Теория вероятности. Вся теория в одном уроке
КириллСодержание статьи
I. Комбинаторика
1) Перестановки
2) Размещения
3) Сочетания
II. Вероятности
1) Определение вероятности
2) Зависимые и независимые события
3) Произведение независимых событий
4) Совместные и несовместные события
5) Сумма несовместных событий
6) Полная система событий
7) Сумма совместных событий
8) Условная вероятность
9) Формула Байеса
10) Уравнение Бернулли
I. Комбинаторика
Вероятность события - это доля успешных событий от всех событий. Для того чтобы посчитать вероятность, для начала необходимо научиться считать количество успешных и неуспешных событий, чем занимается комбинаторика.
1) Перестановки
Пример. Как известно, в колоде 36 карт. Сколькими всевозможными комбинациями можно разложить эти карты?
На самое дно можно выбрать одну из 36-ти карт, после её выбора, вторую карту можно выбрать 35-ю способами, третью - 34-мя и так далее. Тогда существует
способов смешать колоду. Каждый раз, когда вам нужно посчитать количество перестановок между n различными предметами, это можно сделать
способами.
2) Размещения
Пример. Допустим, что теперь из 36 карт колоды нам нужно раздать по одной 5-ти людям. Сколькими способами можно это сделать?
Первому человеку мы можем дать одну из 36 карт. Второму - одну из 35 оставшихся, третьем - 34, четвертому - 33, наконец, пятому - 32. То есть раздать 5 карт можно
способами. Каждый раз, когда нужно "разместить" n вещей по k местам, это можно сделать
способами.
3) Сочетания
Пример. Пусть теперь нам нужно раздать 6 карт одному человеку. Сколькими способами теперь можно это сделать? Точно также, как и в прошлом примере, первой картой мы можем дать ему одну из 36 карт, второй - одну из 35 карт, ..., пятой - одну из 32 карт, и шестой - одну из 31 карты. На первый взгляд, количество способов дать 6 карт одному человеку будет равно:
Однако же, заметим, что такой набор
и такой набор
мы посчитали разными наборами. Хотя в этих двух наборах содержатся одни и те же карты. Сколько же раз мы посчитали один и тот же набор? Это просто понять, ведь 6 карт можно разложить 6! разными способами. В таком случае одну и ту же комбинацию карт мы посчитали 6! раз.
Но это наша ошибка, не нужно считать наборы, состоящие из одних и тех же карт, разными только потому, что в них различаются порядки карт. В каком бы порядке человек не получил одни и те же карты, он все равно перемешает их у себя в руках и порядок не будет иметь никакого значения. Поэтому то, что мы посчитали раньше, нужно разделить на 6!, чтобы получить количество различных комбинаций 6 карт:
Теперь мы посчитали точное количество различных комбинаций. Каждый раз, когда нам нужно разложить n вещей по k местам так, что порядок этих вещей будет не важен, это можно сделать
способами.
Здесь может возникнуть путанница: "Почему в одном случае мы делим на k!, а в другом нет?" Самое важное слово здесь - порядок. Когда мы раздаём 5 карт 5-ти различным людям, важно, в каком порядке мы их раздадим. Ведь если у Коли будет бубновый валет, а у Васи крестовый туз, то это совсем не то же самое, если у Васи будет бубновый валет, а у Коли - крестовый туз. Но когда мы даём 6 карт одному человеку, совершенно неважно в каком порядке мы их ему дадим: сначала крестовый туз, а затем бубновый валет, или, наоборот, сначала бубновый валет, а затем крестовый туз. Это никак не повлияет на ход игры.
Научиться точно различать когда используется одна формула, а когда другая, можно с помощью решения различных задач и сверки ответов с правильными.
II. Вероятности
1) Определение вероятности
Вероятность события A - это отношение количества событий, в которых A исполняется, к отношению всех событий.
где m - количество благоприятных событий, n - количество всех событий.
Пример. Какова вероятность, что из всей колоды случайно выбранная карта окажется королём?
Всего 36 событий, из которых в 4-х случаях выпадает король. Поэтому вероятность, что выпадет король
2) Зависимые и независимые события
Два события называются зависимыми, если появление одного изменяет вероятность появления другого.
Пример. Пусть событие A - "Случайно выпавшая карта красной масти"
Событие B - "Случайно выпавшая карта бубновая"
Понятно, что событие B имеет вероятность 1/4. Но если мы знаем, что свершилось событие А, то есть случайно-выпавшая карта уже красная, то вероятность события B возрастает. Всего красных карт 18, бубновых - 9, поэтому вероятность, что из красных выпадет бубновая 9/18 = 1/2.
Два события называются независимыми, если появление одного события не меняет вероятность появления второго события.
Пример. Пусть событие А - "Случайно выпавшая карта - червовая"
Событие B - "Случайно выпавшая карта - туз"
Вероятность события B 4/36 = 1/9. Если же мы знаем, что событие А случилось и выпавшая карта точно червовая, то вероятность события B не меняется. Всего 9 червовых карт, 1 из которых - туз, поэтому вероятность события B не изменилась и осталась равной 1/9.
3) Произведение независимых событий
Вероятность одновременного появления независимых событий A и B есть произведение вероятности этих событий:
Пример. Какова вероятность, что случайно выпавшая из колоды карта окажется красной масти и окажется младше восьмёрки?
Пусть событие А - "случайная карта окажется красной масти". Вероятность такого события 18/36 = 1/2
Событие B - "случайная карта окажется младше восьмёрки". Вероятность такого события 8/36 = 2/9
То, что из карты выпадет карта красной масти не изменит вероятность того, что из колоды выпадет карта младше восьмёрки. Значит вероятность, что случайно выпавшая из колоды карта окажется красной масти и будет меньше восьмёрки:
P(АB) = P(А)∙P(B) = 1/2 ∙ 2/9 = 1/9
4) Совместные и несовместные события
Если выпадение события А исключает возможность выпадения события B, то такие события называются несовместными. Если же при выпадении события А остаётся возможность релизации события B, то такие события называются совместными.
Пример. Пусть событие А - из колоды карт выпадет карта красной масти. Событие B - из колоды выпадет шестёрка.
Если из колоды выпала красная карта, то есть возможность, что она окажется шестёркой, то есть событие А не исключает событие B, значит это совместные событий.
Пример. Пусть событие А - из колоды выпадет карта чёрной масти. Событие B - из колоды выпадет бубновая карта.
Если из колоды выпала карта чёрной масти, то она точно не будет бубновой, и наоборот. Значит события А и B - несовместные.
5) Сумма несовместных событий
Если событий А и B - несовместные, то вероятность, что случится А или B есть сумма вероятностей событий А и B:
Пример. Какова вероятность того, что случайно выпавшая карта окажется семёркой или картой старше десятки?
Событие А - "из колоды выпадет семёрка". Вероятность такого события 4/36 = 1/9.
Собитие B - "из колоды выпадет карта старше десятки". Вероятность такого события 16/36 = 4/9.
То, что из колоды выпадет семёрка исключает возможность выпадения карты старше дестяки. Значит, А и B - несовместные события. Вероятность, что из колоды выпадет семёрка или карта старше десятки:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/9 + 4/9 = 5/9
6) Полная система событий
Полная система событий - это такое множество несовместных событий, что одно из событий должно произойти обязательно. Например, пусть событие A - "при броске выпадет решка", B - "при броске выпадет орёл". Тогда A+B - это полная система событий, так как при броске обязательно выпадет либо орёл либо решка. При этом для полной системы событий P₁, P₂, ..., Pₙ справедливо, что:
Благодаря этому выражению, зачастую, бывает проще решить задачу через противоположные события. События A и B считаются противоположными, если B содержит в себе все события, не являющиеся событием B. Например, A - выпадет решка, B - выпадет орёл.
Пример. Платежный терминал в течение рабочего дня может выйти из строя. Вероятность этого события 0,07. В торговом центре независимо друг от друга работают два таких платёжных терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них в течение рабочего дня будет исправен.
Вероятность того, что оба терминала выйдут из строя P = 0,07*0,07 = 0,0049. Вероятность того, что "хотя бы один автомат будет исправен" - противоположное событие к событию "оба автомата выйдут из строя". Значит сумма этих вероятностей равна 1. Чтобы теперь найти вероятность того, что хотя бы один из автоматов будет исправен, достаточно из единицы вычесть вероятность того, что оба автомата выйдут из строя: 1 - 0,0049 = 0,9951.
7) Сумма совместных событий
Если А и B - совместные события, то вероятность, что случится А или B есть сумма вероятностей событий А и B, за вычетом их произведения:
Пример. Какова вероятность, что случайно выпавшая из колоды карта окажется крестовой по масти, либо старше девятки?
Пусть событие А - "случайная карта окажется крестовой"
Событие B - "карта окажется старше девятки"
Событие А не исключает возможность реализации события B, значит А и B - совместные события. Вероятность события А: P(А) = 9/36 = 1/4. Вероятность события B: P(B) = 20/36 = 5/9. Вероятность события А и B: P(АB) = 1/4 ⋅ 5/9 = 5/36. Тогда вероятность, что случится А или B:
P(А + B) = P(А) + P(B) - P(АB) = 1/4 + 5/9 - 5/36 = 24/36
8) Условная вероятность
Если А и B являются зависимыми событиями, то, из определения следует, что выпадение одного события влияет на вероятность выпадения другого. При этом вероятность того, что случится А, если уже известно, что случилось B, называется условной вероятностью и обозначается как P(A|B).
Пример. Какова вероятность, что случайная карта окажется семёркой, если заранее известно, что она меньше десятки?
Событие А - "случайно выпавшая карта окажется семёркой". P(А) = 4/36 = 1/9
Событие B - "случайно выпавшая карта меньше десятки". P(B) = 16/36 = 4/9
Тогда P(А|B) - вероятность, что карта окажется семёркой, если заранее известно, что она меньше десятки. Всего карт меньше десятки 16, из них 4 семёрки. Тогда P(A|B) = 4/16 = 1/4.
9) Формула Байеса
Условная вероятность связана с произведением событий. Действительно, если событие А уже реализовалось, то при реализации события B появляется событие, которое удовлетворяет как событию А, так и событию B, то есть события А и B.
В таком случае, вероятность события А и B можно посчитать как:
Но также можно написать, что P(АB) = P(B)⋅P(А|B).
В таком случае, так как правые части обоих уравнений равны, можно написать, что
Откуда можно выразить:
Данная формула называется формулой Байеса. Она позволяет считать условную вероятность P(B|A) при известном P(A|B).
10) Уравнение Бернулли
Пример. Пусть человек случайным образом вытаскивает карты из 36-карточной колоды карт. После того, как он смотрит на карту, он кладёт её обратно в колоду, после чего она перетасовывается. Какова вероятность того, что после 5 попыток вытащить карту, ровно 2 раза человек вытянет карту бубновой масти?
Сколько существует различных вариантов размещения 2 бубновых карт по 5 местам? Учитывая, что порядок нам не важен, это можно сделать
способами.
При этом, каждый отдельный способ реализуется с вероятностью
Так как вероятность выпадения бубновой карты равна 1/4 и она должна выпасть 2 раза. А вероятность выпадения небубновой карты равна 3/4 и она должна выпасть 3 раза. Все эти 5 событий независимы друг от друга, значит вероятность их совместной реализации есть произведение вероятностей их реализации по отдельности.
Тогда чтобы найти вероятность, что случится одно из 10 таких событий, нужно 10 раз сложить вероятности одного такого события, то есть вероятность, что из 5 карт ровно две окажутся бубновой:
Или, в общем виде:
Данная формула называется формулой Бернулли. В общем виде уравнение Бернулли выглядит следующим образом:
и показывает с какой вероятностью за n попыток событие с вероятностью p случится k раз.
Если вы хотите более уверенно решать параметры, записывайтесь на обучение в онлайн-школу Чернушка! Школа от студентов МФТИ для подготовки к олимпиадам и экзаменам на высокие баллы.