ТО-ИСЧИСЛЕНИЕ
sergey shishkinОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСЧИСЛЕНИЕ
Определения выполняют синтаксическую функцию;
им принадлежит значительная роль как в исчислениях, математических и логических доказательствах,
так и в переработке информации в естественном языке.
Как отмечалось выше, семантический аспект определений заключается в установлении значения и смысла термина,
отношения между определенным термином и некоторыми внеязыковыми предметами (десигнатом);
синтаксический аспект определений состоит в постулировании взаимозаменимости определяемого
и определяющего выражений во всех случаях их вхождения в речь или текст.
В силу тождества значения и смысла знаки, используемые для определяемого, и знаки, используемые для определяющего, взаимозаменимы.
Обычно при оперировании определением абстрагируются от семантической основы этой замены,
а отношение между именем определяемого объекта и определяющим выражением рассматривают исключительно
как отношение между знаками-посредниками; сохраняется лишь строго операциональный аспект:
разрешение взаимозамены выражений, стоящих по обе стороны от знака =.
Таким образом, определение выступает как правило вывода в исчислении, правило,
представляющее собой последовательность «квазисемантических» операций.
Формула, выражающая определение, приобретает предписывающие — прескриптивные — операциональные функции:
Для иллюстрации синтаксической функции определения, его роли в доказательствах или логических исчислениях
приведем два примера, касающихся исчисления высказываний.
Рассмотрим аксиоматическую систему исчисления высказываний Гильберта и Аккермана, записанную в символике Лукасевича.
Следуя Ю. М. Бохеньскому *, в качестве исходных элементов языка примем одноместный оператор N и двуместные операторы А, К, С, Е, а также двуместный оператор Шеффера D; кроме того, элементами языка являются пропозициональные переменные р, q, г, s, ... Правила образования: (а) каждая переменная есть (переменное) высказывание; (б) всякое высказывание, к которому слева приписана буква N, есть тоже вы-
сказывание; (в) если слева от написанных друг за другом высказываний написать один из знаков А, С, D, Е и К, то в каждом из этих случаев тоже получается высказывание. Правилами вывода служат: правило подстановки, правило подстановки по определению и правило отделения (modus ponens). Аксиомами являются формулы; 1. САррр 2. CpApq 3. CApqAqp 4. CCpqCArpArq. Вводятся следующие определения: 1- Np = DfDpp 2. Apq = DfDNpNq 3. Cpq = DfANpq 4. Kpq = DfNANpNq 5. Epq = Df¥,CpqCqp. Доказательство теоремы CCpqCCrpCrq содержит следующие шаги. В аксиому 4 осуществляется подстановка формулы Nr вместо формулы г, что дает: (1) CCpqCANrpANrq; к (1) дважды применяется определение (3), причем один раз в нем предварительно произведена подстановка г на место р и р на место q> а второй раз —только подстановка г вместо р> что дает (2) CCpqCCrpCrq, что и требовалось доказать. В данном случае определение Cpq = DfANpq играло роль посредствущего звена при замещении выражений ANrp и ANrq, в которых отсутствовал знак импликации, выражениями Сгр и Crq, в которые этот знак входит.
Такую операцию можно считать чисто механической, осуществляющейся в соответствии с данными синтаксическими правилами независимо от какой-либо интерпретации. Результат операции можно истолковать в понятиях логической теории. Интерпретируя материальную импликацию в терминах логического следования, формулу (2) можно прочитать 192 следующим образом: если из р следует qt то если р следует из г, то и q следует из г, или иначе: антецедент антецедента является антецедентом консеквента. Второй пример. Предположим, что мы хотим проверить с помощью приведения к конъюнктивной нормальной форме, является ли формула CCKpqrCKNrqNp логическим законом, логическим противоречием или выполнимой формулой *. Для этого мы последовательно применяем определение, которое позволяет исключать знак импликации, а также правила логики высказываний^, выражающие закон снятия двойного отрицания, закон де Моргана, законы ассоциативности и дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции и некоторые другие. В конечном счете, если исходное выражение является логическим законом, мы приходим к такой конъюнкции элементарных дизъюнкций, в которой каждая дизъюнкция содержит по крайней мере одну переменную вместе с ее отрицанием 72. В приведенной ниже последовательности формул слева дано исходное выражение и результаты его последовательного преобразования, а справа — некоторые из тех определений и правил, которые применяются (к формулам, написанным слева), чтобы осуществить переход к следующему выражению: 1°. CCKpqrCKNrqNp Cpq = DfANpg 2°. CANKpqrANKNrqNp Cpq = DfANpq 3°. ANANKpqrANKNrqNp NKpq = ANpNq 4°. ANAANpNqrAANNrNqNp KNp^p 5°. ANAANpN^rAArNtfNp NArq = KNrN? 6°. AKNANpXqNrAArNqNp NApq=KNpNq 7°.
AKKNNpNNtfNrAArN^Np NNp = p 8°. AKKpqNrAArNqNp 9°. KKAAApNpNqrAAAqNpNqrAAANrNpNqr. *
При приведении к нормальным формам обычно используются обозначения Рассела, Пеано или Гильберта — Аккермана.
Мы обратились к обозначениям, введенным Лукасевичем, потому что они удобнее для печати.
При такой записи, особенно когда мы имеем дело с небольшим числом переменных,
естественно использовать табличный метод решения данной задачи. Как в первом, так и во втором примерах определения служили правилами вывода.
В первом случае, отправляясь от аксиомы и используя правила, мы построили вывод формулы (тезиса) в рамках формализованной аксиоматической системы. Определение здесь позволило дважды ввести двуместный функтор (оператор) С; а именно, благодаря определению 3 в формуле (1) оказалось возможным произвести замещение выражений ANrp и ANrq соответственно выражениями Сгр и Crq.
В результате мы получили новую доказуемую формулу — тезис — этой системы.
Во втором примере определения были использованы в эквивалентных преобразованиях: с их помощью мы получили формулу, эквивалентную исходной (это видно из того, что таблицы истинности формул 1° и 9° совпадают: обе формулы принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях переменных), но отличающуюся от нее набором символов и структурой.
Интерес к «каноническим», или «нормальным», формам, подобным той, к какой мы привели формулу 1°, вызван тем, что они позволяют решать вопрос, является ли данная формула тезисом, исключительно по форме выражения.