим образом:
Решение
. Оценим разность между и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .
Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.
Определение
. Число называется пределом функции в точке , если
Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).
Определение
. Функция есть бесконечно малая при , если
Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .
Определение
. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.
Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например
3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.
При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :
Пример
17
. Доказать (найти d(e)), что .
Решение.
Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:
Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид
e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .
Решение.
При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:
Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .
Решение.
Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.
Решение
. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем
Решение.
Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.
Решение.
Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:
Решение.
1-й способ. Сделаем замену переменной:
предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,
2-й способ
. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.
Пример 23
. Вычислить предел функции
Решение
. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем
Пример24
. Вычислить предел функции
Решение.
Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:
Пример 25
. Вычислить предел функции .
Решение. 1-й способ
. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:
2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем
Пример 26
. Вычислить предел функции
Решение
. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:
Пример 27. Вычислить предел функции
Решение
. 1-й способ.
Преобразуем числитель исходного выражения:
Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:
2-й способ.
Последовательно используя табличные формулы
Пример 28. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:

Пример 29. Вычислить предел функции
Подставляем полученное выражение в (10):
Пример 30.
Вычислить предел функции
Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при
Решение.
Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):
Пример 32.
Вычислить предел функции
Решение.
Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда
Пример 33.
Вычислить предел функции
Решение.
Воспользуемся тем, что если
, то В нашем случае , Тогда
Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где т.е. в случае неопределённости вида
Следующие три примера решим различными способами.
Пример 34.
Вычислить предел функции
Решение
. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.
Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.
Пример 35.
Вычислить предел функции
Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу
Отсюда Теперь находим искомый предел:
Для вычисления предела , где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:
Пример 36.
Вычислить предел функции
Пример 37. Последовательность функций определяется следующим образом: Найти

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между и числом являющимся корнем уравнения . Последнее неравенство следует из того, что и Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим то есть . Отсюда видно, что

Определение. Функция , заданная на множестве Е
R, называется непрерывной в точке а Е, если

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что

Пример 38.
Доказать, что функция непрерывна в точке а=2(найти ).
Решение. 1-й способ.
Поскольку
определена при всех значениях R ,
то Е=
R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:
Пусть выполнено неравенство
то есть
Тогда
Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство ,
то неравенство (14) также будет выполнено:
Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы
и .
Поэтому

2-й способ. Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,

3-й способ. Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39.
С помощью « » рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2) .
Решение.
1). Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).
Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству
Мы воспользовались известным неравенством Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что
Пусть функция
определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.
Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы и , то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.
Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва.
Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только или .
Пример 40
. Найти точки разрыва функции
Решение.
В точках функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода
Пример 41
. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.
Решение.
Находим область определения функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку
чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.
Пример 42
. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график.
Решение.
Пусть х>0. При х>1 и у=0. При у=1. При и Таким образом, при
(одновременно строим график, рис. 2 ); Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1 и .
При , у=1. При и Таким образом, при Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.
2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.
4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.

Название: Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007
Раздел: Остальные рефераты
Тип: учебное пособие
Добавлен 09:08:49 24 августа 2011 Похожие работы
Просмотров: 63
Комментариев: 12
Оценило: 0 человек
Средний балл: 0
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Учебное пособие: Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007
Источники предпринимательского права российской федерации
Реферат На Тему Опасные Природные Явления
Реферат по теме Возникновение фашизма в Италии
Курсовая работа по теме Редуктор программного механизма
Эссе Свободный Ли Я Человек
Курсовая работа по теме Предвидение и футурология: общее и особенное
Реферат: Рыночная инфраструктура 2
Реферат: Phineas Vs Gene Essay Research Paper An
Реферат: Материальная ответственность сторон трудового договора 5
Курсовая На Тему Сепсис
Эссе По Литературному Произведению
Курсовая работа: Расчет парового котла ДЕ-6,5-14
Курсовая работа по теме Разработка велосипедного маршрута в национальном парке 'Нижняя Кама'
Анализ Организационной Структуры Предприятия Отчет По Практике
Реферат по теме Северо-западный район
Сочинение Герои Поэмы Медный Всадник
Реферат: Gay And Lesbian Community Essay Research Paper
Скачать Реферат На Тему Культура
Сочинение Про Любимый Уголок
Реферат по теме Исследование произведения 'Путь русского офицера' А.И. Деникина как источника по изучению истории Российской империи конца XIX – начала XX вв.
Реферат: Фармакокинетические факторы в анестезиологии
Реферат: Ценовая политика на предприятии
Дипломная работа: Виготовлення демісезонного пальто