Таблица 5x5 заполнена числами 1 2 25
Таблица 5x5 заполнена числами 1 2 25Научный форум dxdy
=== Скачать файл ===
Инвариант от латинского invarians , в родительном падеже invariantis — неизменяющийся. Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность нечетность и остаток от деления, хотя встречаются и другие стандартные инварианты: Причем, применение четности - одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач. Сформулируем наиболее важные утверждения, на которых основано применение этой идеи:. На доске записано 15 чисел: Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: Какое число останется на доске? Сумма 15 исходных чисел равна 7. Рассмотрим, какая сумма чисел будет получаться после выполнения операции. Если вычеркнем 2 нуля, то после дописывания нуля на доске будет 7 нулей и 7 единиц. Сумма этих 14 чисел будет нечетная. Если вычеркнем 2 единицы, то на доске останется после дописывания нуля 9 нулей и 5 единиц. Сумма данных 14 чисел будет нечетной. Наконец, вычеркивая нуль и единицу и приписывая единицу, мы получим на доске 7 нулей и 7 единиц, сумма которых снова является нечетным числом. Таким образом, мы замечаем, что после выполнения данной операции получается на 1 число на доске меньше, причём сумма оставшихся чисел всё время остаётся нечётной. Так как 1 — нечётное число, а 0 — чётное, то на доске после выполнения 14 раз указанной операции получается нечётное число 1. На плоскости расположено 13 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? А если шестеренок 14? Пусть первая шестеренка вращается по часовой стрелке, тогда вторая - против часовой стрелки, третья - по часовой стрелке и т. Получим, что двенадцатая будет вращаться против часовой стрелки, а тринадцатая - по часовой стрелке. Значит, первая должна вращаться против часовой, что противоречит тому, что она вращается по часовой стрелке. Поэтому, все 13 шестеренок вращаться одновременно не могут. А вот 14 уже могут. Часто при решении подобного рода задач важно найти чередующиеся объекты. Так как при игре в домино в цепи они должны располагаться парами, то на другом конце цепи будет 3 очка. Без нее остается 6 костяшек. При решении аналогичных задач полезно иногда объекты разбивать на пары. Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей? Так как сумма 15 нечетных чисел является числом нечетным, а 50 - число четное, то разменять 50 рублей на 15 монет по 1 и 5 рублей нельзя. Но с другой стороны, произведение всех чисел равно и произведению чисел в столбцах 5 столбцов. А так как произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел является отрицательным. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1? Если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то характер четности числа арбузов в этих корзинах будет разным. Тогда четность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому в половине корзин будет четное число арбузов, а в половине нечетное. Так как четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых, то общее число арбузов в 8 корзинах с четным числом арбузов и в 8 корзинах с нечетным числом арбузов будет четным. По условию же всего арбузов - 55, а это нечетное число. Сумма натуральных чисел - число нечетное. Так как сумма чисел - число нечетное, то число нечетных слагаемых - нечетно. Тогда среди чисел есть хотя бы одно четное число. А значит, произведение чисел будет четным числом. Учитель написал на листке бумаги число Может ли в результате получиться число 0? От прибавления или вычитания единицы меняется характер четности числа. Поэтому, если 25 раз нечётное число менять характер четности числа 10, то в результате получится нечетное число. Следовательно, число 0 получиться не может. В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах? Так как сумма данных чисел: Квадратная доска 6x6 заполнена костяшками домино 1x2. Докажите, что можно провести вертикальный и горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от двух стертых 2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2. Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одна - единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания. Числа 0, 1, 2, За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей? Готовимся к олимпиадам по математике. Причем , применение четности - одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце. Характер чётности числа чёрных клеток среди четырёх угловых не меняется при перекрашиваниях. Раз исходно одна клетка была чёрной, то не может оказаться так, что не будет ни одной чёрной клетки. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей. Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса? Заменим плюсы и минусы числами 1 и —1. В качестве инварианта можно взять произведение чисел, находящихся в клетках, которые заштрихованы на рисунке , поскольку оно в результате разрешенной операции все время сохраняет первоначальное значение равное —1. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого но не через двух сразу! Могут ли они после прыжка оказаться на прежних местах? Назовём расстановки кузнечиков АВС, САВ и ВСА слева направо правильными , а ВАС, АСВ и СВА — неправильными. Так что, если исходная расстановка была правильная, то после прыжка расстановка будет неправильная, так как — число нечётное, и кузнечики не смогут оказаться на прежних местах. Числа 1, 2, 3 ,……,п расположены в некотором порядке. Разрешается менять местами любые два рядом стоящих числа. Докажите, что если проделать нечётное число таких операций, то наверняка получится отличное от первоначального расположение чисел 1, 2, 3, …,п. Пусть а 1, а 2 , а 3 ,……,а п — произвольная перестановка из чисел 1, 2, 3,…. Будем говорить, что два числа образуют в этой перестановке инверсию , если большее из этих чисел предшествует меньшему. Число перестановок Возможный вариант Число инверсий Возможный вариант Число инверсий Характер чётности. Проделав же нечётное число таких операций, мы изменим, характер чётности числа инверсий, а значит, изменим и перестановку. В различных пунктах кольцевого автодрома в одно и то же время в одном направлении стартовали 25 автомобилей. По правилам гонки автомобили могут обгонять друг друга, но при этом запрещён двойной обгон. Автомобили финишировали одновременно в тех же пунктах, что и стартовали. Докажите, что во время гонки было чётное число обгонов. Присвоим автомобилям номера 1, 2, 3,……,24, 25 в том порядке, в каком они располагаются на старте. В центре автодрома установим световое табло, на котором после каждого обгона будем указывать номера автомобилей в том порядке, в каком они следуют. Тогда обгон, приводит к тому, что на световом табло меняются местами два соседних числа. И теперь наша задача становится похожей на предыдущую. Число обгонов 0 1 2 3 4 5 6 Число инвариантов 0 1 2 3 или 1 4 или 0 5 или 1 6, 0 или 2 Характер чётности числа инвариантов Чётное нечётное Чётное нечётное Чётное нечётное Чётное Таким образом, если бы общее число обгонов было нечётным, то нечётным бы оказалось и общее число перестановок соседних чисел, что изменило бы порядок следования автомобилей. А раз они финишировали одновременно в тех же пунктах, что и стартовали, то во время гонки было чётное число оборотов. Шахматный конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов. Например, чтобы попасть с чёрного поля снова на чёрное , надо сделать как минимум два хода. Так что для того, чтобы вернуться на исходное поле, надо сделать чётное число ходов. Каждая костяшка домино покрывает два поля: Чёрных и белых полей поровну, так что покрывать так, чтобы остались свободными два чёрных поля, нельзя. На доске х двое игроков по очереди красят клетки в чёрный цвет. Каждую клетку можно закрашивать один раз. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре? Выигрышная стратегия для второго игрока: Изменится ли ответ, если первый имеет право закрашивать квадрат 2 х 2? Заметим, что первый игрок закрашивает больший участок доски, чем второй. Пусть А — число, записанное с помощью 3 Число А составлено из одних девяток, следовательно, оно делится на 9. При суммировании цифр числа это свойство сохраняется, т. Число 10 записано при помощи цифры, т. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей в частности, в любой угловой клетке. Инвариантом будет произведение чисел, стоящих в чёрных клетках. И раз оно равно числу —1, то нельзя получить таблицу, не содержащую ни одного минуса. Докажите, что шахматную доску 8 х 8 нельзя замостить 15 прямоугольными фигурками 1 х 4 и одной фигурой, указанной на рисунке. Квадраты шахматной доски и фигурки одинаковы. Используем раскраску доски чёрными и белыми, чередующимися по цвету строками. Чёрных и белых квадратов оказывается поровну — Как бы мы ни располагали данную на рисунке фигуру, она будет накрывать три квадрата одного цвета один другого. Прямоугольники 1 х 4 либо накрывают одинаковое количество чёрных и белых квадратов, либо — 4 квадрата только одного цвета. Так что всякий раз, накрывая ими из 32 — ух по два, то по четыре квадрата, никак не останется 1 или 3 свободных для указанной фигурки. Может ли шахматный конь пройти с поля а1 на поле н 8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз? Поля а1 и н 8 оба чёрные, а чёрных и белых полей на шахматной доске поровну — При проходе цвета полей будут чередоваться, так что закончить обход на поле того же цвета нельзя. На доске написано число 8 п. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Вспомним доказательства признака делимости на 9 и заметим, что число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9. Какие же остатки при делении на 9 дают степени восьмёрки? Степени с чётным показателем дают в остатке 1, а степени с нечётным показателем дают в остатке 8. Значит, 8 при делении на 9 даёт в остатке 8. Вернёмся к условию задачи. Описанные в условии последовательные вычисления всё время будут давать числа, которые при делении на 9 дают в остатке 8. Так что, когда получится однозначное число, то это и будет само число 8. На доске написано 8 плюсов и 13 минусов. Разрешается стирать любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется после выполнения 20 таких операций? Заменяя все плюсы нулями, а минусы — единицами, заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет тот же характер чётности, что и число, записываемое вместо них. Так как сумма всех чисел была нечётной 13 , то и последнее оставшееся число будет нечётным, т. Дно прямоугольной коробки было вымощено прямоугольными плитками 1 х 4 и 2 х 2. Плитки высыпали из коробки, и одна плитка 2 х 2 потерялась. Её заменили на плитку 1 х 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся. Тогда каждая плитка 2 х 2 содержит ровно одну клетку цвета1, а каждая плитка 1 х 4 — или ни одной или две клетки цвета 1. Следовательно, характер чётности числа плиток 2 х 2 должен совпадать с характером чётности числа клеток цвета 1. Но после замены плиток характер чётности числа плиток 2 х 2 изменится. Это и доказывает то, что замостить дно коробки не удастся. Вдоль дороги растут ели. Утром на каждой из них сидело по одной вороне. В полдень каждая ворона взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получиться, чтобы на каждой ели вновь сидело по одной вороне? Занумеруем ели по порядку с 1 по Заметим, что вороны, сидевшие на елях с нечетными номерами, перелетают на ели с нечетными номерами. Соответственно вороны, сидевшие на елях с четными номерами, перелетят на ели с четными номерами. Рассмотрим ели с нечетными номерами: Однако черных елей , а белых — Значит, по крайней мере, на одну из белых елей не сядет ни одной вороны. Н а доске написано в строку числа. Доказать, что среди них можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это для чисел? Очевидно, надо использовать следующее утверждение: Если количество нечетных чисел нечетно, то стираем любое из них. Если количество нечетных четно, то из целых чисел есть хотя бы одно четное. Стираем любое из них. Если они все нечетные, то после стирания одного из них сумма останется нечетной. Остальные случаи рассматривать нет смысла. Поэтому для целых числе это неверно. Переходить с клетки на клетку можно только через сторону клетки, а не через угол. Возвращаться на исходную клетку не обязательно. Нетрудно подсчитать, что синих полей на доске меньше, чем белых. Если мы начнём обход с синего поля, то получим чередование полей с — б — с — б — …. В такой цепочке синих полей не меньше, чем белых, поэтому обойти все синие поля таким образом нельзя. Н а плоскости лежат три шайбы. Хоккеист бьет по одной из них, так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Можно ли все шайбы вернуть на свои места после ударов? Вернуть шайбы на свои места - это значит сохранить направление движения , например, от А до В. Пусть первоначальное положение шайб А-В-С. А-В-С 1 удар 2 удар 3 удар … удар Направление положения шайб. Инвариантом является сохранение четного числа ударов, так как при этом сохраняется исходное положение шайб. Значит, после ударов шайбы не удается вернуть на свои места. Вычитая из них по 1, получим числа вида 4n - 1 , при делении на 4, дающие в остатке 3. Отважный рыцарь придумал аппарат с помощью которого можно одним ударом отрубить ровно 12, 14, 21 или голов, но после этого у дракона отрастают взамен соответственно 33, , 0 или 4 головы. Если все головы отрублены, новые не вырастают. Сможет ли рыцарь победить дракона? Они делятся без остатка на 3. Значит, остаток от деления на 3 числа голов останется постоянным и будет зависеть от числа n. Остаток от деления числа 19 на 3 равен 1, то число голов у дракона не может стать равным 0. На шахматной доске 8х8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками это не так: На доске написано в строку числа. Верно ли это для целых чисел? П о кругу зацеплены 9 шестерёнок: Могут ли они вращаться? Получим, что девятая будет вращаться по часовой стрелке, как и первая, а значит, вращаться они не могут. В вершинах куба записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, прибавить по 1. Можно ли за несколько ходов получить во всех вершинах одно и тоже чётное число? Причем Вася рвал каждый кусок на 5 частей, а Петя на 9. Заместитель директора школы, заметив такое безобразие, потребовала собрать обрывки стенгазеты. Ребята нашли обрывков. Все ли обрывки были найдены? Если речь идет о делении на части, то рассмотрим остатки от деления. Пусть газету рвёт Вася на 5 кусков и Петя на 9 кусков: Теперь Вася будет дальше рвать некоторые куски на 5, а Петя будет рвать газету на 9 кусков, то число кусков получится:. Школа цифрового века Вебинары. Подать заявку Личный кабинет. Главная Положение о фестивале и конкурсах Содержание: Ваш браузер не поддерживает плавающие фреймы! Игнатьева Наталия Николаевна , учитель математики Павлова Людмила Александровна , учитель математики Петухова Галина Никитична , учитель математики. Число обгонов 0 1 2 3 4 5 6 Число инвариантов 0 1 2 3 или 1 4 или 0 5 или 1 6, 0 или 2 Характер чётности числа инвариантов Чётное нечётное Чётное нечётное Чётное нечётное Чётное. Число ударов Исходное А-В-С 1 удар 2 удар 3 удар … удар Направление положения шайб против часовой …. Школа цифрового века Вебинары Курсы повышения квалификации Учительская книга Педагогический марафон.
Технические характеристики а5 2017
Текст описания бабушкина английском
Спиннинги для джига тест до 60
Быстрые салаты на скорую руку с фото
Сборка кубика рубика одной рукой