Учебное пособие: Матрицы и определители

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

1. Определители квадратной матрицы и их свойства
1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы
2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы
состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i
– номер строки, j
- номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей
порядка m´n и обозначать .
1.
Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная

матрица, которая имеет порядок n:
Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.
Квадратная матрица называется диагональной

, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:
Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной

, если все элементы главной диагонали равны 1:
Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.
называются верхней и нижней треугольными соответственно.
2
. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:
3
. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:
4
.Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:
Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.
5
. Матрица называется транспонированной

к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .
Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрица имеет порядок n´m.
6
. Матрица А называется симметричной

, если А=А , и кососимметричной

, если А = –А .
Пример

.
Исследовать на симметричность матрицы А и В.
= , тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А .
В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В .
Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть = . На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – .
Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.
Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.
Пример.

и – матрицы одного порядка 2´3;
и – матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.
Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.
Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.
Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:
Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Свойства умножения матрицы на число

:

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;
Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.
Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m
,
Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.
Пример

.
Найти сумму и разность матриц А и В.
Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.
Из данных выше определений следуют свойства
суммы матриц:
2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность к умножению на число λ R: λ(А+В) = λА+λВ;
5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;
Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.
= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле:
( 1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),
то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.
Пример

.
Найти произведение матриц А и В.
Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.
Рассмотрим свойства
произведения матриц:
1
) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).
Вывод:

≠ , хотя матрицы и одного порядка.
2
) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.
4
) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.
5
) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:
Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.
6
) дистрибутивность относительно сложения:
(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.
8
) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ, R.
Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.
3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;
2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:
произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3´2, а матрица В – порядок 2´3;
2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: · = , · = .
3) произведение как матриц А
ּ
В
, так и В
ּ
А
, существует, так как матрицы согласованны:
= ≠ , то есть матрицы А и В некоммутирующие.
3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:
= = АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.
1. Определители квадратной матрицы и их свойства.
2. Теоремы Лапласа и аннулирования.
Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Определитель произвольного порядка.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть А – квадратная матрица порядка n:
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое
Отметим, что определитель существует только для квадратных
матриц.
Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.
Определителем второго порядка
матрицы называется число, определяемое по правилу:
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
= , тогда = = 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.
Из определения определителя второго порядка следуют его свойства
:
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:
2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.
Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего
порядка
квадратной матрицы называется число
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.
Введем понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором элемента определителя
называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента через .
Алгебраическим дополнением элемента
определителя называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть = .
Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:
Формулы (3) называются формулами разложения
определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), или формулами Лапласа для определителя третьего порядка.
Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя
:
Теорема Лапласа

. Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).
= = (из второй строки вычтем первую) =
= = (из третьей строки вычтем первую)=
= = (разложим определитель по элементам третьей
строки) = 1ּ = (из второго столбца вычтем первый столбец) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.
Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложением по элементам строки (столбца).
= = (так как второй столбец содержит три нулевых элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца)= =3ּ = (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) =
= 3ּ = (разложим определитель по элементам первого столбца) = 3ּ1ּ =
Девятое свойство

определителяносит название теорема аннулирования

:
сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть

= = (разложим по элементам третьей строки)=
Но, для этого же примера: 0ּ +0ּ +1ּ =
Если определитель любого порядка имеет треугольный вид
= , то он равен произведению элементов, стоящих на диагонали:
Иногда при вычислении определителя с помощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду, после чего применяется формула (4).
Что касается определителя произведения двух квадратных матриц, то он равен произведению определителей этих квадратных матриц: .
1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.
2. Алгоритм построения обратной матрицы.
В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему ( ) такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число
(– 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицей

для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства
где Е
– единичная матрица порядка n.
Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.
Квадратная матрица называется невырожденной

(неособенной), если detA ≠ 0. Если же detA = 0, то матрица А называется вырожденной

(особенной).
Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу . Докажем это утверждение.
Пусть для матрицы А
существует две обратные матрицы , , то есть
Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.
Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.
2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.
Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:
Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную

матрицу:
Найдем произведение ּ . С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:
Алгоритм построения обратной матрицы.


1)Вычислить определитель матрицы А
. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
2)Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А
матрицу .
3)Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .
4)По формуле (2) составить обратную матрицу .
5)По формуле (1) проверить вычисления.
а). Пусть А= . Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.
Составим матрицу из алгебраических дополнений
транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу
по формуле (2) найдем обратную матрицу
Следовательно, обратная матрица построена верна.
1. Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.
2. Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.
3. Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).
6. Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где
б) произведения АВ и ВА не существуют;
д) суммы, разности и произведения ВА матриц не существуют, ;
ж) произведения матриц не существуют;
3. С помощью правила треугольников вычислить определители
4. Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.
5. Вычислить определители, предварительно упростив их:
6. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду
7. Пусть даны матрицы А и В. Доказать, что :
1. а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.
4. а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) –66; ж) -36.
2. Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия :
1. Вычислить определитель разложением
1. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.
2. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.
3. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.
4. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.
5.Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. -Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.

Название: Матрицы и определители
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие
Добавлен 04:34:52 24 мая 2010 Похожие работы
Просмотров: 16734
Комментариев: 15
Оценило: 5 человек
Средний балл: 4.2
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Учебное пособие: Матрицы и определители
Доклады На Тему Лекарственные Растения, Действующие На Нервную Систему
Мс 21 Реферат
Реферат: Загадка Пытавина
Курсовая работа: Рекомендации по совершенствованию условий для организации досуга и обеспечению жителей услугами организации культуры. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа По Русскому Языку Сложные Предложения
Сколько Стоит Купить Дипломную Работу В Москве
Реферат На Тему Речевой Этикет Сегодня
Сочинение На Тему Профессии Кузбасса
Легкие цветные сплавы
Реферат На Тему Особенности Правового Режима Земель, Принадлежащих Гражданам
Сочинение Роль Существительного В Предложении
Эссе Формирование Мировоззрения
Методичка На Тему Санаторно-Курортне Лікування, Організований Відпочинок Та Туризм В Ар Крим У 2007/2008 Році
Контрольная работа по теме Специфика актерского искусства
Курсовая работа: Педагогическая этика и мораль. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Социальные и организационные проблемы военных реформ 20-30-х годов ХХ века
Итоговое Сочинение Как Писать Структура Примеры
Контрольная работа по теме Взаємодія класного керівника і сім'ї школяра
Сочинение На Тему Катерина И Кабаниха
Курсовая работа по теме Учет удержаний из заработной платы в пользу организации
Статья: Особенности конвертеров
Реферат: Наследование по завещанию
Реферат: Чистый колодец на своем участке