Теорема виета примеры

Скачать файл - Теорема виета примеры

Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения , помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета. В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами. Эти результаты утверждаются теоремой Виета:. Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: Начнем с суммы корней, составляем ее. Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем. В числителе полученной дроби раскрываем скобки , после чего приводим подобные слагаемые: Наконец, после сокращения дроби на 2 , получаем. Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Составляем произведение корней квадратного уравнения: Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как. Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов , так. Дальше, вспомнив определение квадратного корня , выполняем следующий переход. Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней. Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид: Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением , выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a. Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:. Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее. На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета. Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров. Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений. Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней. Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями. Полученное значение отлично от 4 , поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения. Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения. Оба условия выполнены, поэтому эти числа x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения. Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере. Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: Таким образом, 2 и 3 — корни данного квадратного уравнения. Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений. Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Так мы определили оба корня квадратного уравнения: Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант. Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x 1 и x 2. Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член. Вычисляем сумму и произведение данных чисел: Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Приведем два соответствующих утверждения: Если свободный член q — положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные. Если же свободный член q — отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный. Рассмотрим примеры их применения. Сначала определим, при каких r это уравнение имеет два корня. Для этого найдем дискриминант, и выясним, при каких r он положителен. Следовательно, исходное квадратное уравнение имеет два корня при любых действительных значениях параметра r. Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n. Их называют формулами Виета. Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x 1 , x 2 , …, x n среди них могут быть совпадающие: Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители , а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета. Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид. Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Теорема Виета, формулировка, доказательство. Теорема, обратная теореме Виета. Примеры использования теоремы Виета. Алгебра и начала математического анализа.

Теорема виета примеры

Скачать файл - Теорема виета примеры

Квадратные уравнения. Средний уровень.

Теорема Виета

Теорема Виета, формулы Виета

Теорема Виета, формула

Report Page