Учебное пособие: Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
по специальным разделам высшей математики
Составители: Л.В. Лиманова, Л.А. МУРАТОВА
Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа.
Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. Л.В. Лиманова,
Л.А. Муратова
. Самара, 2005. 49 с.
Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
В соответствии с программой курса высшей математики для 1 семестра СамГТУ пособие охватывает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление.
Пособие содержит тренировочный тест (стр.37) с типовыми задачами из указанных разделов.
Представлены подробные решения всех задач тренировочного теста, а также необходимый теоретический материал.
Пособие рекомендуется использовать для подготовки к экзамену по высшей математике. Внимательное изучение настоящего пособия позволит успешно справиться с этой задачей.
Задача 1.
Найти сумму элементов 3-его столбца матрицы В
, если
Решение.
При умножении матрицы размера на матрицу размера получится матрица размера (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее, умножение матриц осуществляется по правилу: элемент матрицы , стоящий в i
-той строке и к
-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i
-той строки матрицы А
и к
-го столбца матрицы С
. То есть, чтобы найти нужно 1-ю строку матрицы А
умножить на 3-й столбец матрицы С
:
Решение.
Вычислим определитель матрицы А
:
Так как , то - существует. Обратную матрицу находим по схеме
Здесь - транспонированная матрица, получается из матрицы А
, если поменять местами строки и столбцы:
- союзная матрица, состоит из алгебраических дополнений элементов .
Найдем алгебраические дополнения элементов по формуле
где - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i
и столбца j
матрицы .
Задача 3.
Найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , если
Решение.
Вычислим определитель матрицы А
:
Так как надо найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-ей строки матрицы :
Тогда элементы 3-ей строки матрицы :
Решение.
Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями
- определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными
Чтобы найти , необходимо элементы 3-его столбца определителя заменить на столбец свободных членов системы:
Задача 5.
Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y
и z
:
Решение.
Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z
. Назовем z
базисной переменной. Исключим базисную переменную z
из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей
Считая новой базисной переменной у
, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым:
В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х
).
Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:
Выразив базисные переменные ( у
и z
) через свободную ( х
), получим общее решение системы уравнений
где - скалярное произведение векторов
и .
Так как вектор
ортогонален вектору ,
то , и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:
Решение.
Проекция вектора
на вектор
определяется по формуле
Вычислим скалярное произведение векторов
и
Известно, что а угол между
и
равен Найти
.
Согласно определению векторного произведения имеет место формула
Найти площадь треугольника с вершинами в точках
Площадь треугольника, построенного на векторах
и ,
может быть найдена по формуле:
векторное произведение векторов
и .
Примем , Вычислим координаты векторов и :
Найдем векторное произведение этих векторов
Определить , при котором компланарны векторы
и
Условие компланарности трех векторов имеет вид
где -
смешанное произведение векторов
и - вычисляется по формуле
Подставляя исходные данные, получим
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
Решение.
Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида:
Вычислим смешанное произведение этих векторов
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен
Записать уравнение прямой, проходящей через точки
Решение.
Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
Подставляя координаты точек А
и В
, получим
Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости
Решение.
Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости.
Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид
Определить, при каких и параллельны прямые
Решение.
Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов и
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид
Определить, при каком А
прямая параллельна плоскости
Решение.
Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:
Применяя эту формулу для и получим
Решение.
Перейдем к параметрическим уравнениям прямой
Найдем значение t
, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости
Подставляя в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости
Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей
Решение.
Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.
Возьмем у
в качестве базисной переменной и исключим у
из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением. Получим
Возьмем в качестве следующей базисной переменной х
и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с первым уравнением
Запишем получившуюся систему уравнений:
Выразим базисные переменные х
и у
через свободную переменную z
:
Обозначив , получим параметрические уравнения прямой:
Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно вектору
Решение.
Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов:
Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
Решение.
Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим - направляющие векторы прямых, Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов где А
– точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А
(-1; 0; 3). Так как получим
Решение.
Собственные значения и матрицы А
находим, решая характеристическое уравнение:
Решение.
При разложении вектора по базису , , необходимо представить в виде
Здесь - есть координаты вектора в базисе , .
Запишем это равенство в координатной форме
Решим систему, например, по формулам Крамера.
Значит, координаты вектора в базисе ,
Определить вид и расположение кривой
Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x
и y
.
Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами
Решение.
Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид
Действительная полуось этой гиперболы . Найдем а
из соотношения:
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, то есть на
Так как при каждая из дробей , стремится к нулю, получим
При числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение:
В данном случае имеет место неопределенность вида так как при числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, то есть на
Решение.
При числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.
Теперь можно воспользоваться формулой
Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела
Решение.
При имеем неопределенность .
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
Так как , , имеем неопределенность , которую раскрываем по правилу Лопиталя:
Так как получили неопределенность Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Применяя формулы дифференцирования произведения и частного
Замечание.
Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия.
Применим правило дифференцирования сложной функции: если то
Решение.
Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:
Получившуюся функцию дифференцируем как сложную
Решение.
Преобразуем данную функцию
Вычислим частную производную , считая у
константой:
Подставим вместо х
и у
координаты точки
Функция задана в неявном виде – уравнением Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции:
Решение.
Согласно формуле дифференцирования сложной функции
Функция задана параметрически – уравнениями .
В этом случае можно воспользоваться формулой
Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.
Прямая является вертикальной асимптотой кривой если
Прямая является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы
Так как знаменатель дроби никогда не обращается в 0 ( D
=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.
Тогда наклонная асимптота имеет вид
Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем
Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
Итак, функция убывает на интервале .
Функция является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем
Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:
Найти точки разрыва и установить их характер.
Решение.
Функция называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем
Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода.
Если - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.
В том случае, когда - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:
Рассмотрим заданную функцию при . Здесь Функция не определена в точке , значит в этой точке разрыв.
Итак, значит, при имеем устранимый разрыв I рода.
Если то Функция не определена в точке значит это точка разрыва.
В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид.
Итак, для точки односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком
Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при разрыв I рода со скачком при .
Найти максимальную скорость возрастания функции в точке М
(2;1).
Известно, что максимальная скорость возрастания функции равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор
Тогда максимальная скорость возрастания функции
Найти производную функции в точке М
(1;-3) в направлении вектора
Производная функции по направлению вектора определяется по формуле
где - направляющие косинусы вектора ,
Найдем частные производные функции :
Вычислим направляющие косинусы вектора
Тогда производная функции по направлению равна
Необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные x
и y
подчиняются уравнению связи
Точки экстремума находим, решая систему уравнений:
Итак, получена точка экстремума (1;2). Вычисляем Определяем характер экстремума, сравнивая значение со значением функции в любой другой точке, удовлетворяющей условию Например, значит, в точке (1;2) – минимум.
Преобразуем уравнение связи: и подставим его в данную функцию
Получили функцию одной переменной у
. Исследуем её на экстремум:
Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
Следовательно, точка является точкой минимума.
Таким образом, функция имеет минимум в точке с координатами
Функцию исследовать на экстремум в точках и .
Функция может достигать экстремума только в стационарной точке, то есть такой, что
Найдем частные производные первого порядка
Подставив координаты точек и , убеждаемся, что обе точки стационарные.
Согласно достаточным условиям экстремума в стационарной точке функция имеет
Вычисляем частные производные второго порядка
Найти сумму элементов 3 строки матрицы , если .
приняв в качестве базисных переменных :
Найти площадь треугольника с вершинами в точках , , .
Известно, что , , а угол между и равен . Найти .
Определить , при котором компланарны векторы , , .
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках , , , .
Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид:
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости имеет вид:
Определить, при каких и параллельны прямые и
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .
Определить, при каком прямая параллельна плоскости .
Найти координаты вектора в базисе , .
Определить вид и расположение кривой
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если ее действительная полуось , а расстояние между фокусами .
Найти точку пересечения прямой и плоскости
Канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей имеют вид:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно вектору .
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые: ,
Найти интервал(ы) убывания функции .
Найти интервал(ы) выпуклости функции .
. Найти точки разрыва и установить их характер.
Найти максимальную скорость возрастания функции в точке .
Найти производную функции в точке в направлении вектора .
Функцию исследовать на экстремум в точках и .
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть - дифференцируемые функции, . Тогда
1. Задачи и решения ………………………………………………4
2. Тренировочный тест ………………………………….............37
3. Таблицы производных ………………………………………..47
4. Библиографический список…………………………………..48
Название: Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005
Раздел: Остальные рефераты
Тип: учебное пособие
Добавлен 21:29:50 01 сентября 2011 Похожие работы
Просмотров: 5478
Комментариев: 12
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Учебное пособие: Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005
Сочинение Почему Басни Крылова Так Популярны
Курсовая работа: Организация комплекса геодезических работ по созданию планово-высотного обоснования для съемки у
Дипломная работа по теме Отношение эквивалентности
Доклад: Шоколад
Реферат Социальные Институты Общества
Предмет и метод правовой статистики
Итоговая Контрольная Работа За Курс Информатики
Сочинение На Тему Мой Любимый Вид Транспорта
Контрольная Работа На Тему Архитектурно-Строительное Обоснование Объекта
Реферат по теме Питание
Скачать Серию Собрание Сочинений
Доклад по теме Философия Пифагора и Гераклита
Фипи Критерии Оценки Итогового Сочинения 2022
Толерантность Основа Диалогического Общения Эссе
Курсовая Работа Пример Оформления Заключения
Реферат: Джузппе Мадзіні - діяч національно-визвольного руху Італії
Курсовая работа по теме Комплекс маркетинговых коммуникаций: элементы, формы и содержание
Реферат: Управленческие решения 20
Контрольная Работа По Теме График Функции
Реферат: Планета Сатурн
Курсовая работа: Закономерности и способы формирования бренда организации с учетом российского менталитета
Дипломная работа: Внешнеэкономическая деятельность Украины
Реферат: Восточные славяне в догосударственный период