Свойства линейного оператора
Свойства линейного оператораЛинейные операторы и их свойства. Обратный оператор.
=== Скачать файл ===
В этой главе исследуются так называемые линейные отображения линейных и евклидовых пространств, т. При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V. Действия над линейными операторам. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр. Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W. Легко проверить справедливость следующего утверждения. Множество L V, W всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство. Свойства множества L V, V линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. Введем понятие произведения линейных операторов из множества L V, V. Произведением операторов А и В из L V, V называется оператор АВ, действующий по правилу. Справедливы следующие свойства линейных операторов из L V, V: С любого конечного числа операторов из L V, V и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы. Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L V, V. Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x 1 ,x 2 , Итак, пусть x 1 ,x 2 , Но элементы x 1 ,x 2 , Следовательно, элементы Ax 1 ,Ax 2 , Для того чтобы линейный оператор А из L V, V имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V. Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения. Докажем достаточность этого условия. Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А. Достаточность условия утверждения также доказана. Введем понятия ядра и образа линейного оператора. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А. Образ линейного оператора А обозначается символом im A Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа. Очевидно, ядро ker А и образ im A — л инейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim ker А и dim imA этих подпространств. Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L V, V. Поэтому в V 1 определены элементы x 1 ,x 2 , Элементы x 1 ,x 2 , Таким образом, в V 1 имеется q линейно независимых элементов. Добавим к линейно независимым элементам x 1 ,x 2 , Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5. Выберем в пространстве V базис е 1 , е 2 , Далее в пространстве V 1 выберем некоторый базис g 1 , g 2 , Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е 1 , е 2 , Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Введем понятие ранга линейного оператора А. Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5. Следствие из теоремы 5. Пусть А и В — линейные операторы из L V, V. Имеют место следующие соотношения:. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Пусть А и В — линейные операторы из L V, V и n — размерность V. Действительно, из этого неравенства и из соотношения 5. Итак, перейдем к обоснованию неравенства 5. Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выб р ать базис x 1 ,x 2 , При таком выборе x 1 ,x 2 , Поэтому элементы Bx 1 ,Bx 2 , Из этого неравенства и соотношений 5. Следствие из теорем 5. Указанное следствие вытекает из неравенств.
Словарь психиатрических терминов
Сравнительная характеристика двух природных
Через сколько пройдет краснота
6. Линейные операторы и их свойства
Выращивание базилика из семян в домашних условиях
Вымогательство коллекторами статья
План проведення інструктажів з пожежної безпеки
Как настроить графику в syberia 1
простейшие свойства
Инструкция по применению энтерожермины
Философские проблемы эпохи просвещения кратко
Опель астра 2009 технические характеристики
Патриот 2015 технические характеристики
Опущение стенки влага что делать