Учебное пособие: Четырехполюсники, электрические фильтры

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

(государственный технический университет)


Четырехполюсники, электрические фильтры.
Учебное пособие для студентов радиотехнической специальности.
Во второй части конспекта по Основам теории цепей (ОТЦ) кратко изложена теория четырехполюсников (4х-П) и более подробно изложена теория электрических фильтров.
Анализ и синтез простейших электрических фильтров проводится с применением прикладной программы Mathcad

2000 (МС).

Все расчеты, выполненные в среде Mathcad

,

проверены путем электронного моделирования по программе Electronics

Workbench

. Конспект, с его многочисленными примерами, может быть использован студентами при проектировании электрических фильтров на этапах разработки курсовых и дипломных проектов.
Работа написана на основе 4-х-летнего опыта применения упомянутых программ в учебном процессе.
1.1 Основные определения и классификация четырехполюсников (4х-П)

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее зажимов, называется 4х-П, Рис.1.1.
Рис.1.1. Схема 4х-П. Его токи и напряжения.
Понятием 4х-П пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями на входе «1-1’» и на выходе «2-2’».
В качестве 4х-П могут быть представлены: трансформатор, выпрямитель, электрический фильтр и другие устройства с двумя парами зажимов.
Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. В составе активных 4х-П имеются источники энергии. Пассивные 4х-П не содержат источников энергии.
Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Если в состав 4х-П входит хотя бы один нелинейный элемент, то такой4х-П называется нелинейным. В данной работе рассматриваются только линейные 4х-П.
По схеме внутренних соединений различают Г-образные, Т-образные, П-образные и другие 4х-П, Рис.1.2.
Основной смысл теории 4х-П заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами, можно находить ток и напряжение на выходе 4х-П, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.
1.2 Системы уравнений четырехполюсников

Уравнениями 4х-П называют комплексные уравнения, связывающие комплексные действующие значения токов и напряжений на его входе и выходе.
Линейный пассивный 4х-П, естественно, описывается линейными уравнениями.
Из четырех величин характеризующих 4х-П, две должны быть заданы, а две другие определяются из уравнения 4х-П. Всего, таким образом, может быть составлено шесть форм записи уравнений.
Если 4х-П выполняет роль передаточного звена между источником и приемником электрической энергии, то обычно пользуются уравнениями в форме А:
В этих уравнениях А 11
, А 12
, А 21
, А 22
называются коэффициентами формы А. Они, в общем случае, являются комплексными числами, модули которых зависят от частоты.
Физический смысл коэффициентов формы А можно пояснить, если мысленно выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.
В режиме холостого хода . Уравнение (1.1.) принимает следующий вид:
- отношение входного напряжения к выходному в режиме холостого хода;
- передаточная проводимость в режиме холостого хода.
В режиме короткого замыкания . Уравнения (1.1) принимают вид:
- передаточное сопротивление в режиме короткого замыкания;
- отношение тока на входе к току на выходе в режиме короткого замыкания.
Из этого уравнения следует, что для составления системы (1.1) в форме А необходимо и достаточно определить только любые три коэффициента. Четвертый коэффициент определяется из (1.2).
Рассмотрим Г-образный 4х-П, изображенный на Рис.1.3, и определим для него коэффициенты формы А.
При определении коэффициентов формы А будем считать, что комплексные сопротивления Z 1
и Z 2
заданы.
Проведем опыт холостого хода: зажимы 2-2’ - разомкнуты,
В этом случае ток на входе и напряжение на выходе определяются по закону Ома в комплексной форме:
Отсюда получаем значения А 11
и А 21
, выраженные через сопротивления Z 1
и Z 2
:
Теперь проведем опыт короткого замыкания: зажимы 2-2’ закорочены,
При этом в цепи осталось только одно сопротивление Z 1
и, следовательно:
Таким образом, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П можно представить в виде следующей матрицы
Аналогичным образом можно получить матрицу коэффициентов формы А для Т-образного4х-П:
Кроме формы А (1,1) существуют еще пять форм записи уравнений 4х-П. Приведем еще две формы.
Полный перечень форм записи уравнений 4х-П приводится в учебниках, задачниках и справочниках по ОТЦ.
Если известны коэффициенты хотя бы одной формы записи уравнений 4х-П, то можно найти коэффициенты любой другой формы, решив систему уравнений, например (1,1) относительно искомых токов или напряжений.
1.3 Входное сопротивление, сопротивления холостого хода и короткого замыкания

Рассмотрим произвольный 4х-П с известными коэффициентами формы А, который нагружен активным сопротивлением R, Рис.1.4.
Рис.1.4. Схема 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R
Определим входное сопротивление 4х-П Рис.1.4., т.е. сопротивление со стороны зажимов 1-1’.
По закону Ома в комплексной форме входное сопротивление есть отношение входного напряжения к входному току (1.1):
Полученное выражение входного сопротивления показывает, что 4х-П может быть применен для преобразования сопротивления между источником и приемником.
Сопротивление холостого хода 4х-П представляет собой частный случай входного сопротивления (1.5) при
Сопротивление короткого замыкания получается из (1.5) при
1.4 Передаточная функция четырехполюсника

При проектировании радиотехнических устройств широко применяются электрические фильтры, которые удобно рассматривать как 4х-П, предназначенные для передачи сигналов от входа к выходу с определенной избирательностью.
Передаточной функцией по напряжению называется отношение выходного напряжения к входному:
Модуль этого отношения представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а аргумент – фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Эти характеристики являются основными при выборе электрических фильтров.
Амплитудно-частотная характеристика показывает, во сколько раз выходное напряжение меньше (или больше) входного, ФЧХ дает сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями.
Определим АЧХ и ФЧХ произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А, нагруженного активным сопротивлением R, Рис.1.4. С этой целью запишем первое уравнение системы (1.1) в следующем виде:
Поскольку коэффициенты формы А, в общем случае, являются комплексными числами, зависящими от частоты, постольку выражение в скобках (1.6) можно записать в алгебраической форме:
После этого связь входного и выходного напряжений (1.6) можно выразить следующим образом:
Для определения ФЧХ 4х-П за начало отсчета сдвига фаз между входным и выходным напряжениями примем вектор выходного напряжения , который направим по оси абсцисс, т.е. горизонтально.
При таком выборе начала отсчета положение вектора на комплексной плоскости целиком определяется величинами а(ω)и b(ω) и их знаками:
Расчет ФЧХ по (1.8) дает сдвиг фаз, выраженный в радианах. Ключ для определения этого угла показан на Рис.1.5:
Рис.1.5. Ключ для определения сдвига фаз между входным и выходным напряжениями
На основании (1.7) комплексная передаточная функция по напряжению произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А и нагруженного активным сопротивлением R, принимает вид:
Модуль передаточной функции 4х-П, т.е. его АЧХ:
Таким образом, по формулам (1.8) и (1.10) можно рассчитать АЧХ и ФЧХ любого 4х-П при известных коэффициентах формы А и нагрузке R.
Пример 1.1.

Задана электрическая схема Г-образного 4х-П (Рис.1.6) и его параметры R, L, C. Данный 4х-П подключен к источнику синусоидального напряжения. Необходимо найти формулы для расчета АЧХ и ФЧХ этого 4х-П.
Рис.1.6. Электрическая схема г-образного 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R
Решение.

Комплексные сопротивления плеч 4х-П:
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов по формулам (1.11), (1.12) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного 4х-П, изображенного на Рис.1.6.
1.5 Каскадное соединение четырехполюсников

Рассмотрим так называемое каскадное соединение 4х-П (Рис.1.7), при котором входные зажимы каждого последующего 4х-П присоединяются к выходным зажимам предыдущего.
Эти два 4х-П, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный.
Определим параметры эквивалентного 4х-П через известные параметры первого и второго четырехполюсников.
Пусть заданы матрицы коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П.
Из теории известно, что матрица коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П равна произведению матриц отдельных 4х-П:
Это правило, распространяется на случай каскадного соединения любого числа 4х-П. При этом матрицы, подлежащие перемножению, записываются в порядке следования 4х-П, т.к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.
Простейшими 4х-П являются одноэлементные 4х-П, состоящие из последовательного (Рис.1.8а) и параллельного (Рис.1.8б) двухполюсника.
Матрицы коэффициентов формы А одноэлементных 4х-П:
С помощью этих матриц М1 и М2 можно получить коэффициенты формы А любого 4х-П, построенного по лестничной схеме. Для этого необходимо перемножить матрицы М1 и М2 столько раз, сколько раз встречаются параллельный и последовательный 2х-П.
Например, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П получаются после перемножения матриц М1 и М2 (см.1.3):
Глава 2. Электрические фильтры нижних частот
2.1 Основные определения и классификация электрических фильтров

Электрическим фильтром называется устройство, при помощи которого электрические колебания разных частот отделяются друг от друга. Электрический фильтр представляет собой пассивный 4х-П, пропускающий сигналы в некоторой полосе частот с малым затуханием, а за пределами этой полосы сигналы проходят в нагрузку с большим затуханием.
Полоса частот, в пределах которой передаточная функция по напряжению (1.10) принимает не менее заданного значения
называется полосой пропускания. Остальная область частот называется полосой задерживания. Частоты, разделяющие эти полосы, называются граничными.
В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на:
В зависимости от электрической схемы фильтры разделяются на Г-образные, Т-образные, П-образные и другие.
В зависимости от числа реактивных элементов, входящих в состав фильтра, различают фильтры первого порядка, второго порядка и т.д.
По составу элементов фильтры делятся на активные и пассивные. Активные фильтры содержат источники электрической энергии, а пассивные их не содержат.
По способу обработки сигналов фильтры делятся на аналоговые и цифровые.
В данном курсе рассматриваются только пассивные электрические фильтры, построенные на идеальных линейных R, L, C-элементах.
2.2 Общий принцип действия линейных пассивных электрических фильтров

Рассмотрим электрический фильтр, частотные характеристики которого известны и описываются формулами (1.8)и (1.10).
Пусть на вход данного фильтра поступает сигнал в виде суммы различных частот
Определим структуру сигнала на выходе фильтра.
В силу линейности фильтра, сигнал на выходе будет также представлять сумму синусоидальных напряжений. При этом изменятся амплитуды и начальные фазы составляющих, а частоты составляющих на выходе фильтра одинаковы:
Амплитуды составляющих на выходе определяются передаточной функцией фильтра (1.10):
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями определяется фазо-частотной характеристикой фильтра (1.8):
В дальнейшем будем полагать, что на вход фильтра подается синусоидальное напряжение, частота которого изменяется от нуля до бесконечности.
2.3 Общая характеристика фильтров нижних частот

Фильтры нижних частот (ФНЧ) предназначены для пропускания в нагрузку сигналов малой частоты и подавления сигналов большой частоты.
Полоса пропускания ФНЧ определяется его граничными частотами:
f 1
=0 – нижняя граница полосы пропускания;
f 2
- верхняя граница полосы пропускания, которая определяется назначением данного конкретного фильтра.
В теории фильтров рассматриваются идеальные и реальные фильтры. Идеальным ФНЧ называется фильтр, передаточная функция которого (1.10) в полосе пропускания равна единице, а за пределами полосы пропускания она равна нулю:
Передаточная функция реального фильтра в полосе пропускания не равна единице, а в полосе задерживания - не равна нулю.
Передаточные функции по напряжению идеального и реального фильтров нижних частот показаны на Рис.2.1.
Передаточная функция идеального ФНЧ
Рис.2.1. Передаточные функции идеального и реального фильтров нижних частот
Количественную оценку избирательности фильтра целесообразно производить с помощью коэффициента прямоугольности передаточной функции по напряжению или мощности.
Для расчета коэффициента прямоугольности передаточной функции фильтра введем в рассмотрение передаточную функцию по мощности, которую определим следующим образом.
Максимально возможная мощность, которая может быть выделена в нагрузке в случае идеального фильтра, определяется по формуле:
где U 1
– действующее значение входного напряжения;
Фактическая мощность, выделяемая в нагрузке реального фильтра, определяется действующим значением выходного напряжения, которое зависит от частоты входного напряжения:
Передаточной функцией по мощности будем называть отношение мощности, выделяемой в нагрузке реального фильтра (2.2) к мощности, выделяемой в нагрузке, идеального фильтра:
Таким образом, передаточная функция по мощности есть квадрат передаточной функции по напряжению (2.3).
Отметим, что в известных учебниках по ОТЦ частотные характеристики фильтров оцениваются затуханием, которое выражается в децибелах (дБ):
Из этой формулы следует, что фактически производится оценка затухания (ослабления) сигнала по мощности.
Поскольку физический смысл формулы (2.4) спрятан под знаком логарифма, постольку в дальнейшем будем пользоваться более простой формулой (2.3), физический смысл которой более прост и понятен.
Расчет коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности ФНЧ будем производить следующим образом.
Определим частоту, на которой передаточная функция по мощности составляет 5% от максимума:
За пределами этой частоты будем считать, что передаточная функция равна нулю
Определим полную площадь под кривой передаточной функции (Рис.2.1):
Определим также площадь под кривой передаточной функции в пределах полосы пропускания (0…f 2
), где передаточная функция по напряжению а передаточная функция по мощности (Рис.2.1):
Коэффициентом прямоугольности передаточной функции по мощности будем называть отношение найденных площадей:
По физической сущности коэффициент прямоугольности представляет собой коэффициент полезного использования площади под кривой передаточной функции по мощности и дает представление о степени соответствия реального фильтра идеальному с той же полосой пропускания.
2.4.1 Частотные характеристики емкостного фильтра нижних частот первого порядка (ФНЧ-1)

Рассмотрим электрическую схему, изображенную на Рис.2.3, которая представляет собой простейший фильтр нижних частот первого порядка (ФНЧ-1).
Рис.2.3. Емкостной фильтр нижних частот (ФНЧ-1)
На малых частотах емкость обладает большим сопротивлением и поэтому весь проходит только через резисторы r, R, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах емкость обладает малым сопротивлением. Она закорачивает нагрузку и поэтому выходное напряжение мало.
Определим для этого фильтра АЧХ и ФЧХ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6):
где - эквивалентное сопротивление при параллельном соединении R и r.
Передаточные функции ФНЧ-1 принимают вид:
где - значение передаточной функции на частоте ω=0.
Теперь, по формулам (2.9) и (2.10) можно, при известных значениях R, r, C-элементов, рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ-1).
При изучении частотных характеристик фильтров удобно пользоваться АЧХ ФЧХ в параметрической форме. Для этого необходимо ввести в рассмотрение приведенную, или так называемую нормированную частоту, которая, в данном случае, определяется по формуле
где - граничная частота, на которой реактивное сопротивление емкости равно активному сопротивлению
Запишем (2.9) и (2.10) в параметрической форме:
Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном значении емкости С.
Пример 2.

Рассчитать и построить графики при следующих исходных данных:
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника.
Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5.
Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте ν=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному фильтру на 54,5%.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 90 0
. При этом выходное напряжение опережает входное.
2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка

Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные данные и формулируются требования к устройству.
Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно изложить следующим образом:
1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого приведена на Рис.3.2.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от 0 до ∞.
3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r, (R>>r).
4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы пропускания (f 1
=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на верхней границе f 2
передаточная функция должна принимать значение H(f 2
)=H 1
.
5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость, которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции. Однако, в интересах общности изложения последующего материала воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из которой найдем значение приведенной частоты n 2
, на которой передаточная функция (2.12) принимает заданное значение H 1
:
Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H 1
Учебное пособие: Четырехполюсники, электрические фильтры
Курсовая работа: Облік створення підприємства
Контрольная работа по теме Оценка имущества
Отчет По Практике Синергия Образец
Курсовая работа по теме Національна модель економічного розвитку Китаю
Қазақстанның Дамуы Мен Көркеюіне Менің Үлесім Эссе
Курсовая работа по теме Сварные соединения и швы
Что Такое Счастье Сочинение На Белорусском
Курсовая работа: Маркетинговый анализ товара AUDI TT
Реферат по теме Природное районирование России и природа Восточно-европейской равнины
Дипломная работа по теме Розробка комп'ютерної автоматизованої системи аналізу стану нерухомого майна
Законы Кеплера Реферат
Социальное Движение Реферат
Контрольная Работа Задача Номер 1
Реферат: Налоговая система РФ, основные этапы ее развития
Сочинение На Тему Любимый Стих Пушкина
Реферат по теме Билеты по философии для аспирантов и соискателей
Реферат по теме Кровеносная система человека
Курсовая Работа На Тему Планирование Найма, Подготовки И Переподготовки Кадров
Реферат На Тему Политическая Мысль Эпохи Возрождения И Нового Времени И Современные Политические Учения Запада
Оценка влияния региональных особенностей на размещение производственных сил в Кыргызской Республике
Курсовая работа: Манипуляции личностью
Курсовая работа: Бухгалтерский учет прибылей и убытков
Реферат: Природные туристические ресурсы