Сумма Первых Членов

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ЗА ПОДРОБНОСТЯМИ ЖМИ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов .
где S — это сумма всех членов, a 1 — первый член прогрессии, a n — последний член, а n — количество членов в данной прогрессии .
Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:
Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30; 
то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна 165 . В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:
(3 + 30), (6 + 27), (9 + 24), (12 + 21)  и  (15 + 18);
то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна 33) . Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов — первого и последнего . Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:
Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:
Если в формулу для суммы вместо a n вставить равное ему выражение: a 1 + ( n - 1) d , то получится:
По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии .
Пример . Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:


Решение: В данной прогрессии первый член равен 1, а разность — 2, значит, сумма первых 10 членов равна:

Видео Тренажер Теория Заметили ошибку?

По вопросам партнёрства пишите нам на:
info@lc .rt .ru


По вопросам партнёрства пишите нам на:
info@lc .rt .ru


Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии .


Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии .


Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:


С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе .


Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом . Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет . Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же . То же будет происходить и с каждой новой парой чисел . Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары . Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50 . И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050 .


С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:


Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии S n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:


S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 2 + a n - 1 + a n (1)


S n = a n + a n - 1 + a n - 2 + … + a 3 + a 2 + a 1 (2)


Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a 1 + a n , число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:


Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:


Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии . Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо a n подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии . Получим:


S n = ( a 1 + a n ) 2 ∙ n = a 1 + a 1 + d n - 1 2 ∙ n = 2 a 1 + d n - 1 2 ∙ n


Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии .


Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4 . Воспользуемся формулой: S n = ( a 1 + a n ) 2 ∙ n , получим


S 10 = ( - 23 + 4 ) 2 ∙ 10 = - 19 2 ∙ 10 = - 19 ∙ 5 = - 95


Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:


Итак, a 1 = - 15 , d = 4 , значит, можно воспользоваться второй формулой: S n = 2 a 1 + d n - 1 2 ∙ n , получим:


S 22 = 2 ∙ - 15 + 4 ∙ ( 22 - 1 ) 2 ∙ 22 = - 30 + 84 2 ∙ 22 = 54 ∙ 11 = 594 .


А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3 .


Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S 30 = a 1 + a 2 + … + a 14 + a 15 + … + a 30 , если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены .


Итак, S 30 = 2 ∙ 10 + 3 ∙ 29 2 ∙ 30 = 107 2 ∙ 30 = 107 ∙ 15 = 1605


S 14 = 2 ∙ 10 + 3 ∙ 13 2 ∙ 14 = 59 2 ∙ 14 = 59 ∙ 7 = 413


S 15 - 30 = S 30 - S 14 = 1605 - 413 = 1192


Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии .


x + 1 + x + 5 + x + 9 + … + x + 69 = 684


Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени . А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4 . То, есть последовательность:


x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684 .


Итак, имеем: a 1 = x + 1 , a 2 = x + 5 , a n = x + 69 , S n = 684 .


Найдем разность арифметической прогрессии:


Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: a n = a 1 + d( n - 1)


Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:


684 = (2 x + 70) ∙ 9, отсюда 2 x + 70 = 76  2 x =6,  x =3



Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения


Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений


Логарифм и его свойства . Примеры решения логарифмов


Корни и степени . Свойства корней n-ой степени . Таблица корней


Модуль числа , его определение и геометрический смысл . Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа




Все материалы сайта www .Grandars .ru , независимо от формы и даты размещения могут быть использованы только с согласия владельцев сайта .
Полная и частичная перепечатка материалов с www .Grandars .ru невозможна без письменного разрешения администрации сайта и указания активной ссылки на статью-источник .









E-mail: info@grandars .ru


0 .093 сек .
Прогрессия – последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу .
Под арифметической или геометрической прогрессией понимается бесконечная последовательность числен . Но часто арифметической или геометрической прогрессией называют конечную часть прогрессии, не упоминая при этом слова "конечная" .
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами , и законом , ,
– разность данной арифметической прогрессии;
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23 . Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов .
Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23, . . ., , если ее -ый член равен 239 .
Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15, . . ., , если ее сумма равна 306 .




Полезные ссылки

Сайт БГУ

Электронная библиотека

Почтовый сервер БГУ

Как создать онлайн-ресурс

Как делать научные публикации

Moodle community





Подразделения
Дистанционная математическая школа ММФ
Общая математическая подготовка
ЭМАлгебра
Прогрессии
Теоретический материал





Перейти на . . .


Перейти на . . .
Оставить отзыв
Copyright
Глоссарий
Из истории математики
Теоретический материал
Изучение темы "Натуральные числа" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Целые числа" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Рациональные, иррациональные и действительные числа" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Преобразования алгебраических выражений" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Функции и графики" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Линейные уравнения" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Занятие
Изучение темы "Квадратные уравнения" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Системы уравнений" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Неравенства"с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Определение тригонометрических функций" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Основные тригонометрические формулы" с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Тригонометрические функции и треугольники"с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Формулы сложения, формулы двойного и половинного аргумента"с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Теоретический материал
Изучение темы "Тригонометрические уравнения"с промежуточным тестированием
Изучение темы "Прогрессии"с промежуточным тестированием
Теоретический материал
Изучение темы "Показательная и логарифмическая функции"с промежуточным тестированием




16 .3 . Сумма членов арифметической прогрессии
Сумма любых двух членов арифметической прогрессии, одинаково удаленных от концов, одна и та же и равна сумме крайних членов .
Возьмем прогрессию и убедимся в этом: ; ; и т .д .
Сумма членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы ее крайних членов на число членов прогрессии .
Используем это свойство для вывода формулы суммы членов . Запишем сумму членов арифметической прогрессии дважды (в порядке возрастания и убывания номеров) и сложим два равенства: ; ; . Каждая сумма двух членов, стоящая в скобках, равна и таких сумм будет столько, сколько членов, т . е . , отсюда и .
Платформа для разработки и использования образовательных онлайн-ресурсов БГУ на базе LMS MOODLE 3 .6 .2+ — самой новой версии . 
© Белорусский государственный университет . Адрес: пр . Независимости, 4, 220030, г . Минск, Республика Беларусь
ГУО “Институт повышения квалификации и переподготовки в области технологий информатизации и управления” БГУ принимает оплату за подготовительные курсы для школьников онлайн , УНП 100336910, юр . адрес: Республика Беларусь, 220004 г . Минск, адрес: Ул . Кальварийская, 9, 826 .



Вход

Регистрация

Вычисли сумму первых 6 членов арифметической прогрессии ( a n ), если даны первые члены: -3 ; -1 . . .


Вход

или
Регистрация



Вход

или
Регистрация


Copyright © 2021 ООО ЯКласс

Контакты


Пользовательское соглашение




Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см . Прогрессия .
Конкурс «Выпускники и наставники России 2021»
Пишите статьи о выдающихся преподавателях и выпускниках университетов России и получайте призы!
Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

то есть последовательность чисел ( членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа



d


{\displaystyle d}

( шага , или разности прогрессии):

Любой ( n - й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью . При



d
>
0


{\displaystyle d>0}

она является возрастающей, а при



d
<
0


{\displaystyle d<0}

 — убывающей . Если



d
=
0


{\displaystyle d=0}

, то последовательность будет стационарной . Эти утверждения следуют из соотношения




a

n
+
1


−

a

n


=
d


{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}

для членов арифметической прогрессии .

Член арифметической прогрессии с номером



n


{\displaystyle n}

может быть найден по формулам






a

2


=

a

1


+
d


{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}








a

3


=

a

2


+
d
=

a

1


+
d
+
d
=

a

1


+
2
d


{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}








a

4


=

a

3


+
d
=

a

1


+
2
d
+
d
=

a

1


+
3
d


{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}








a

5


=

a

4


+
d
=

a

1


+
3
d
+
d
=

a

1


+
4
d


{\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}



Заметив закономерность, делаем предположение, что




a

n


=

a

1


+
(
n
−
1
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех



n
∈

N



{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

:

База индукции



(
n
=
1
)


{\displaystyle (n=1)}

 :






a

1


=

a

1


+
(
1
−
1
)
d
=

a

1




{\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}

 — утверждение истинно .

Пусть наше утверждение верно при



n
=
k


{\displaystyle n=k}

, то есть




a

k


=

a

1


+
(
k
−
1
)
d


{\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}

. Докажем истинность утверждения при



n
=
k
+
1


{\displaystyle n=k+1}

:






a

k
+
1


=

a

k


+
d
=

a

1


+
(
k
−
1
)
d
+
d
=

a

1


+
k
d


{\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}



Итак, утверждение верно и при



n
=
k
+
1


{\displaystyle n=k+1}

. Это значит, что




a

n


=

a

1


+
(
n
−
1
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

для всех



n
∈

N



{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

.

Последовательность




a

1


,

a

2


,

a

3


,
…


{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

есть арифметическая прогрессия



⇔


{\displaystyle \Leftrightarrow }

для любого её элемента выполняется условие




a

n


=




a

n
−
1


+

a

n
+
1



2


,
n
⩾
2


{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2}

.

Поскольку




a

1


,

a

2


,

a

3


,
…


{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

 — арифметическая прогрессия, то для



n
⩾
2


{\displaystyle n\geqslant 2}

выполняются соотношения:






a

n


=

a

n
−
1


+
d


{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}








a

n


=

a

n
+
1


−
d


{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим




a

n


=




a

n
−
1


+

a

n
+
1



2




{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}

.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется




a

n


=




a

n
−
1


+

a

n
+
1



2




{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}

. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия . Преобразуем эту формулу к виду




a

n
+
1


−

a

n


=

a

n


−

a

n
−
1




{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}

. Поскольку соотношения верны при всех



n
⩾
2


{\displaystyle n\geqslant 2}

, с помощью математической индукции покажем, что




a

2


−

a

1


=

a

3


−

a

2


=
…
=

a

n


−

a

n
−
1


=

a

n
+
1


−

a

n




{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}

.

База индукции



(
n
=
2
)


{\displaystyle (n=2)}

 :






a

2


−

a

1


=

a

3


−

a

2




{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}

 — утверждение истинно .

Пусть наше утверждение верно при



n
=
k


{\displaystyle n=k}

, то есть




a

2


−

a

1


=

a

3


−

a

2


=
…
=

a

k


−

a

k
−
1


=

a

k
+
1


−

a

k




{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}

. Докажем истинность утверждения при



n
=
k
+
1


{\displaystyle n=k+1}

:






a

k
+
1


−

a

k


=

a

k
+
2


−

a

k
+
1




{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}



Но по предположению индукции следует, что




a

2


−

a

1


=

a

3


−

a

2


=
…
=

a

k


−

a

k
−
1


=

a

k
+
1


−

a

k




{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}

. Получаем, что




a

2


−

a

1


=

a

3


−

a

2


=
…
=

a

k


−

a

k
−
1


=

a

k
+
1


−

a

k


=

a

k
+
2


−

a

k
+
1




{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}



Итак, утверждение верно и при
Сумма Первых Членов
Красивый Минет Ролики
Порно Польских Толстушек Он
Зрелые Сиськи Частное Фото