Теоретические распределения данных - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа

Зависимость функций плотности вероятности, кумулятивного и обратного кумулятивного распределений от их параметров. Представление примеров вычисления вероятностей и доверительных интервалов. Рассмотрено нормального, логнормального, бинарного распределения.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

В данной курсовой работе раскрывается тема «Теоретическое распределение данных»: демонстрируется зависимость функций плотности вероятности, кумулятивного и обратного кумулятивного распределений от их параметров. Представлены примеры вычисления вероятностей и доверительных интервалов. Рассмотрены нормальное и логнормальное распределения, распределения Пуассона и бинарное распределение.
Целью работы является изучить различные распределения данных, а также ознакомиться с программой MATLAB.
вероятность распределение доверительный интервал
1. Теоретические распределения данных
Для численного и графического представления теоретических распределений данных в MATLAB имеются 3 типа файл-функций, включающих в свое имя аббревиатуры pdf, cdf или inv, расшифровка и перевод которых даны в следующей таблице:
функция кумулятивного распределения
inverse cumulative distribution function
функция обратного кумулятивного распределения
Файл-функции с указанными аббревиатурами оперируют числовыми переменными среды MATLAB и потому эквивалентны в представлении как непрерывных, так и дискретных распределений. Для дискретных распределений файл-функции pdfs (Probability density functions) вычисляют вероятности значений случайной переменной, для непрерывных - плотность вероятности значений случайной переменной. Еще заметим, в Help MATLAB при повторных или безальтернативных ссылках на файл-функции pdf, cdf и inv чаще используется одно слово distribution, т.е. «распределение».
Если задана функция плотности вероятности f (x| а, b,…), где х - случайная переменная, принимающая непрерывный ряд значений, а, b,… - параметры распределения, то функция кумулятивного распределения
определяет вероятность того, что случайная переменная принимает значение, меньшее х.
Аналогично определяются вероятности того, что случайная переменная принимает значение, большее x, и значение, находящееся в интервале [x 1 , x 2 ]. В краткой форме все три вероятности записывают так:
P (yx) = l-F(x), P(x 1 ?y0 - справа. Для распределений, симметричных относительно среднего, например, нормального, А = 0.
коэффициента эксцесса (меру островершинности) распределения.
1 .1.2 Нормальное (гауссово) распределение
Нормальное распределение находит применение в анализе
результатов большинства физических измерений,
финансово-экономических данных и маркетинговых исследованиях,
данных, полученных в результате исследования технологических, социальных, экологических и других процессов.
Функция плотности вероятности нормального распределения
со средним значением µ случайной переменной х и стандартным отклонением у представлена в MATLAB файл-функциями normpdf (x, mu, sigma) или pdf ('Normal', x, mu, sigma).
Построить графики плотностей нормальных распределений со средним значением
µ= 0 и стандартными отклонениями у= 1,2,3 (рис. 1.1).
title ('Плотность нормального распределения,\mu=0, \sigma=var')
Из рис. 1.1 следует, что увеличение стандартного отклонения приводит к расплыванию плотности распределения случайной переменной.
Построить графики плотностей нормальных распределений со средними значениями µ= 0,1,2 и стандартным отклонением у= 1 (рис. 1.2).
title ('Плотность нормального распределения,\mu=var, \sigma=1 ')
Из рис. 1.2 следует, что увеличение среднего значения сдвигает плотность распределения случайной переменной в положительном направлении оси абсцисс.
Вычислить среднее значение, дисперсию, 3-й и 4-й моменты, коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения случайной величины.
f=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
Перепишем полученные результаты в аналитической форме
µ=µ, D=у 2 , M 3 =0, A=0, M 4 =3у 4 , E=0.
Найти вероятности P 1 (-?, 0), P 2 (-?;+?), P 3 (1,2) попадания значений случайной переменной с распределением N (µ, у) в интервалы значений (-?, 0), (-?,+?) и [1,2].
f=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
P3 =erf (2^(1/2))/2 - erf (2^(1/2)/2)/2
Вероятность P 3 (1,2)=erf() - erf() выражена через функцию ошибок erf(x)=dt.
Построить график функции ошибок erf(x)=dt.
plot (x, erf(x), 'k', 'LineWidth', 1.5)
В аналитической форме интегралы, определяющие искомые вероятности, имеют следующий вид:
f=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
P2=int (f, x, mu-epsilon, mu+epsilon);
x=mu-xLim:2*epsilon*10^-3:mu-epsilon;
C=[.1.1.1]; F=normpdf (x, mu, sigma);
xp=[x, mu-epsilon, mu-xLim]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C);
x=mu-epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+epsilon;
C=[.7.7.7]; F=normpdf (x, mu, sigma);
x=mu+epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+xLim;
C=[.1.1.1]; F=normpdf (x, mu, sigma);
xp=[x, mu+xLim, mu+epsilon]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C);
set (gcf, 'Position', [35 35 750 650])
Создать файл-функцию для графической иллюстрации и оценок вероятностей попадания значений случайной переменной, подчиняющейся нормальному распределению с параметрами µ и у, в интервал значений от x 1 до x 2 . Используя файл-функцию, найти: 1) вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами µ=0 и у=1 в интервал значений от x 1 = -1 до x 2 = 2; 2) вероятность попадания случайно переменной с распределением N (µ= 2,у= l) в интервал значений от x 1 =µ-3у= -1 до х 2 = µ+3у=5.
function NormFig (mu, sigma, x1, x2)
% Построение графика плотности вероятности
x=mu-tsigma: (x2-x1)*10^-2:mu+tsigma;
C=[.7.7.7]; f=normpdf (x, mu, sigma);
fm=subs (f, x, mu); P=int (f, x, x1, x2); P=vpa (P, 5)
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины c параметрами µ= 0 и у= 1 в интервал значений от х 1 = -1 до x 2 = 2 (рис. 1.5):
Далее используем файл-функцию NormFig для иллюстрации правила трех сигм, которое говорит о том, что если случайная переменная имеет нормальное распределение N (µ, у), то практически достоверно попадание ее значений в интервал от µ-3у до µ+3у.
Вероятность попадания случайной переменной с распределением N (µ=2, у=1) в интервал значений от х 1 = µ-3у= -1 до х 2 =µ+3у= 5 (рис. 1.6):
Вычислить моду нормального распределения с параметрами µ= 2 и у= 1.
(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
diff_f=subs (diff_f, {'mu', 'sigma'}, {2,1})
set (gcf, 'position', [300 35 550 680])
diff_f =(2^(1/2)*(2*mu - 2*x))/(4*pi^(1/2)*sigma^3*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2)))
f =2^(1/2)/(2*pi^(1/2)*exp((x - 2)^2/2))
diff_f = - (2^(1/2)*(2*x - 4))/(4*pi^(1/2)*exp((x - 2)^2/2))
Мода нормального распределения совпадает со средним значением случайной переменной: x =µ =0.
На рис. 1.7 помимо функции плотности нормального распределения, показанного в первом подокне, во втором подокне показана производная функции распределения, которая обращается в ноль при значении х=2.
Численное решение этой задачи связано с использованием М-функции [fmax, k]=max(f) обработки числовых массивов, где fmax - имя наибольшего элемента массива f, k - номер наибольшего элемента в массиве f.
% Вычисление вектора значений функции плотности вероятности
% Определение максимального элемента массива х и номера этого элемента
% Определение моды по номеру элемента массива х
Но рмальное кумулятивное распределение
Функция кумулятивного нормального распределения
определяющая вероятность того, что случайная переменная примет значение, меньшее x, представлена в MATLAB файл-функциями normcdf (x, mu, sigma) и cdf (`Normal', x, mu, sigma).
Дифференцирование функции кумулятивного распределения приводит к функции плотности вероятности
F=int (exp(- (t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);
f =1/(sigma*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2))*(2*pi)^(1/2))
Построить график кумулятивных функций нормального распределения со средним значением µ=0 и стандартными отклонениями у=1,2,3 (рис. 1.8)
plot (x, F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
title (' Нормальное распределение \mu=0,\sigma=var')
Установить связь функции ошибок erf(x)= с нормальным распределением F(x)=, имеющим параметры µ=0 и у=.
и подставляя найденное значение в формулу для F, получим
F=int (exp(- (t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);
erf=2*subs (F, {mu, sigma}, {0,1/2^(1/2)}) - 1;
plot (F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
Сначала решим задачу аналитически. Для этого используем определение величины P через интеграл
то разбивая диапазон изменения переменной интегрирования на 3 области (-?, µ-?),
Решим задачу численно, полагая, например, µ=5, у=1, ?=1.
f=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
disp ('Прямое вычисление исходного интеграла')
P=int (f, x, mu-epsilon, mu+epsilon), P=vpa (P, 5)
disp ('Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию')
P=int (f, x, - inf, mu+epsilon) - int (f, x, - inf, mu-epsilon);
disp ('Вычисление разности значений кумулятивной функции')
P=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma) - normcdf (mu-epsilon, mu, sigma)
Прямое вычисление исходного интеграла
Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию
Вычисление разности значений кумулятивной функции
Используя кумулятивную функцию распределения, найти вероятность того, что значения случайной переменной X=N (µ, у) лежат в интервале [µ-?, µ+?]. Дать численное решение для случаев: а) X=N (0,1), [-0. 5,0.5]; b) X=N (3,1), [-0. 5,0.5]; c) X=N (0,2), [-0. 5,0.5]; d) X=N (0,2), [-3,3].
Для решения задачи напишем файл-функцию, основанную на обращении к высокоуровневой функции normcdf. В качестве выходной величины сформируем вектор с компонентами значений кумулятивной функции на краях заданных интервалов и их разности, определяющей искомую вероятность.
function epsilonM (mu, sigma, epsilon)
p1=normcdf (x1, mu, sigma); p2=normcdf (x2, mu, sigma);
x=x1-3*sigma:10^-1:x2+3*sigma; F=normcdf (x, mu, sigma);
plot (x, F, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
title ('\mu=0, \sigma=1, \epsilon=0.5')
x=mu-epsilon:2*epsilon*10^-2:mu+epsilon;
C=[.7.7.7]; F=normcdf (x, mu, sigma);
fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C); alpha(.5)
F1=normcdf (mu-epsilon, mu, sigma);
text (mu-epsilon, F1, num2str(F1));
F2=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma);
text (mu+epsilon, F2, num2str(F2));
В случае а) обращение к файл-функции
дает величину 0.3829 вероятности попадания значений случайной переменной X=N (0,1) в интервале [-0. 5,0.5]. Рис. 1.9 иллюстрирует эти вычисления.
Вычисления для случая b) показывают, что изменение среднего значения случайной величины не изменяет значений вычисляемых вероятностей (рис. 1.10).
В случае с) увеличение стандартного отклонения приводит к увеличению вероятности получить значение случайной переменной X=N (0,2) меньшее, чем нижняя граница заданного интервала [-0. 5,0.5], и к уменьшению вероятности получить значение случайной величины меньшее, чем верхняя граница интервала. Связано это с уменьшением крутизны кумулятивной функции. В результате этих изменений вероятность получить значение случайной переменной X=N (0,2) в заданном интервале уменьшается (рис. 1.11).
В случае d) увеличение интервала от [-0. 5,0.5] до [-3,3] приводит к увеличению вероятности обнаружить значения случайной переменной в пределах интервала.
Проверим последний результат обращением к файл-функции NormFig, которая вычисляет вероятности на основании использования высокоуровневой функции normpdf
2. Обратная кумулятивная функция нормального распределения
Обратная кумулятивная функция нормального распределения, являющаяся решением интегрального уравнения
определена файл-функцией norminv (F, mu, sigma):
Квантиль x q уровня q, вычисляют решением уравнения
Построить графики функций обратных кумулятивных нормальных распределений с параметрами µ=0 и у=1,2,3 (рис. 1.14).
plot (F, x, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
title (' Обратное нормальное распределение, \mu=0, \sigma=var')
Связь функций кумулятивного и обратного кумулятивного распределений иллюстрируется следующими двумя алгоритмами.
xnew=norminv (normcdf(x, mu, sigma), mu, sigma);
plot (x, xnew, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
title ('x=norminv (normcdf(x, mu, sigma), mu, sigma)')
Fnew=normcdf (norminv(F, mu, sigma), mu, sigma);
plot (F, Fnew, 'k', 'LineWidth', 1.5), hold on
title (' F=normcdf (norminv(F, mu, sigma), mu, sigma)')
Построить файл-функцию для вычисления и графической иллюстрации квантилей нормального распределения с параметрами µ и у. Уровни квантилей задать вектором q= [q, q 2 , q 3 …].
function quantileMy (mu, sigma, q)
disp ('Квантили, вычисленные функцией norminv')
F=0:10^-5:1; x=norminv (F, mu, sigma);
disp ('Квантили, вычисленные функцией quantile')
disp ('Процентили, вычисленные функцией prctile')
plot (F, x, 'k', 'LineWidth', 1.5);
title ('Квантили распределения N (\mu=5, \sigma=1)')
mu=5; sigma=1; q=[.05 0.25 0.5 0.75 0.95]
q =0.0500 0.2500 0.5000 0.7500 0.9500
Квантили, вычисленные функцией norminv
xq =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Квантили, вычисленные функцией quantile
xq =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Процентили, вычисленные функцией prctile
xp =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Например, квантиль x 0.25 распределения N (5,1) говорит о том, что значению F=0.25 кумулятивной функции распределения соответствует значение случайной величины, равное х 0.25 =4.3255.
Для нормального распределения с параметрами µ=0 и у=1, используя высокоуровневую функцию disttool, предоставляющую графический интерфейс для интерактивной работы с функциями pdf и cdf, вычислить: 1) значение функции распределения (плотности вероятности, pdf) для значения случайной величины х=0.75; 2) значение кумулятивной функции (cdf) распределения для значения случайной величины х=0.75;
3) значение случайной величины x 0.75 для значения F=0.75 обратной кумулятивной функции
Вводя в командное окно MATLAB оператор
Сравнивая значение квантили х 0. 75 =0.67449=0.6745 распределения N (µ=0,у=1), полученное в окне на рис. 1.20, со значением квантили =5.6745, найденной в предыдущей задаче, нетрудно заметить, что они связаны простым соотношением:
где символом у обозначено, что взята квантиль распределения другой переменной.
Примечание. Графический интерфейс disttool позволяет работать только с функциями pdf и cdf. Но в графическом окне для функции, cdf предоставлена возможность изменения значений как аргумента, так и функции, что делает избыточным построение графика обратного кумулятивного распределения (inv).
Инструмент disttool является чрезвычайно эффективным средством в освоении характерных черт различного рода статистических распределений.
Подойдем к вопросу связи квантилей разных распределений более подробно и одновременно для разнообразия воспользуемся идеей файл-функции disttool вычислять квантили с их графической иллюстрацией на основании функции cdf.
Построить файл-функцию для вычисления и графической иллюстрации с помощью функции cdf квантилей двух нормальных распределений N(µ 1 , у 1 ) и N(µ 1 , у 1 ). Уровни квантилей задать векторами q 1 =[q 11, q 12, q 13 …] и q 2 =[q 21, q 22, q 23 …].
function quantileMy2 (mu1, sigma1, q1, mu2, sigma2, q2)
x1=mu1-3*sigma1:10^-5:mu1+3*sigma1;
plot (x1, F1,'k', 'LineWidth', 1.5);
set (gca, 'XTick', xq1), set (gca, 'YTick', q1)
axis ([mu1-3*sigma1 mu1+3*sigma1 0 1])
title ('Квантили распределения N (\mu_1, \sigma_1)')
x2=mu2-3*sigma2:10^-5:mu2+3*sigma2;
plot (x2, F2,'k', 'LineWidth', 1.5);
set (gca, 'XTick', xq2), set (gca, 'YTick', q2)
axis([mu2-3*sigma2 mu2+3*sigma2 0 1])
title ('Квантили распределения N (\mu_2, \sigma_2)').
В заключение главы отметим, что представленные алгоритмы решений задач по темам непрерывных и дискретных распределений, в которых мы ограничились нормальным, логнормальным распределениями, распределением Пуассона и биномиальным распределением, задают основу для анализа произвольного статистического распределения.
Логнормальное распределение. Применение моделирования логнормального распределения. Постановка и реализация поставленной задачи. Математическое ожидание. Инструкция пользователю. Описание программного модуля. Общие данные логнормального распределения. курсовая работа [364,6 K], добавлен 08.01.2009
Создание программного продукта, представляющего моделирование на компьютере логнормального распределения, определение вероятностной оценки стоимости актива. Описание работы программного продукта. Работа с графиками, таблицами, математическими функциями. курсовая работа [742,7 K], добавлен 08.01.2009
Статистическая аппроксимация законов распределения. Основные теоретические сведения теории классификации. Алгоритмы параметрической аппроксимации функции плотности распределения вероятностей. Апробация и применение средств автоматизации в виде макросов. дипломная работа [5,0 M], добавлен 23.08.2009
Методы вычисления точных вероятностей в покере. Проектирование алгоритма нахождения вероятности выигрыша для нескольких игроков. Теоретический расчет вероятности выигрыша в игре. Программная оптимизация и упрощение алгоритмов вычисления вероятностей. курсовая работа [96,1 K], добавлен 17.06.2013
Оценка неизвестной функции распределения величины или ее плотности распределения вероятности. Алгоритм основной программы, функции для построения графика исходного массива, гистограммы и графика функции Лапласа. Результат обработки сейсмического сигнала. курсовая работа [194,4 K], добавлен 16.12.2012
Разработка программной реализации для решения задач бесприоритетного и приоритетного распределений. Контрольный пример решения задачи бесприоритетного распределения со структурой иерархии 5-4-2. Алгоритм расчета задачи одноресурсного распределения. курсовая работа [2,3 M], добавлен 05.01.2013
Моделирование работы генератора случайных двоичных чисел с ограниченной последовательностью 0 и 1, подчиняющегося равномерному закону распределения, заданному с помощью модели Гильберта. Представление программного решения задачи средствами языка С++. лабораторная работа [857,7 K], добавлен 05.06.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Теоретические распределения данных курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Реферат по теме Маркировка медицинских и фармацевтических товаров, её роль в товароведческом анализе
Сочинение Чудный Собор 8 Класс Ладыженская
Сочинение Зачем Нужна Речь
Пожарные Автоцистерны Реферат
Короткое Сочинение О Бабушке
Дипломная Работа Оценка Рыночной Стоимости Оао Новатэк
Реферат: Are We Ever Really Safe Essay Research
Самостоятельные И Контрольные Работы 4 1
Сочинение На Тему Забавный Случай 5 Класс
Реферат: Это мое последнее слово, обращенное ко всему миру. Борис Пастернак . Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Историко-правовой анализ понятия преступления по соборному уложению 1845 года
Курсовая работа по теме Инструменты развития организационного капитала компаний
Стойкость Сочинение 15.3
Реферат по теме Геометрія молекул
Реферат по теме "Холодная война" как противостояние двух политических систем
Реферат по теме Технология социального патронажа
Курсовая работа по теме Электроснабжение потребителей цеха
Курсовая работа: Система дыхания животных
Курсовая Работа Пуантилизм В Изобразительном Искусстве
Реферат: Бухгалтерский финансовый учет
Оценка возможностей рубля и юаня в становлении международными резервными валютами - Международные отношения и мировая экономика реферат
Последствия ядерных испытаний в Казахстане - Военное дело и гражданская оборона презентация
Экономическое содержание бухгалтерского баланса - Бухгалтерский учет и аудит контрольная работа