ТО-АКСИОМАТИЗАЦИЯ
sergey shishkinОПРЕДЕЛЕНИЕ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ
Одновременное использование семантико-десигнативной и синтаксически-вычислительной функций определений
сделало возможным сведение с их помощью словаря ряда дисциплин к некоторому числу исходных терминов, или первоначальных определяющих выражений.
Выявление этих исходных терминов или элементарных понятий и отношений между ними, выраженных в аксиомах, постулатах, принципах,
является предварительным условием дедуктивно-аксиоматического построения соответствующей области знания.
Исходные определяющие выражения не могут быть охарактеризованы в рамках дискурсивного познания.
Их постижение происходит остенсивно, на основе чувственного познания, в ходе непосредственного восприятия мира в процессе практической деятельности.
Попытка дискурсивного определения исходных терминов неизбежно ведет к порочному кругу, к использованию в определяющем терминов, которые не были предварительно определены и обычно определяются посредством исходных терминов. Вместе с тем отказ от идеи исходных определяющих выражений, обоснование которых выходит за границы языка, неизбежно ведет к дурной бесконечности, ибо всякое данное определение предполагает другие два, три или более определений.
Следовательно, надо допустить, что смысл некоторых терминов устанавливается не с помощью языковых определений, а другим путем; что первичные навыки называть предметы и употреблять слова человек приобретает ассоциативным путем, в практической деятельности, в ходе которой устанавливается связь между употреблением некоторых знаков, жестов, звуков и т. д. и событиями, предметами, явлениями, органическими и психическими состояниями.
Операция именования предшествует операции определения.
В таком случае определение предстает перед нами как процедура в рамках установленного язьдка: она не является первичной, с одной стороны, и не может уходить в бесконечность — с другой.
Как отмечал Б. Паскаль, лучше не пытаться все доказывать или определять, но вместе с тем следует допустить, что некоторые вещи могут быть определены. В этой промежуточной ситуации нужно воздерживаться от того, чтобы определять ясные и понятные всем людям вещи, и следует определять остальные.
Последовательное использование определений позволяет анализировать термины словаря науки, устанавливать иерархии степеней их сложности, объясняющей силы и в конечном счете выявлять исходные определяющие элементы.
И действительно, прогресс поанания в ряде наук позволил тщательно проанализировать их понятия и словарь, вычленить исходные термины и элементарные отношения, прояснить начальные принципы.
Благодаря этому удалось осуществить аксиоматическое изложение евклидовой геометрии, арифметики, механики, некоторых разделов физики, биологии и т.
Аксиоматизация является, как правило, не начальным, а завершающим этапом познания в данной научной дисциплине.
Как мы уже отмечали, ей предшествует анализ понятий, сведение языка науки к исходным терминам.
Первостепенное внимание к исходным терминам — исторически обусловленное явление и выражает лишь один из способов организации в систему совокупности добытых знаний. Ни один из способов организации знаний нельзя абсолютизировать.
Большинство научных дисциплин совместимо с различными способами организации, структурированными в логико-дедуктивные системы.
Различные подходы отличаются, в частности, и тем, что в качестве исходных элементов выбираются различные термины, а остальные определяются на базе принятых исходных понятий.
Так, построение исчисления высказываний можно осуществить, беря в качестве исходных терминов: N и К, или N и А, или N и С, или N, К и Е, или один штрих Шеффера, обозначенный в предыдущем параграфе через D.
Во всех этих случаях остальные операторы могут быть с помощью определений введены (определение выполняет здесь функцию сокращения) или; напротив, если это потребуется, исключены, или заменены выражениями, содержащими только исходные термины.
В приведенной в параграфе 4 системе определения 1—5 позволяют исключать из формул и доказательств символы N, А, С, К, Е.
Так, определение Np = DfVpp позволяет исключать одноместный оператор N, отождествляя отрицание предложения с предложением, несовместимым с самим собой *. Второе определение, вводящее символ А, использует в Dfn символ W, введенный ранее с помощью D.
Третье определение, вводящее символ С, содержит символ А, сводимый в соответствии с определением 2 к символам D и N; четвертое определение, вводящее символ К, использует символы N и А, уже введенные прямо или косвенно через D.
Фактически предложение, несовместимое с самим собой (самонесовместимое предложение), следует отождествлять не с отрицанием, а с ложностью предложения Но утверждение ложности предложения можно интерпретировать как отвержение его истинности, то есть как отрицание предложения. 196 Это же имеет место и в определении 5, которое вводит символ Е; в его определяющую часть также входят лишь термины, сводимые прямо или косвенно kD. Последовательное осуществление операций подстановки, выполняемых с помощью этих пяти определений, позволяет привести любую формулу исчисле- ния высказываний, в которую входят функторы N, А, К, С, Е, к формуле, содержащей только D.
Прежде чем проиллюстрировать это на примерах, исключим из определяющих частей определений 2—5 последовательно символы А, С, К, Е (справа от равенств названы те определения либо правила логики, по которым равенство получено из ему предшествовавшего) : I6. Np = DfDpp 2°. Apq = DfDNpNq = DDppDDqq (по определению 1) 3°. Cpq = ANpq = DNNpN<7 (по определению 2) = DpNq (по правилу снятия двойного отрицания) = DpDqq (по определению 1) 4°. Kpq = NANpNq — NADppDqq (по определению 1) = NDNDppNDqq (по определению 2) = NDDDppDppDDqqDqq (по определению 1) = DDDDppDppDDqqDqqDDDppDppDDqqDqq (по определению 1) 5°.
Epq = KCpqCqp = ¥X>pDqqDqDpp (по определению (3) = DDDDpDqqDpDqqDDpDqqDpDqqDDDq DppDqDppDDqDppDqDppDDDDpDqqDpDqq DDpDqqDpDqqDDDqDppDqDppDDqDppDq Dpp (no определениям 4 и 3). 197 Если добавить к этим определениям, излагаемым у Бохеньского, определение строгой дизъюнкции: 6°. Jpq = NEpq, то выражение этой дизъюнкции через единый символ D представляло бы собой формулу, состоящую из двукратного написания выражения через D для Epq, к которому слева приписан еще один символ D. К счастью, для передачи Kpq, Epq и Jpq в языке, из числа операторов содержащем только D, мы располагаем несколько более простыми формулами, чем вышеприведенные.
А именно: 4°°. Kpq = DDpqDpqt 5со. Epq = DDDpDqqDqDppDDpDqqDqDpp, 6°°. Jpq = DDDDpDqqDqDppDpDqqDqDppDDDp DqqDqDppDDpDqqDqDpp. Очевидно, что определяющее в определений 4°° утверждает несовместимость несовместимости р и q, что означает их совместимость, то есть конъюнкцию. Второе определение (5°°) легко получить, если к Epq = KCpqCqp = KDpDqqDqDpp применить приведенное выше определение для Kpq, приняв, что р — это DpDqq, a q — это DqDpp. Определение для Jpq мы получаем, приняв, что оно означает отрицание формулы Epq, то есть ее самонесовместимость.
Применение этих правил обеспечивает сведение всякой формулы исчисления высказываний к формуле, в которой появляется единственный оператор D.
Рассмотрим еще два примера исключения операторов по определению.
Возьмем закон контрапозиции CpqCNqNp и элиминируем из него С и N.
1. CCpqCNqNp
2. CCpqCDqqDpp (по определению 1)
3. CDpDqqDDqqDDppDpp (по определениям 3° и 2°)
4. DDpDqqDDDqqDDppDppDDqqDDppDp (по определениям Зэ и 2°).
Закон экспортации импликации имеет вид CCpqrCpCqn исключим С и К.
1. CCKpqrCpCqr 198 2. CCKpqrCpDqT>rr (no определениям 3* и 2е)
3. CCDDpqDpqrDpDDqDrrDqDrt (по определениям. 4°, 3° и 2°)
4. CDDpqDpqDrrDpDDqDrrDqDrr (по определениям 3° и 2°)
5. DDDpqDpqDrrDDpDDqDrrDqbrrDpDDqDrrDqDrr (по определениям 3° и 2°).
Первое, что бросается в глаза при употреблении определений для исключения из языка исчисления высказываний знаков некоторых функторов,— это значительное удлинение формул.
Существует обратное отношение между числом исходных знаков и длиной (количеством знаков) выражений, передающих один и тот же логический тезис.
Это можно видеть и из простого сравнения выражений 1 и 4 или 1 и 5 в последних двух примерах.
Во-вторых, уменьшение числа исходных знаков, по крайней мере в некоторых логических и алгебраических системах, как будто затрудняет понимание семантического и операционального смысла формул; из этого можно заключить, что как в естественных языках, так и в языках, построенных для специальных научных целей, неизбежно должны присутствовать знаки, выполняющие функцию сокращения выражений.
Как мы видели, типичным способом выполнения этой функции в научном языке являются стипулятивные определения.
Процедура, противоположная процедуре сведения информации к исходным терминам, — это введение новых понятий в целях сокращения.
Она, как видно из рассмотренного материала, играет значительную роль в построении языка науки.
Выполняя функции исключения и введения терминов, определения служат оптимизации множества используемых в языке знаков в соответствии с требованиями передачи, переработки и восприятия значимой, осмысленной информации познающими субъектами.
Заключая изложенное в последних двух параграфах, отметим, что синтаксическая функция J определений состоит в превращении их в рамках дедуктивных и формальных систем в правила вывода в исчислении, это облегчает получение новых предложений или тезисов.
Далее, определения используются при переработке последовательности знаков, выражающих пропозициональный тезис; такая переработка ведет в конечном счете к формуле, которая эквивалентна исходной, но имеет иную структуру, дает новую информацию о первоначальном выражении.
Наконец, сведение к исходным терминам, хотя оно и не исключает полностью семантические аспекты, происходит в ряде случаев как типично синтаксическая операция, которая регламентирует в зависимости от задач процесса коммуникации, анализа или синтеза множество используемых знаков.