Свойства степеней примеры на вычисление
Свойства степеней примеры на вычислениеСкачать файл - Свойства степеней примеры на вычисление
После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: Докажем основное свойство степени. На этом доказательство завершено. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем — свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Теперь рассмотрим свойство степени произведения: Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем. Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Для примера приведем верное неравенство. Осталось доказать вторую часть свойства. Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте. Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля. Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда. По свойству частного в степени имеем. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями. Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. По определению степени с дробным показателем и , тогда. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства. Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями: По схожим принципам доказываются и остальные равенства: Переходим к доказательству следующего свойства. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 — целые числа, а n - натуральное. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Степень, ее свойства, возведение в степень Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры. Свойства степеней с натуральными показателями. Свойства степеней с целыми показателями. Свойства степеней с рациональными показателями. Свойства степеней с иррациональными показателями. МатематикаЖ учебник для 5 кл. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. Математика пособие для поступающих в техникумы.
Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями
После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: Докажем основное свойство степени. На этом доказательство завершено. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем — свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Теперь рассмотрим свойство степени произведения: Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем. Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Для примера приведем верное неравенство. Осталось доказать вторую часть свойства. Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте. Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля. Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда. По свойству частного в степени имеем. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями. Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. По определению степени с дробным показателем и , тогда. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства. Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями: По схожим принципам доказываются и остальные равенства: Переходим к доказательству следующего свойства. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 — целые числа, а n - натуральное. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Степень, ее свойства, возведение в степень Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры. Свойства степеней с натуральными показателями. Свойства степеней с целыми показателями. Свойства степеней с рациональными показателями. Свойства степеней с иррациональными показателями. МатематикаЖ учебник для 5 кл. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. Математика пособие для поступающих в техникумы.
Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.
Януш корчак биография как любить ребенка
Степень и ее свойства. Определение степени
Подстаканники из фетра своими руками