Сумма Членов Гармонического Ряда

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Сумма Членов Гармонического Ряда
«Храбрый портняжка» — читательский дневник по сказке братьев Гримм Сказка немецких сказочников Братьев
«Хорь и Калиныч» — читательский дневник по рассказу И. Тургенева Рассказ «Хорь и Калиныч» входит в цикл
Анализ рассказа «Холодная осень» (И.А. Бунин) Автор: Самый Зелёный · Опубликовано 22.02.2020 · Обновлено 21.
Пушкин сделал! Разбор домашних заданий 1-4 класс Home » читательский дневник » Бажов П. «Хозяйка медной
© 2022 Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер
In the coming weeks, this wiki’s URL will be migrated to the primary fandom.com domain. Read more here
Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:
Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, нопредполагается чтосумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:
Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):
Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1
Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:
В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.
n -ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле ) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу Примечания
Есть несколько хорошо известных доказательств расходимости гармонического ряда. Некоторые из них приведены ниже.
Каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма гармонического ряда должна быть больше или равна сумме второго ряда. Однако сумма второй серии бесконечна:
Отсюда следует (из сравнительного теста ), что сумма гармонического ряда также должна быть бесконечной. Точнее, приведенное выше сравнение доказывает, что
Кроме того, общая площадь под кривой y = 1 / Икс от 1 до бесконечности дается расходящимся несобственным интегралом :
Конечные частичные суммы расходящихся гармонических рядов,
Родственный ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :
При проверке предельного сравнения с гармоническим рядом все общие гармонические ряды также расходятся.
Для любой выпуклой вещественнозначной функции φ такой, что
(На самом деле фактическое соотношение немного меньше этой суммы, поскольку полоса непрерывно расширяется.)
Подсчет суммы (итеративно) показывает, что для достижения скорости света требуется всего 97 секунд. Продолжая движение дальше этой точки (превышая скорость света, снова игнорируя специальную теорию относительности ), время, необходимое для пересечения бассейна, фактически приближается к нулю, поскольку количество итераций становится очень большим, и хотя время, необходимое для пересечения бассейна, кажется, стремятся к нулю (при бесконечном количестве итераций), сумма итераций (время, затрачиваемое на полное пересечение пула) все равно будет расходиться с очень медленной скоростью.
В математике, n -м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
то есть мы получаем ряд 1/100000 (1+1/2+1/3+. +1/k)
Карточный фокус, который демонстрирует, насколько “гармонично” возникают гармонические числа уже в простых ситуациях. Положив на стол n карт и сдвигая их относительно друг друга, нам хотелось бы образовать как можно больший выступ над краем стола с учетом действия силы тяжести (см. рис. 1).
Для большей определенности задачи потребуем, чтобы края карт были параллельны краю стола, — в противном случае величину выступа можно было бы увеличить, разворачивая карты так, чтобы их уголки выступали немного дальше. А для того чтобы упростить ответ, предположим, что длина каждой карты равна 2 единицам.
Для одной карты максимальная величина выступа получается тогда, когда ее центр тяжести находится ровно над краем стола (будем считать, что в этом случае равновесие будет устойчивое). А поскольку центр тяжести находится в центре карты, то мы можем образовать выступ длиной в половину карты, т.е. длиной в 1 единицу.
Для двух карт нетрудно убедиться, что максимальная величина выступа получается тогда, когда центр тяжести верхней карты находится ровно над краем второй карты, а общий центр тяжести обеих карт — ровно над краем стола. А поскольку общий центр тяжести двух карт будет находиться посередине их совмещенных частей, то мы в состоянии увеличить величину выступа еще на пол-единицы.
Подобные обстоятельства подсказывают общий метод, в соответствии с которым карты помещаются так, чтобы центр тяжести k верхних карт находился ровно над краем (k + 1)-й карты (которая положена под эти k верхних карт). Стол же играет роль n + 1-й карты. Для того чтобы выразить это условие алгебраически, можно обозначить через dk расстояние от выступающего края самой верхней карты до соответствующего края k-й сверху карты (см. рис. 1).
Надо также вспомнить уроки физики. Из них читателю, очевидно, известно, что центр тяжести k предметов, которые имеют веса w 1 , w 2 , …, w k и центры тяжести которых находятся соответственно в точках p 1 , p 2 , …, p k (см. рис. 2), расположен в точке p = (w 1 p 1 + w 2 p 2 + … + w k p k )/(w 1 + w 2 + … + w k ). Это означает, что для двух карт можем записать:
Заметим, что d 1 = 0. В общем случае нужно положить d k + 1 равным центру тяжести k первых карт:
А эту рекуррентную зависимость1 можно переписать в двух эквивалентных формах:
Вычитание одного уравнения из другого показывает, что
следовательно, d k + 1 = d k + 1 /k. Это означает, что вторая карта будет сдвинута на половину единицы длины относительно третьей карты, которая сдвинута на треть единицы длины относительно четвертой карты, и т.д. Отсюда по индукции вытекает общая формула
А если положить k = n, то получим d n + 1 = Н n — т.е. полная величина выступа, когда n карт уложены так, как описано выше, равна гармоническому числу “степени” n.
Интересный вопрос — а нельзя ли получить боўльшую величину выступа, воздерживаясь вначале от сдвига каждой карты на предельно возможное расстояние и накапливая “потенциальную энергию силы тяжести” для решающего сдвига? Нет, нельзя: всякое устойчивое расположение карт должно удовлетворять неравенству:
К тому же d 1 = 0. Отсюда по индукции следует, что d k+1 ≤H k .

⛔ Полезное знание под угрозой удаления из Википедии или другого сайта? Сохраните его на Викизнании или Вавилон-wiki!


Перейти ↑ Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X

Перейти ↑ Harmonic Number — from Wolfram MathWorld

↑ Перейти к: 3,0 3,1 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.

Перейти ↑ «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003

Перейти ↑ Schmuland’s preprint of Random Harmonic Series

Перейти ↑ Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72




Персональные инструменты

Создать учётную запись Войти


Пространства имён

Статья
Обсуждение



Просмотры

Просмотр
Править
История



Реклама
и

пожертвования

позволяют нам быть независимыми!


Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

Ряд назван гармоническим , так как складывается из «гармоник» : -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон , производимый струной длиной от длины исходной струны [1] .

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится.
n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых членов ряда:

При значение , следовательно, для больших :

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом :

частичная сумма которого, очевидно, равна:

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Применим доказательство от противного , предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Гармонический ряд можно представить в виде суммы двух рядов:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

Это означает, что — есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию её из обеих сторон равенства недопустимы.

-ая частичная сумма гармонического ряда:

Разница между -м гармоническим числом и натуральным логарифмом сходится к постоянной Эйлера — Маскерони .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым [2] .

Обобщённым гармоническим рядом (или рядом Дирихле ) называют ряд [3]

Обобщённый гармонический ряд расходится при и сходится при [3] .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка равна значению дзета-функции Римана :

Для чётных это значение явно выражается через число пи , например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение .

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница . Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью .
Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай ряда Меркатора ( англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

Это соотношение известно как ряд Лейбница .

В 2003 году изучены [4] [5] свойства случайного ряда

где — независимые , одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1 , и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности , вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение:

отличаясь от ⅛ на менее чем 10 −42 .

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80 [6] . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе , все меньше слагаемых берется для суммы «истончённого» ряда. То есть в конечном счете отбрасывается подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Числовая последовательность • Фундаментальная последовательность • Линейная рекуррентная последовательность • Числа Фибоначчи • Последовательность Баркера • Последовательность де Брёйна Ряды, основное
Сумма ряда • Остаток ряда • Условная сходимость • Мультисекция ряда Числовые ряды ( действия с числовыми рядами )
Гармонический ряд • Знакочередующийся ряд • Ряд Лейбница • Ряд Дирихле • Ряд Гранди • 1 − 2 + 3 − 4 + … • 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ Функциональные ряды
Ряд Тейлора • Ряд Лорана • Ряд Фурье • Тригонометрический ряд Фурье • Тригонометрический ряд • Ряд Винера Другие виды рядов
Ряд Неймана • Ряд Пюизё Признаки сходимости



5 лучших ботов для Discord Есть много интересного в Discord,...

В некоторых ситуациях, включая замену сим-карты, появляются проблемы с авторизацией...

Формулы и рецепты Diablo 2 и Diablo 2 LoD Файлы...
Такой страницы не существует. Возможно, Вы некорректно набрали адрес страницы или перешли по неправильной ссылке на наш сайт.
В любом случае не расстраивайтесь, у нас много полезной и актуальной информации. Посетите интересующий Вас раздел сайта:


Н.В.Андреевский

Ряд гармонический и другие




Андриевский Владимир, отец Николая Владимировича




Андриевский Владимир, отец Николая Владимировича







Чарушникова А.




Письмо Н.В.Андреевскому




Владимир и Юля Андриевские. Вятка, 22 мая 1884 г.



Скачать Порно Фото Анастасии Заваратнюк
Кучерявая нимфа Destiny Summers любит секс пожестче порно фото бесплатно
Скачать Порно На Телефон С Разговорами