Теория вероятности

Введение

Данный пост был сделан для большего удобства тем, кто желает иметь более обозрительный материал по мною сделанному циклу про теорию вероятности. Он содержит только информацию, уже присутствующую на канале. Приятного прочтения!

«Бог не играет в кости»

Теория вероятности. Введение

Цикл: Разделы математики (6)

Подраздел: Введение в теорию вероятности (1)

Теория вероятности это раздел математики, который изучает случайные события и величины, тоесть тe, которые нельзя точно предсказать, а также операции над ними.

Она нашла широкое применение в анализе азартных игр, финанцовых вложений, инжинерии,транспортных потоков или распростарнений и последствий заболеваний

Одним из основных и самых простых способов определить вероятность исхода событий является её определение через общее количество исходов, например:

Мы имеем кубик с 6-ю гранями, соответственно общее количество исходов это 6. Тогда вероятность выпадения каждой из граней это 1/6. Для кубика с n гранями вероятность будет равна 1/n.

«Событийная бутафория»

Цикл: Разделы математики (6)

Подцикл: Теория вероятности. Основы (1)

Что называется событием, и какие виды событий бывают?

Допустим, мы ставим опыт. Опыт заключается в самом простом, что можно представить, — в кидании монетки. В нашем случае есть 2 возможных события: Орёл — (A) или Решка — (B). То есть событие — это исход какого-либо эксперимента.

Перейдём дальше к типам событий, их есть три:

1) Достоверное

2) Невозможное

3) Случайное

Достоверное — это то, что произойдёт в любом случае, например:

Выпадет или орёл, или решка ((A + B)).

Невозможное — это то, что не произойдёт ни в коем случае, например:

Выпадет и орёл, и решка ((AB)) или выпадет снег ((C)).

Случайное — это то, что может произойти, но происходить не должно, например:

Выпадет орёл ((A)) или выпадет решка ((B)).

Также события можно разделить на совместимые и несовместимые, например:

Завтра в 12:00 пойдёт дождь ((A)).

Завтра в 12:00 не пойдёт дождь ((B)).

Завтра в 5:00 будет туман ((C)).

В этом случае мы можем точно сказать, что события (A) и (B) несовместимы, поскольку в один момент времени не может и пойти дождь, и не пойти.

Но вот (A) и (C), а также (B) и (C) вполне себе совместимы.

«А что, есть больше одной алгебры?»

Алгебра Событий

Цикл: Разделы математики (6) Подцикл: Теория вероятности. Основы (2)

Предположим, у тебя есть колода из 36 карт. Ты как следует перемешал эту колоду, и тянешь одну карту с вершины колоды. Какие разные предположения о будущих событиях ты можешь поставить? Самое очевидное — это сказать, что может попасться «Дама Пик». Но ты также можешь сказать: карта, которую я вытяну, будет красной, это тоже подходящее предположение. Также можно сказать, что это будет либо «7 Пик», либо «10 Крести», а можно, например, сказать, что это будет не «Король Бубен». Всё это возможные исходы, но можно ли как-либо описать на математическом языке?

Оказывается, можно, и даже более того, я использовал его в прошлом посте.

Допустим, у нас есть 36 событий, и мы даём им определённые имена следующим образом: Ac6 - 6 Червей AcD - Дама Червей Ab10 - 10 Бубен ApT - Туз Пик AkB - Валет Крести

В таком случае выражение Туз Пик и Король Червей могут быть описаны так: ApTAcK (2 события друг за другом без других знаков) или ApT ⋃ AcK; это также иногда называют произведением двух событий.

А выражение 6 Червей или 7 Червей вот так: Ac6 + Ac7; это также иногда называют суммой двух событий.

Чтобы сказать “не” в этом писании, нужно нарисовать черту над символом события, но так как Telegram эту функцию, к сожалению, не поддерживает, мы будем использовать восклицательный знак перед событием. Например: Ac6 + !Ac7.

«Это, вероятно, невероятно»

Цикл: Разделы математики (6)

Подцикл: Теория вероятности. Основы (3)

Наконец-то можно перейти к центральному понятию теории вероятности — вероятности. Классическим определением вероятности было бы: 

"Вероятность — это отношение определённых исходов к числу всех возможных исходов." Это определение подходит для довольно большого спектра случаев, но имеет и свои недостатки, например, в случаях, когда количество исходов бесконечно или когда некоторые исходы вероятнее других. Но эти темы мы затронем позже, а сейчас оставим это определение.

В соответствии с этим определением можно без труда вычислить интересующую нас вероятность, например, выпадения 4 на кубике или того, что раздающий карты выдаст тройку пик. Так как на обычном кубике всего 6 граней, то вероятность первого события будет 1/6, а в колоде 52 карты, поэтому вероятность второго события будет 1/52. 

Также вероятность можно выразить следующим образом: 

P(A), где P — функция вероятности, а A — множество исходов, вероятность которых вас интересует.

Теперь можно перейти к основным свойствам вероятностей:

1. Вероятность события плюс вероятность противоположного события равна 1, то есть это событие достоверно: 

P(A) + P(!A) = P(A + !A) = 1

2. Вероятность события, не присутствующего в множестве возможных исходов, равна 0: 

P(B|B∉A) = 0, где А — множество возможных исходов. То есть, вероятность исходов из B, где B не принадлежит A (B|B∉A)

3. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей: 

P(A) + P(B) = P(A+B), при A⋂B=∅;. То есть, при том условии что пересечение A и B (A⋂B) выдаёт пустое множество (∅)

4. Вероятность того, что сначала произойдёт одно событие, а потом другое, равна их произведению: P(A) * P(B)

«Это знать надо, это классика...»

Дополнительное по теории вероятности.

Цикл: Разделы Математики (6)

Подцикл: Теория Вероятности. Основы (4)

Сегодня это последний информативный пост именно об основах теории вероятностей. Для всех, кто хочет её изучать дальше, это должно стать своеобразной азбукой, а для тех, кому это просто интересно, может стать довольно полезным инструментом при решении довольно обширного спектра задач, хоть и не самых серьёзных. Сейчас я дополню всё, что не было сказано в прошлых постах на эту тему.

Первое, что нужно дополнить, это понятие о равновозможности событий. Равновозможные события — это, очевидно, те, что имеют одинаковую вероятность, например, выпадение орла или решки при броске "честной" монеты.

Следующее — это полная группа событий. Полная группа событий — это множество всех несовместимых событий, которые могут произойти. Сумма вероятностей элементов полной группы событий всегда равна 1.

Также есть понятие элементарные события. Это те события, которые не могут быть разложены на другие. Например:

Событие "раздающий положит на стол чирву" — это не элементарное событие, поскольку его можно разложить на многие другие, такие как: раздающий положит на стол чирву 6, чирву 7, чирву 8, чирву 9 и так далее. А вот чирва 6 уже была бы элементарным событием, поскольку не состоит ни из чего другого.

Также, помимо классического определения вероятности, есть также и геометрическое, и статистическое, их тоже стоит упомянуть.

Начнём с геометрического.

Зачем оно вообще нужно? Мы знаем, что классическое определение вероятности требует от нас конечного числа возможных событий и конечного числа нужных нам событий. Но вот если у нас есть задача подобного плана:

Есть отрезок длиной 1. Какова вероятность того, что стрела, попадающая в случайную часть отрезка, попадёт в промежуток между 0.4 и 0.6?

Мы не можем найти точное количество всех возможных исходов, их просто бесконечно много в соответствии с аксиоматикой геометрии. Тут мы на первый взгляд делаем то же самое, но ход мысли, которым мы к этому приходим, немного иной.

Мы можем вычислить отношение между длинами этих отрезков, и тогда получим соответствующую вероятность попадания в нужный нам отрезок.

Тогда наша вероятность будет равна: 0.2 / 1 = 0.2.

Тот же самый трюк может сработать с многими другими бесконечными множествами, отношение которых друг к другу мы можем узнать.

По поводу статистического определения вероятности пока ещё не получится поговорить, поскольку для этого требуется больше знаний, чем то, что я сегодня здесь написал, и это нельзя будет с точной уверенностью отнести к основам, скорее уже к более продвинутому уровню. Поэтому ожидайте выхода следующих циклов по теории вероятностей и оценочной статистике.

Дополнительное

«Бог не играет в кости, а зря - такой был бы игрок...»

Комментарий к теме случайность и вероятность

В данном комментарии я буду исходить из детерминизма, то есть из философской теории о том, что ничего в мире не происходит просто так и для всего есть своя причина. Например: причиной того, что при броске кубика выпала пятёрка, является то, что бросающий подкинул его именно с такой силой, именно в этом месте, и он упал именно на этой поверхности. Если бы все условия были прежними, то кубик снова упал бы на 5, и через десять раз, и через 100.

Так как же вписывается такое понятие, как случайность, в концепцию детерминизма? Ведь случайностей нет, а значит, вероятность каждого события всегда должна быть одна — 100%. Нет, отвечу я, всё дело в восприятии такой вещи, как случайность.

Мы, люди, к сожалению, не можем воспринимать и осознавать все факторы, влияющие на ход событий, хотя бы в силу ограниченности нашего разума. И в соответствии с этим мы не всегда можем со стопроцентной уверенностью сказать, что что-либо произойдёт, в силу вышеуказанных факторов. И для того чтобы хоть как-то обходить этот недостаток человеческого организма, было придумано такое понятие, как случайность, то есть то, что мы не в силах предугадать. Это значит мы просто говорим, что не учитываем некоторые факторы при попытке предсказать последующее событие, а значит, просто считаем его случайным.

В этом контексте вероятность — это величина, описывающая то, насколько часто при равных условиях можно встретить подобный исход, а случайность - событие на появление которого повлияли факторы, которые мы не учитываем.

Заключение

Я надеюсь тебе понравился данный материал. Дальнейшую информацию по теме можно будет с неопределённой вероятностью найти на канале @MathPodHod.

Желаю тебе отличного дня!