Теорема о характеристике поля
Теорема о характеристике поляХарактеристика поля
=== Скачать файл ===
Архитектура- Астрономия- Биология- Биотехнологии- Военное дело- Высокие технологии- География- Геология- Государство- Демография- Дом- Журналистика и СМИ- Изобретательство- Иностранные языки- Информатика- Искусство- История- Компьютеры- Косметика- 55 Кулинария- Культура- Лингвистика- Литература- Маркетинг- Математика- Машиностроение- Медицина- Менеджмент- Механика- Науковедение- Образование- Охрана труда- Педагогика- Полиграфия- Политика- Право- Приборостроение- Программирование- Производство- Промышленность- Психология- Религия- Связь- Сельское хозяйство- Социология- Спорт- Строительство- Торговля- Транспорт- Туризм- Физика- Философия- Финансы- Химия- Экология- Экономика- Электроника- Электротехника- Энергетика- Юриспруденция- Ядерная техника- Подполем поля называется подкольцо в , само являющееся полем. Например, поле рациональных чисел есть подполе поля вещественных чисел. В случае, если , то говорят, что поле является расширением своего подполя , а поле называется погруженным в поле. Из определения подполя следует, что нуль и еденицы поля будут содержаться также в и служить для нулём и единицей. Пусть — некоторое семейство подполей поля , тогда имеет место следующие утверждение. Пересечение любого семейства подполей поля будет подполем в. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству аналогичного утверждения для колец. Пусть, как и ранее, — некоторое подмножество множества поля , такое, что оно содержится в каждом подполе семейства подполей , то есть , тогда можно определить минимальное подполе поля , содержащее заданное множество:. Если взять пересечение , всех подполей, содержащих и некоторый элемент , но не принадлежащий , то будет минимальным полем , содержащим множество. В этом случае говорят, что минимальное расширение подполя поля получено присоединением к полю элемента , и отражают этот факт в записи. Аналогично можно говорить о подполе поля , полученном присоединением к полю n-элементов поля. Поле чисел вида , где и — любые рациональные числа, является расширением поля рациональных чисел: Поля и называются изоморфными, если они изоморфны как кольца. Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым и обозначается. В каждом поле содержится одно и только одно простое поле. Это простое поле изоморфно либо , либо для некоторого. Предположим, что существует два различных простых подполя и поля. Это означает, что их пересечение очевидно, не пустое, поскольку 0 и 1 содержатся как в , так и , будет простым полем, отличным от и , а это невозможно ввиду их простоты. Следовательно, наше предположение неверно и простое поле - единственно. В простом поле наряду с единичным элементом 1, содержатся все его кратные. Следовательно, целочисленные кратные составляют некоторое целочисленное коммутативное кольцо. Поэтому отображение кольца целых чисел в кольцо , определяемое правилом. Согласно теореме о гомоморфизме, кольцо изоморфно кольцу классов вычетов , где — идеал кольца целых чисел. Так как кольцо не содержит делителей нуля, следовательно, идеал должен быть простым. Кроме того, идеал не может быть единичным то есть , потому что иначе выполнилось бы равенство. В этом случае является наименьшим положительным числом со свойством. Таким образом, кольцо изоморфно кольцу классов вычетов по модулю простого числа , то есть Кольцо для простого является полем. Следовательно, кольцо — так же поле, являющееся простым. В этом случае гомоморфизм целочисленных колец является изоморфизмом. В этом случае кольцо не является полем, потому что таковым не является кольцо целых чисел. Простое поле должно содержать не только элементы из , в нем должны быть еще отношения этих элементов. Известно, что изоморфные целочисленные кольца и имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое поле изоморфно полю рациональных чисел. Действительно, если коммутативное кольцо, например, кольцо целых чисел — вложено в некоторое тело , то внутри из элементов кольца можно строить частные:. Таким образом, частные составляют некоторое поле , которое называется полем частных коммутативного кольца, в данном случае из кольца обычных целых чисел строится поле рациональных чисел —. Поле имеет характеристику нуль , если его простое подполе изоморфно ; поле имеет простую или конечную характеристику , если оно изоморфно. Характеристика поля обозначается , если имеет характеристику нуль и , если имеет конечную простую характеристику. Вместо для обозначения абстрактного поля из p элементов служит обычно Galois Field — поле Галуа. Следует заметить, что существует конечное поле с элементами, где — простое, а — любое целое положительное число. Рассмотрим поле , состоящие из четырех элементов Таблицы Кэли для операций сложения и умножения в поле имеют вид:. Чем являются элементы , нас пока не интересует. Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка единичного элемента 1 в аддитивной группе поля. Аналогично, конечная характеристика — общий порядок любого ненулевого элемента в аддитивной группе поля:. Все числовые поля являются полями характеристики нуль. Все конечные поля являются полями конечной характеристики. Действительно, если поле — конечное, то среди всех целых, положительных, кратных единице этого поля обязательно будут кратные, равные между собой, в противном случае поле было бы бесконечным. Ответ на этот вопрос следующий. Любое простое число , очевидно, является характеристикой поля. Другими словами, не существует полей, характеристиками которых были бы составные числа. Если поле имеет характеристику , то число — простое. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что — не простое число, тогда его можно представить в виде , где и. Следовательно, предположение, что — составное число, неверно. Рассмотрим элементарные свойства поля характеристики нуль и характеристики. Если — поле характеристики нуль, то любое целое кратное всякого отличного от нуля элемента не равно нулю: Пусть — произвольный элемент поля отличный от нуля: Так как в поле нет делителей нуля и, по условию, , то из равенства. Поэтому предположение, что неверное и, следовательно, при любом натуральном имеем. Более того и при любом целом. Если — поле характеристики , то для любого элемента справедливо равенство. Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Общая характеристика Cудебник г. Общая характеристика, система и источники I. Характеристика защитных сооружений - 25 мин. Главная Случайная страница Контакты Спросить на ВикиКак. Пусть, как и ранее, — некоторое подмножество множества поля , такое, что оно содержится в каждом подполе семейства подполей , то есть , тогда можно определить минимальное подполе поля , содержащее заданное множество: Говорить о гомоморфизмах полей не имеет смысла, так как. Главная Случайная страница Контакты Спросить на ВикиКак END RotaBan. Следовательно, есть только две возможности: Действительно, если коммутативное кольцо, например, кольцо целых чисел — вложено в некоторое тело , то внутри из элементов кольца можно строить частные: Рассмотрим поле , состоящие из четырех элементов Таблицы Кэли для операций сложения и умножения в поле имеют вид:
Понятие и виды основания возникновения
Выступление по переводу на карты мир области
Где поужинать в санкт петербурге