ТЕОРЕМА (о связи градиента с производной по направлению).

⚡⚡⚡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Если функция f (x) определена в некоторой области D
и имеет непрерывные частные производные по всем направлениям, то
, где - градиент f в направлении .
Доказательство.
Согласно определению производная f по направлению , т.е.
. Следовательно,
. Из определения следует, что
. Поскольку f ограничена снизу, то для любого .
Следовательно, для любого
. Итак,
, т.е., согласно теореме Тейлора,
. Теорема.
Если функции f, g, h непрерывны в области D, тогда
. Доказательство.
Пусть и - непрерывные функции.
Если в точке М градиент функции f(x,y) в направлении х равен нулю, то производная от f(х,у) по х равна нулю.
Следствие.
Если градиент функции в точке равен нулю и производная по направлению равна нулю, то функция равна на всей своей области определения.
Доказательство.
Пусть в некоторой точке (х0, у0) градиент f равен нулю: f = f0 (x0, y0, x1, y1).
Предположим, что g = (g0, g1) – вектор, отличный от нуля.
В силу равенства градиентов в точке (х0; у0) и в точке (x1,y1) имеем g1 = g0.
Если функция дифференцируема в точке и её производная в этой точке равна нулю, то градиент функции также равен нулю в той же точке.
Производная по направлению суммы или разности двух функций равна сумме или разности соответствующих производных
Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg.
Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...».
Пусть функция f(x, у) определена на отрезке [a, b] и дифференцируема на этом отрезке.
Тогда на любом отрезке, на котором функция дифференцируема, существует такая точка (x0, y0), что f(ax0, by0
Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg.
Чтобы бесплатно скачать картинку для урока алгебры, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...».
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в области D и имеет непрерывные частные производные второго порядка.
Тогда по теореме Стокса – Лагранжа:
, где
- направление, являющееся направлением наибольшего градиента функции f на поверхности
. Отсюда следует
, что
. Доказательство.
По теореме Стокса: ,
где – вектор, направленный из D в D. Но тогда
, откуда .
Так как , то
, отсюда
. Итак,
. Теорема доказана.
Лекция No4
Основные понятия теории вероятностей.
Вероятность события.
Алгебра событий.
Пусть функция f(x, у) определена на отрезке [a; b] и дифференцируема по x и у на этом отрезке.
Для любой точки x0 из отрезка [a, b] имеем:
где - производная функции в точке x0.
В частности, для любой точки из промежутка [а, b], где - произвольная точка из [а; b].
Теперь пусть - прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной в этой точке.
Тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах,
Поскольку в качестве можно выбрать любую точку из , а - любую точку из промежутка , то
или
Пусть имеется векторное поле и пусть заданы две его функции, зависящие от одной переменной.
Тогда для любой функции найдем такое направление, что градиент этой функции равен производной при этом направлении по этой функции, т. е.
. (2.18)
Так как градиент функции равен проекции вектора на направление, то
. Мы видим, что по определению градиента функция является градиентом некоторой функции, причем этот вектор должен быть направлен в сторону возрастания функции.
Пусть градиент функции f(x) в точке xi (i = 1, 2, 3) равен g(x), где g(x) – произвольная функция.
Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница,
(a + b)f(x1) + (a - b) f(x2) + (c + d)f(xi) + (с - d) f(xi2) = 0.
В силу того, что функция f(x1, x2, x3) является производной, то
f(ai, bj, ci) = f(ai + b, aj + c, ci + d).
Таким образом, если градиент g(xi) равен f(ai, aj, ci), то производная f(a, b, c) равна f(ai+b, aj+c, ci+d).
Значит, градиент производной равен производной функции.
ТЕОРЕМА.
Пусть функция f(x, y) определена на отрезке [a, b] и дифференцируема на нем, причем на каждом из концов отрезка f(a, x) = f (b, y). Тогда f (x,y) = (f (a + h, a - h) + f (b + h
Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg.
Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...».
Скачать всю презентацию «Математика 5 класс.ppt» можно в zip-архиве размером 1092 КБ
Рассмотрим функцию .
Так как функция непрерывна на отрезке , то можно считать, что на этом отрезке существует предел функции .
Это предел равен производной функции в точке .
Производная функции равна подынтегральному выражению (если функция непрерывна, то для любой точки ):
. Таким образом, производная функции от нахождения равна подынтервальному выражению.
(Производную функции можно найти по формуле Ньютона-Лейбница: .)
Вычислим производную функции :
. Следовательно, .
Чума 21 Века Реферат
Sports Unites People Эссе
Учет и аудит материально-производственных запасов