ТО-ФРЕГЕ
sergey shishkinТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ГОТЛОБА ФРЕГЕ
Взгляды Фреге на определения изложены в его работе «Основные законы арифметики»,
в рецензии на труд Эдмунда Гуссерля «Философия арифметики».
Внимание Фреге к теории определений объясняется его стремлением построить символический язык,
пригодный для адекватного изложения арифметических теорем.
Предметом определений являются понятия, а не имена или реальные предметы.
По мнению Фреге, определения строятся в квазиавтономной интерсубъективной области понятий и смыслив,
— области, находящейся вне субъектов логической деятельности,
— и состоят они в установлении эквивалентностей между этими понятиями.
Без строгих определений, утверждает Фреге, мы не можем быть уверены в используемых терминах
и не можем успешно применять законы логики, которые предполагают, что границы используемых понятий и отношений четко определены.
В концепции Фреге правильное определение — это предварительная операция
и необходимое условие осуществления арифметических доказательств.
Поэтому в «Исчислении понятий» и в других своих дальнейших работах, прежде чем перейти к изложению основных теорем,
Фреге уделяет внимание определению используемых терминов.
В «Исчислении понятий» он много говорит об определении импликации и операции отрицания,
с помощью которых он потом выражает все остальные логические операторы.
Без полных и окончательных определений, говорит Фреге, мы ни в одной науке не будем иметь твердой почвы под ногами.
Назначение определений состоит в том, чтобы установить точные границы каждого понятия,
дабы иметь возможность для каждого произвольно взятого предмета (или предметов) решить,
подпадает ли он под данное понятие или нет.
В идеале каждому понятию должно соответствовать одно, и только одно, имя или символ.
Фреге был глубоко недоволен ситуацией, существовавшей в математике его времени,
когда один и тот же символ используется для обозначения двух, трех или более различных понятий;
он настоятельно требовал — и в своих трудах соблюдал это требование,
— чтобы каждый отдельный смысл или понятие выражалось отдельным символом.
«В самом деле, стоит все-таки труда придумать новый знак,
если это дает возможность устранить немалые логические опасения и обеспечить строгость доказательств.
Однако многие математики как будто мало ценят логическую чистоту и точность,
раз они предпочитают использовать одно и то же слово в трех или четырех значениях,
вместо того чтобы принять ужасное решение изобрести новое слово».
Фреге считает, что в науке старые, недостаточно уточненные определения следует заменять новыми определениями с четким смыслом.
Импликацию Фреге обозначал знаком |. По мнению Фреге, естественна ситуация, когда для каждого понятия имеется отдельное имя или знак,
и наоборот, знак или имя однозначно соответствует данному понятию.
В науке мы не имеем права использовать имя (или знак) до тех пор, пока не указано, что оно обозначает.
В обозначении одним и тем же знаком или именем двух
или более значений Фреге видит источник многих недоразумений в основаниях математики.
Это обстоятельство иллюстрируется им на примере того, как используются в арифметике такие знаки и основные термины,
как «число», «+», «X», «функция», «коническое сечение».
Фреге показывает, что каждый из этих знаков или терминов применяется многими математиками в двух или более значениях,
несводимых друг к другу, что ведет к пагубным последствиям;
эти термины и знаки используются без предварительного построения соответствующих полных и окончательных определений.
Фреге — ярый противник процедуры построения так называемых неполных определений,
когда какое-то понятие определяется поначалу лишь для ограниченного класса случаев,
а в дальнейшем расширяется на более широкий класс предметов.
Так, некоторые математики имеют привычку сначала определять положительные целые числа,
а затем распространять определение числа на целые отрицательные числа и ноль;
далее, опираясь на новые теоремы, определяют рациональные, иррациональные, действительные числа.
Как отмечает Фреге, чтобы такой прием не привел к ошибкам, необходимо,
прежде чем использовать в новом определении некоторое слово или символ, уточнить,
что именно оно означает, и каждый раз, когда вводятся новые свойства объектов, вводить новые знаки.
Фреге весьма осторожен в вопросе об использовании частичных определений.
В этом смысле убедителен его спор с Джузеппе Пеано.
По мнению Дж. Пеано, арифметическая операция сложения может быть полностью определена
как результат процесса построения частичных определений, когда сначала определяется операция сложения целых чисел,
затем дробей и, наконец, иррациональных чисел.
Фреге отмечает наличие общих признаков у этих операций, но считает,
что в целом мы не можем использовать этот прием для введения таких понятий, как сложение или равенство в арифметике.
Вероятно, мы можем, говорит Фреге, допустить некоторые частичные определения,
когда сама их форма с очевидностью показывает, что вместе взятые они покрывают все возможные случаи,
ни один из случаев не подпадает под два или более частичных определений,
и ни одно из этих определений не используется для построения остальных.
Если это имеет место, то частичные определения, отмечает Фреге, могут быть формально скомбинированы в одно определение.
Все же, говорит он, такого рода определений следует избегать.
Фреге, как и Б. Паскаль, — сторонник полных и окончательных определений и непримиримый противник частичных определений.
Это требование Фреге, конечно, следует соотносить с его постоянным стрем*лением к аксиоматическому построению логики;
и арифметики, которое и в самом деле требует таких определений.
Логика не признает в качестве понятий неточные, расплывчатые, «мутные» построения, вытекающие из частичных определений;
в конечном итоге, логика должна отвергнуть любые процедуры их использования.
По мнению Фреге, понятие равенства, подобно понятию сложения, не является особым для каждой области предметов,
к которой оно применяется: понятие равенства едино, и по мере того как расширяются наши знания о предметах окружающего мира,
мы об:- наруживаем новые случаи равенства;
«... прогресс науки не требует расширения значения формулы ,а =»= Ь';
просто в рассмотрение вводятся новые свойства (modi) предметов»
Чтобы устранить частичные определения и процедуру их введения, Фреге сформулировал принцип полноты определения.
Определение является полным, если, и только если, имея определение, мы можем о любом произвольно взятом предмете сказать,
подпадает он или нет под определяемое понятие.
Иными словами, Фреге требует, чтобы объем каждого понятия был строго определен, чтобы не было элементов, о которых нельзя было бы точно сказать, подпадают они или нет под определяемое понятие.
В отличие от полного определения неполное определение не очерчивает четких границ для предметов, подпадающих под понятие.
Средство верификации того, является ли определение полным или нет, дает принцип исключенного третьего.
Предположим, что определено понятие.
Можно утверждать, что его определение полно, если о любом произвольном объекте можно решить, принадлежит он или нет к объему понятия.
Принцип исключенного третьего в применении к неопределенным случаям функционирует как «детектор» полноты
или неполноты определения символа, слова или выражения.
Очевидно, что истинностное значение предложений, содержащих термины или выражения,
для которых можно строить различные определения, зависит от значения, придаваемого им этими определениями.
Иными словами, правильное использование определений является условием наличия того или иного истинностного значения предложений.
Точно так же, по мнению Фреге, отношение правильно определено, если о любом предмете мы можем сказать,
состоит он или нет в этом отношении с любым другим предметом.
Как и в случае определения терминов или выражений,
Фреге проверяет правильность определения отношения с помощью tertium поп datur.
Полное определение отношения исключает неопределенные случаи.
Такое определение дает возможность точно сказать о любом объекте,
стоит он или нет в определенном отношении к другому объекту.
Так, например, полное определение отношения «... преемник... » позволяет сказать об упорядоченной паре (Дюма-сын, Дюма-отец), что первый — преемник второго^ и запрещает обратное утверждение; оно позволяет также исключить из объема нашего отношения пару предметов, между которыми имеет место отношение одновременности или другие типы отношений.
Фреге предупреждает о трудностях, возникающих при точном определении некоторых отношений.
Он рассматривает определение отношения «... больше, чем... ».
Для определения этого отношения надо сначала уточнить область предметов, к которой оно относится.
Относится ли оно также и к предметам, отличным от чисел, или же оно относится только к числам?
В зависимости от характера области предметов, в которой отношение приобретает значение, выражения, включающие это отношение, будут иметь смысл и значение или же будут псевдоотношениями.
Фреге приводит следующий пример: если мы хотим, чтобы отношение «... больше, чем... » не было определено для предметов, не являющихся числами, например, для небесных тел (в этом случае выражение «Луна больше, чем нуль» не будет иметь смысла, в то время как «3 больше, чем нуль» будет совершенно 67 ааконным выражением), то надо внести уточнение! «больше, чем нуль» можно предицировать только о числах.
Но поскольку Фреге в ходе своего анализа стремится прийти, в конечном счете, именно к логическому определению числа, то выражение «... больше, чем... » не может быть использовано для этой цели.
Как показывает Фреге, использование некоторых неполно определенных понятий (в приведенном примере — отношения «... больше, чем... ») неизбежно ведет к псевдопонятиям и псевдопредложениям.
Точно так же мы придем к бессмыслице, если в выражении «нечто, дающее в результате единицу, если его прибавить к самому себе» заменим переменную, выраженную словом «нечто», таким предметом, как Луна, который не является числом.
В таком случае мы получим: «Сумма Луны и Луны есть единица».
Об этом предложении, отмечает Фреге, мы не можем сказать, истинно оно или ложно, — оно просто бессмысленно.
Если бы это предложение было проста ложно, то мы могли бы сказать: смысл выражения «сумма Луны и Луны» отличается от смысла выражения «единица». Но такого утверждения нельзя сделать, ибо выражение «сумма Луны и Луны» не имеет ни референта, ни смысла, в то время как выражение «единица» имеет вполне определенный смысл.
Старания Фреге направлены на исключение бессмысленных выражений, псевдопонятий.
Достаточно, утверждает Фреге, допустить с самого начала бессмысленное выражение типа «сумма Луны и Луны», чтобы благодаря его взаимоотношениям с другими понятиями в нашем теоретическом построении возник целый ряд псевдопонятий и псевдопредложений.
Единственный выход из этой ситуации Фреге видит в определении слов «сумма», «число», «равно» и т. п. в соответствии с принципом полноты.
В таком случае лингвистические выражения, построенные на основе этих слов по правилам грамматики и логики, будут давать также четко определенные понятия.
Помимо принципа полноты, Фреге сформулировал принцип простоты определяемого, выражения.
Считая * См. : Q. Frege. Grundgesetze der Arithmetic Bd Ilsr 3. 7*. 69 само собой разумеющимся, что операция определения осуществляется каждый раз в рамках естественного или искусственного (имеющего хорршо определенные правила) языка, Фреге требует, чтобы определение проводилось над более простыми частями языка: «определяемое выражение — определяемый знак — должно быть простым.
Иначе может случиться, что его части можно будет, в свою очередь, определить отдельно, и эти определения будут противоречить определению целого».
Следует заметить, что в отличие от Локка, Милля и де Моргана, которые считали определяемое сложным термином, Фреге требует, чтобы определяемое было простым. Далее, надо указать на то, что, хотя Фреге и считает, что определяются понятия, здесь он говорит об «определяемом слове». Мы имеем здесь дело по меньшей мере с терминологической непоследовательностью, если не с противоречием во фрегевских идеях, касающихся определений.
В самом деле, как мы выделяем простые составные элементы языка?
Это выделение можно осуществлять, анализируя язык или систему знаков науки.
Как отмечает Фреге, очень часто мы обнаруживаем целую систему определений, так что многие слова, которые мы хотим определить, появляются в других определениях.
Ряд определений, содержащих некоторое число одних и тех же терминов, значение которых не известно, Фреге сравнивает с системой уравнений со многими «неизвестными», о которой без специального анализа мы не знаем, разрешима ли она и однозначны ли ее решения.
Выражение такого языка считается сложным, если в силу общих правил грамматики или системы обозначений его смысл зависит от смысла его частей, появляющихся и в других выражениях и трактуемых как независимые знаки с собственным смыслом.
На основании этих соображений Фреге требует, чтобы акт определения осуществлялся лишь над простыми словами и элементарными символами. Фреге, однако, не отождествляет теорию определений с алгебраической теорией решения систем * Ср. там же, стр* 79, 69 уравнений. Если даны смысл всего выражения и части этого выражения, то смысл оставшейся части не является непосредственно определенным.
Замечание Фреге с формальной точки зрения может быть проиллюстрировано следующим образом.
Рассмотрим сложное выражение (А&В)& С, смысл которого мы обозначим через D.
Рассмотрим выражение А&В; это есть часть всего сложного выражения, и пусть ее смысл будет Е.
В таком случае смысл оставшейся части, а именно выражения С, не может быть получен ни «вычитанием» Е из D, ни «делением» D на Е.
Формулировка этого запрета показывает, что Фреге далек от утверждения строгого параллелизма между областью выражений и областью смыслов и что он осознает сложность исторического формирования нашей системы лингвистических знаков, в пределах которой осуществляется акт определения.
Верно также, что Фреге постоянно стремился к построению, по крайней мере для логики и математики, формального языка, в рамках которого можно было бы осуществлять операции, аналогичные математическим вычислениям.
Помимо принципов полноты и простоты, Фреге сформулировал также ряд специальных требований, которым должны удовлетворять в его системе вновь вводимые знаки.
Эти требования выражены в виде семи правил, касающихся введения сложных знаков, взаимоотношения знаков и обозначаемых ими понятий, различения уровней построенного языка, возможности использования определений в исчислении.
Первое из этих правил гласит: «Всякое имя, которое правильно построено из имен, имеющих определения, должно иметь некоторое значение»; ибо в противном случае невозможно однозначное использование языковых выражений.
Иными словами, в рамках его логико-арифметической системы смысл сложных имен определяется смыслом уже введенных имен. Второе правило запрещает определять одно и то же имя *
Среди этих семи правил третьим (в том порядке, в каком их изложил Фреге) стоит принцип простоты.
Для принципа полноты не выделяется отдельного правила 81. 70 Двумя различными способами, ибо тогда возникло бы сомнение, согласуются ли между собой эти два определения.
В третьем кратко сформулирован принцип простоты. Четвертое правило показывает, что введеное по определению собственное имя должно быть во всех случаях его вхождения заменимо определяющим.
Этим правилом Фреге формулирует синтаксическую функцию определений в дедуктивной системе, а именно функцию, состоящую во взаимозаменимости двух выражений, обозначающих одно и то же, что облегчает вычисления и доказательства.
Это же правило запрещает использование собственного имени в качестве имени функции.
Последние три правила узаконивают условия, при которых можно вводить имена для функций первого порядка с одним или более аргументами.
Они весьма важны для понимания символизма Фреге и осуществляемых в его рамках операций, но менее важны для общей теории определений. Определение, по мнению Фреге, — это операция, с помощью которой детерминируются значение и смысл знака, собственного имени или имени функции путем отнесения к значению и смыслу других знаков, предполагаемых известными собеседнику, к которому обращено определение33. С помощью определения формулируется тождество между значением определяемого термина и аналитического выражения, состоящего из терминов, известных тому, к кому обращено определение.
Фреге сравнивает определение с уравнением, но не с нерешенным уравнением, имеющим неизвестные термины по обе стороны знака равенства, а с уравнением решенным, в правой части которого нет ни одного неизвестного элемента.
В таком случае определяемое соответствует неизвестному в уравнении, а определяющее— правой части решенного уравнения, в которой нет неизвестных. Так, определение можно сравнить с уравнением типа х = 2 + 1 или с равносильностью с = (а&Ь), где значение а и Ь известно * Здесь очевидно различие мнений Фреге и Милля.
Как мы видели, Милль считает, что собственные имена не могут определяться 32. ** Там же, стр. 79. 71 й йзвестёй также смысл оператбра &. Итак, мбЭкнб констатировать, что у Фреге определение предполагает в первую очередь тождество значений определяемого и определяющего выражений. Само собой разумеется, что эти два выражения взаимозаменимы, то есть сохраняют истинностные значения выражений, в которых осуществляется замена. Это означает, что если в каком-то предложении появляется определяемое некоторого определения, то мы можем заменить определяемое определяющим того же определения без опасения изменить при этом значение всего выражения. Совпадение по объему является для Фреге необходимым условием для возникновения такого отношения между понятиями, которое соответствует тождеству, имеющему место между предметами. Но, как уточняет Фреге, в этом случае мы имеем дело с тождеством не в смысле Лейбница (eadem sunt quorum unum protest substitui alteri salva veritate), ибо если всякое определение — тождество, то само тождество не может быть определено.
По Фреге, мы можем написать А = В, если А и В имеют один и тот же объем и они взаимозаменимы без нарушения истинности выражения, в которое входят.
Однако, как видно из многих отрывков, Фреге не ограничивается этим первым условием.
Он постулирует более сильное требование, а именно тождество смысла определяемого и определяющего.
В своем символическом языке — и вообще в языке науки — Фреге требует, чтобы символ, однажды введенный для определенного смысла, для некоторого понятия, использовался исключительно для выражения этого смысла, Понятия; и наоборот — не следует мыслить данное понятие вне введенного символа или его обозначения. В таком случае операция определения состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между знаком и цонятием. Собеседнику, которому адресовано определение, соответствующее понятие передается аналитически, поскольку оно поясняется через опре-_ деляющее. Включая же в свой словарь имя понятия (представленного определяемым), субъект логической деятельности усваивает элементы более сжатого символического языка. Не выражая этого непосредствен- 72 но, теория определения Фреге соответствует пониманию определения как посредника в общении двух или более субъектов логической деятельности.
В теории определений Фреге для каждого символа, слова или выражения мы можем построить одно-единственное определение.
(Это, впрочем, сформулировано Фреге в виде второго правила определения. ) Так, если в геометрии мы сформулировали понятие конического сечения как «пересечения некоторой плоскости с конической поверхностью вращения», /го уже нельзя определять коническое сечение как «кривую, уравнение которой в декартовых координатах есть уравнение второй степени». Это второе определение в данном языке следует доказать как теорему. В то же время понятие, зафиксированное выражением «кривая, уравнение которой в декартовых координатах есть уравнение второй степени», следует обозначить иным символом, чем понятие, передаваемое выражением «пересечение некоторой плоскости с конической поверхностью вращения».
В большинстве случаев, когда для термина можно построить несколько определений— например для химического элемента, вида растений, профессии, этической категории* — мы не используем для каждого определения различные термины, хотя и имеем дело каждый раз с различными понятиями, выраженными аналитически определяющей частью данных определений. Сохранение одного и того же термина, хотя мы и имеем в виду каждый раз различные смыслы (понятия), основано на неявном соглашении, что определение предполагает десигнат термина или его референт, а не только некоторый придаваемый ему смысл. Фреге, однако, совершенно прав, когда требует не смешивать два понятия, соответственно два определения какого-то термина, на том основании, что у них один и тот же десигнат (или денотат). Так же обстоит дело с собственными именами или с различными описательными именами одного и того же предмета. Так, человек и писатель Ливиу Ребряну может быть обозначен собственным именем «Ливиу Ребряну» или выражением «автор романа „Восстание"» 34. Оба эти выражения в данном случае, подобно определяемому и определяющему выражениям, имеют одинаковый денотат, но не являются 7? именами одного и того же понятия. Имя «Ливиу Реб- ряну» обозначает одного определенного писателя, в то время как выражение «автор романа „Восстание"», хотя и предполагает тот же референт, несет сообщение об одном из произведений данного писателя и имеет, следовательно, другой смысл. Точно так же для одного и того же десигната, обозначаемого единичным термином, можно построить его определение с помощью различных понятий. Во избежание путаницы желательно, чтобы в каждом из этих случаев для определяемого использовалось отдельное имя или символ. Внимание, оказанное Фреге проблеме языка и в этом плане теории определений, было направлено также на то, чтобы избежать в языковых выражениях двусмысленностей и псевдопонятий. Фреге ясно осознает, что ошибка, вкравшаяся в определение понятия, усугубляется, когда это определение используется в дедуктивной теории. В «Исчислении понятий» и в статье «О смысле и значении» Фреге постоянно обращает внимание на смешение, допускаемое многими математиками, например, имени решения некоторого уравнения с решением, как таковым, имени функции с функцией, как таковой. Особенно подробно останавливается Фреге на задаче устранения путаницы в определении и употреблении терминов, связанных с понятием функции. Фреге также раскрыл ряд неточностей, касающихся употребления понятия числа. Здесь мы не можем детально останавливаться на определениях понятий функции и числа, которые разработал Фреге *. Его забота о правильности определений особенно видна по той критике определений, которые были предложены Е. Гейне, немецким математиком — современником Фреге. В работе «Элементы теории функций» (§ 1, определение 2) Е. Гейне дает такое определение равенства знаков чисел: «Знаки чисел называются равными или являются взаимозаменимыми, если они принадлежат равным рядам чисел, неравными или невзаимозаме- * Об этом см. : W. К п е а 1 е and М. К п е а 1 е. The Development of Logic, p. 455—467; а также: G h. Enescu. Logica §i ade- var, Bucure§ti, 1967, p. 14—2J. 74 йимымй, если они принадлежат неравным рядам»ds.
Это определение для Фреге не пригодно, ибо термины, используемые в определяющем, являются столь же мало известными, как и термины, используемые в определяемом. В лучшем случае один и тот же термин («равно») считается известным, когда он появляется в определяющем, и неизвестным, когда появляется в определяемом. Данное Е. Гейне определение кажется Фреге столь же неубедительным, как и следующее: «Знаки называются белыми, если они принадлежат белым предметам». Но, говорит Фреге, это предполагает, что мы знаем, что означает термин «белое», когда он появляется в определяющем. (Как и Аристотель, Фреге предполагает, что то, что появляется в определяющем, всегда известно. ) Поскольку этот термин считается известным, мы его больше не можем определять (в случае его вхождения в определяемое), иначе это означало бы, что мы в одно и то же время знаем и не знаем термин. Здесь нетрудно заметить классическую ошибку в определении, носящую название idem per idem (Фреге не делает никаких ссылок на этот вид ошибок).
Действительно, в определении Гейне термин «равно» появляется как в определяемом, так и в определяющем. Между тем подлежит определению именно «равенство знаков чисел» — и поэтому термин «равно» не может появляться в определяющем, не повредив определению в целом. Употребление выражения «если они принадлежат равным рядам чисел» предполагает, от- мечает Фреге, что нам известно значение слова «равно»; между тем именно это слово подлежит определению. Фреге явился новатором в теории определений, В отличие от участников дискуссий об определениях, имевших место в традиционной логике, немецкий ло* гик разрабатывал теорию определений с точки зрения потребностей построенного им символического языка, с точки зрения различения значения и смысла знака. Определение, по мнению Фреге, фиксирует в равной мере значение и смысл символа. Недостаточно установить лишь значение знака. Надо еще установить смысл символа, соответственно понятия, обозна- 75 Генного словом или Символом. На традиционный вопрос, получавший различное решение в истории логики, фиксирует ли определение реальный предмет, значение или же смысл знака, Фреге дает однозначный ответ: определение устанавливает и значение и смысл слова или знака; оно осуществляется как в рамках естественного языка, так и символизма. Фреге тем самым расширяет сферу того, чего касаются определения.
Аристотелевская теория определения предполагала, что определению подлежат общие понятия, общие существительные, остальные же грамматические категории, как, например, собственные имена, глаголы, наречия и др. , оставались в стороне. Создание исчисления высказываний и доказательство выразимости одних логических операторов через другие (Фреге принадлежит бесспорная заслуга и в этом отношении), а также разработка исчисления предикатов (Пирс, Фреге) создали предпосылки для «перенесения» в символический язык процедур определения других грамматических категорий естественного языки, таких, как некоторые предлоги и союзы («и», «или», «если... , то», «если, и только если»), глаголы и более сложные синтаксические конструкции.
Благодаря своей неразрывной связи со знаком и словом, теория определений сейчас выступает в роли пролегомен к построению всякого символического языка, ибо прежде чем ввести символ, следует установить синтаксическую или семантическую категорию, к которой он принадлежит, определить его смысл и его значение в соответствующем языке. Преимуществом фрегевской трактовки определений является то, что она строится на базе основных понятий логической семантики. Вместе с тем Фреге понимал важность теории определений для развертывания логического исчисления и построения теорий доказательств. Но Фреге еще не пришел к трактовке определений с явной семиотической точки зрения, к непосредственному формулированию той идеи, что определение одновременно является и семантической операцией, устанавливающей значение и смысл языка, и синтаксической операцией, с помощью которой происходит отождествление двух выражений (в силу чего оказывается возможным чисто формальное раз- 76 вертыв&нйе исчисления). Наконец, Фрёге был далек от понимания прагматического аспекта акта определения. По-видимому, вне его внимания осталось и исследование познавательных функций «переводящего», экспликативного, синтезирующего, аналитического, «редуктивного» и других определений. Заслуга Фреге в теории определений состоит в том, что в трактовку Определений он ввел логико-семантическую точку зрения и сфор'мулировал некоторые пр&вйла определения'с позиции требований, предъявляемых к искусственному языку3*. * * * Краткий экскурс в историю показывает большое разнообразие взглядов по вопросу о том, что составляет предмет определения. Философы по-разному отвечали на него: для одних предметом определения является природа или сущность вещей (Аристотель, Цицерон, Спиноза); для других — смысл имени (Гоббс, Локк и Дж.
Стюарт Милль); для третьих — понятие (Кант, Фреге, Риккерт).
Сам термин «определение» понимался по-разному: как акт или операция определения, как определяющее выражение, как смысл определяющего выражения, как предложение, раскрывающее смысл термина или выражения, как воспроизведение или напоминание такого предложения и, наконец, как переплетение двух или более из перечисленных пониманий. Несмотря на все это разнообразие точек зрения, исторический экскурс показывает постепенное приближение мыслителей и логиков, занимавшихся определением, к трактовке определений во взаимосвязи с процессом научного познания и, в особенности, с организацией и систематизацией научных данных. У Паскаля, Лейбница, Арно и Николя, у Жергонна и позднее у Фреге определение играет методологическую роль — оно является инструментом усовершенствования научного языка и средством анализа содержания научных теорий. Заметный прогресс в понимании механизма определения и особенно взаимоотношения определяемого и определяющего связан с деятельностью Жергонна и Фреге.
Они показали, что определение, помимо тождества денотатов, или значений, определяемого и определяющего, предполагает также тождество смыслов.
Жергонн отметил нормативную функцию стипу- лятивных определений в построении научных языков, Фреге проанализировал роль определений в аксиоматических системах, сформулировав ряд правил и условий правильного использования знаков и сложных выражений языка.
Долго обсуждавшаяся проблема номинальных и реальных определений нашла близкое к истине решение у Дж. Ст. Милля и А. де Моргана.
Современные авторы показали значительное разнообразие видов определений по сравнению с тем, как подходили к этому вопросу Платон и Аристотель, сняв чрезмерные требования к определению, которых придерживались античные ученые. В частности, современные авторы выделили переквалифицирующие и лексические определения, выявили новые функции определений, такие, например, как функция сокращения.