Свойства сходящихся рядов.

⚡⚡⚡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Сходящиеся ряды.
Теорема.
Пусть последовательность ( ) – произвольная последовательность сходящаяся в отрезке .
Тогда для любой достаточно большой существует такая точка х в отрезке , что .
Доказательство: Пусть последовательность является сходящейся в отрезке ; тогда для любого достаточно большого существует число , такое, что и , т.е. . Сходящийся ряд, имеющий в качестве слагаемых , называется сходящимся рядом в . Теорема.
Если сходящийся ряд в ограничен, то он имеет предел в точке .
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов.
Метод последовательных приближений.
Теорема о среднем.
Ряд Тейлора.
Разложение функций в ряд Лорана.
Применение разложения функции в ряд Тейлора для приближенного вычисления определенной интегральной функции
Понятие и способы решения ряда Фурье.
Определение и особенности интеграла по абсолютной величине.
Особенности вычисления площади плоской фигуры по формуле прямоугольников.
Характеристика и основные свойства интегральных сумм.
Пример 1. Пусть даны два сходящихся ряда:
, . Если , то эти ряды сходятся.
Если , то ряды не сходятся.
Таким образом, если какой-нибудь ряд не сходится, то другой ряд сходится.
Пример 2. Пусть дан ряд :
. Ряд не сходится
. Таким образом, нет общего свойства сходящегося ряда.
Сходящийся ряд можно разбить на два ряда, для которых свойства будут общими.
Свойства сходящихся последовательностей.
1) Если последовательность сходится к некоторому числу , а другая к , то она сходится ко всем числам .
Определение.
Ряд называется сходящимся, если для любого конечного числа существует такое число , что .
Замечание.
Если ряд является сходящимся и для него выполняется неравенство , то ряд называется равносильным к данному ряду.
Свойства сходящегося ряда.
Сходящийся ряд можно определить как ряд, имеющий конечное число слагаемых в каждом члене.
При этом число слагаемого в члене ряда может быть произвольным.
1. Если , , то .
2. Если , тогда .
3. Если , и , то , где - любое число.

Сходящийся ряд - это ряд, который имеет предел при n к бесконечности.
Ряд сходится, если бесконечно малая величина в любом его члене не приводит к увеличению этого члена при x ® Є. Ряд сходится тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один сходящийся предел.
Если ряд сходится (рассеивается), то говорят, что он расходится (сходится).
Свойство сходимости ряда.
При любом слагаемом с положительным показателем ряд сходится или расходится.
Доказательство.
Пусть ряд сходится.
Функция называется ограниченной если существует такое число M, что для всех x из R выполняется неравенство |f(x)|≤M. При этом говорят, что f ограничена сверху на R. Если функция f непрерывна в R, то она является ограниченной сверху на замкнутом сегменте R и, следовательно, на всей R. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Бесконечно большая функция – это функция, которая стремится к бесконечности при любом выборе аргумента.
Теорема о сходящемся ряде.
Если бесконечно убывающий ряд сходится, то и ряд, составленный из его слагаемых, тоже сходится.
Доказательство
Умножение вектора на число.
Преобразование суммы и разности векторов в произведение вектора.
Определение коллинеарных векторов, коллинеара вектора, компланарных векторов.
Свойства операции сложения векторов: разность векторов
Основные понятия и определения теории вероятностей.
Случайные величины.
Функция распределения.
Математическое ожидание и дисперсия.
Теорема о существовании и единственности предела сходящегося ряда.
Свойства суммы и суммы с любыми компонентами.
Предел суммы.
Сходимость последовательности.
Сумма с нулем.
Понятие ряда Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье
Ряд Фурье как функция, которая представляет собой сумму всех квадратов разности между данной функцией и суммой ее собственных значений.
Исследование особенностей преобразования Фурье, определение его свойств и применение к анализу функций.
реферат, добавлен 15.05.2009
В этом разделе мы рассмотрим свойства сходящегося ряда.
Пусть задан ряд вида
. (1)
Тогда ряд (1) сходится, если, например, при всех
, (2)
т.е. если при всех .
Если ряд (1) имеет непрерывную производную в точке , то ряд (1) является сходящимся с точностью до постоянной величины, а это значит, что
(3)
если , то
(4)
где
(5)
и
(6)
Из формулы (6) следует, что при любом .
Кроме того, из (6) легко получить формулу разложения в ряд по степеням
7. Свойства суммы ряда
Рассмотрим ряд
, где .
1) если члены ряда взаимно обратны, то сумма ряда сходится;
2) если ряд сходится к числу, то его сумма тоже сходится.
Свойства суммы ряда:
1) сумма ряда есть сумма его членов;
2) сумма ряда равна сумме его сходящегося члена и остатка;
3) сумма ряда совпадает со своим остатком.
Если ряд сходится, то он сходится равномерно, т. е. на любом промежутке.
В случае если ряд равномерно сходится на отрезке [a,b], то на этом отрезке сумма ряда тоже сходится .
Дальний Восток Реферат
Реферат Государственная Дисциплина
Строение Луковицы Лабораторная Работа Биология 6