Сумма Членов Арифметической
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Сумма Членов Арифметической
Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов.
где S — это сумма всех членов, a 1 — первый член прогрессии, a n — последний член, а n — количество членов в данной прогрессии.
Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:
Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30;
то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна 165. В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:
(3 + 30), (6 + 27), (9 + 24), (12 + 21) и (15 + 18);
то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна 33). Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов — первого и последнего. Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:
Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:
Если в формулу для суммы вместо a n вставить равное ему выражение: a 1 + ( n - 1) d , то получится:
По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии.
Пример. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:
Решение: В данной прогрессии первый член равен 1, а разность — 2, значит, сумма первых 10 членов равна:
МногоФормул
Меню
Главная /
Алгебра /
Арифметическая прогрессия /
Сумма членов арифметической прогрессии
Сумма членов арифметической прогрессии
Найти сумму членов арифметической прогрессии (по формуле 1)
Найти сумму членов арифметической прогрессии (по формуле 2)
Авторские права © 2022 МногоФормул.ру
Копирование материалов сайта запрещено!
Карта сайта
Ваш Email
Можно не вводить, если не нужен ответ
39 - столько SQL запросов к базе. 0,131637 - за столько сгенерировалась страница.
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии , можно воспользоваться одной из нижеприведенных формул:
1 ) S n = a 1 + a n 2 ⋅ n , 1) {S_n=\frac {a_1+a_n}{2} \cdot n}, 1 ) S n = 2 a 1 + a n ⋅ n ,
2 ) S n = 2 a 1 + d ( n − 1 ) 2 ⋅ n 2) {S_n=\frac {2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n} 2 ) S n = 2 2 a 1 + d ( n − 1 ) ⋅ n , где
a n — член прогрессии под номером n,
d — разность прогрессии (разница между членами прогрессии),
Если вам известны первый член прогрессии, n-й ее член и количество суммируемых элементов, воспользуйтесь этим расчетом:
Если вы знаете первый член, разность и кол-во элементов для суммирования, то вам поможет этот расчет:
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"
значение первого и последнего членов арифметической прогрессии ( a 1 , a n )
значение первого члена арифметической прогрессии и шаг прогрессии ( a 1 , d )
значение одного из членов арифметической прогрессии и шаг прогрессии ( a i , d )
значения двух членов арифметической прогрессии ( a i , a j )
Сумма членов арифметической прогрессии
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления суммы арифметической прогрессии , вы сможете очень просто и быстро найти значение суммы арифметической прогрессии зная значения двух членов арифметической прогрессии, или значения одного члена прогрессии и шага прогрессии или значения первого и последнего члена арифметической прогрессии.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления суммы арифметической прогрессии, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.
Найти значение суммы первых n членов арифметической прогрессии
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел .
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, ...). Более подробно читайте в правилах ввода чисел .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool . Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Главная
Школьникам
Последовательности и прогрессии
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
К вашему вниманию предлагаем строительство домов по весьма выгодным условиям
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Сумма n первых членов арифметической прогрессии — штука довольно простая и понятная. Как по смыслу, так и по формуле. Но задания на эту тему встречаются самые разные. От примитивных до вполне себе серьёзных. Имеет смысл разобраться, правда?)
Очень часто во всевозможных задачках на арифметическую прогрессию требуется найти сумму некоторого количества её членов. Если этих самых членов мало, то складывать, конечно, и безо всяких формул можно. А вот если много, то сложение "вручную" уже напрягает, да… В этих случаях и выручает формула.)
Итак, вот она, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Для начала, как водится, разберёмся с названием и со смыслом формулы суммы. А потом и задачки порешаем. В своё удовольствие.)
Ключевыми словами в названии формулы являются слова " n первых членов" . Эти слова всего лишь означают, что берётся последовательность
( a n ): a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n
и аккуратно суммируются (т.е. складываются) все её члены. С первого члена ( a 1 ) по последний ( a n ) . Причём складываются именно все члены подряд , без пропусков! Это важно.
Смысл формулы суммы прост до неприличия. Эта формула позволяет легко и быстро находить сумму любого количества членов любой арифметической прогрессии с первого по n -й. Не складывая все числа по порядочку.)
А теперь, традиционно, разбираемся со всеми буковками и символами, сидящими в формуле. Это очень многое прояснит.
S n — та самая сумма n первых членов , которую мы ищем. Результат сложения всех членов арифметической прогрессии с первого по последний . Ещё раз напоминаю, что сумма считается именно (и только) с первого члена. Дело всё в том, что частенько встречаются задачки типа: "найти сумму пятого и восьмого членов" . Или: "найти сумму всех членов с десятого по тридцатый" . В таких задачках прямое применение формулы суммы не катит, да…)
a 1 — первый член прогрессии. Здесь, думаю, комментарии излишни.)
a n — последний член прогрессии. Под номером n . Да, не очень привычное название, но для работы с суммой — очень удобное.) Что это такое — об этом ниже.
n — номер последнего члена.
Вот и всё. Все обозначения расшифрованы. Осталось лишь разобраться, что же такое последний член.
Для начала задам такой хитрый вопрос: как вы думаете, какой член будет последним , если нам дана бесконечная арифметическая прогрессия? Ответ очевиден: никакой.) Какой бы член a n и с каким бы номером n мы ни взяли, для него всегда найдётся следующий, (n+1)-й член.
Поэтому говорить о конкретной конечной сумме для бесконечной арифметической прогрессии (с бесконечным числом членов) попросту нету никакого смысла. Не существует такой суммы. Бесконечная она… Кстати, в отличие от геометрической прогрессии , сумму бесконечного числа членов которой, в некоторых случаях, найти… можно .) Но о геометрической прогрессии и о такой интересной бесконечной сумме — в соответствующих уроках.)
Короче говоря, когда мы имеем дело с суммой арифметической прогрессии, то нам всегда требуется некоторый конечный член . Тот член, на котором следует остановиться. Которым следует ограничиться. Чтобы не складывать все члены до бесконечности.) Вот именно этот граничный член a n — и есть последний член прогрессии. И все дела.)
Номер этого самого последнего члена (т.е. n ) определяется исключительно заданием. Либо он указан в условии прямым текстом, либо же косвенно, в зашифрованном виде.) А составители заданий, порой, шифруют эту ценную информацию (последний член и номер последнего члена) с безграничной фантазией, да…) Для грамотной расшифровки надо, во-первых, понимать смысл арифметической прогрессии , во-вторых, не бояться и думать головой и… внимательно читать задание.) Иначе — никак. Чуть ниже, в конкретных задачках мы все эти секреты пораскрываем.
Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии хоть и прост, но весьма оригинален по сравнению с выводом формулы n-го члена .) Для этого придётся нам запустить машину времени и плавно переместиться… нет, не в будущее.) Мы переместимся в Германию конца XVIII века. Жил-был в то время великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Король математики! Одарённость его просто не знала границ!
Так вот, согласно легенде, когда Гаусс был ещё школьником, учитель дал детям задание. Скучно им, видите ли, было на уроке… А именно — посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Для всего класса это задание и впрямь оказалось работёнкой не из лёгких. На целый урок.) Но… только не для юного вундеркинда Гаусса с его нестандартным мышлением.) Как он выкрутился? Он заметил, что попарные суммы чисел с противоположных концов всегда одинаковы: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 и так далее.) Всего таких попарных сумм, очевидно, будет 50. Рассуждая таким образом, Гаусс, к удивлению учителя, дал верный ответ за полминуты:
1+2+3+…+100 = 50·101 = 5050
Для вывода нашей формулы, мы поступим так же мудро, как и Гаусс. По такому же принципу. Смотрите, сейчас интересно будет! Запишем сначала нашу прогрессию (a n ) в виде прямой последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , …, a n -2 , a n -1 , a n .
А теперь запишем эту же прогрессию, но в виде обратной последовательности. Член a n будет на первом месте, а a 1 — на последнем.
a n , a n-1 , a n-2 , …, a 3 , a 2 , a 1 .
А теперь (внимание!) берём и попарно складываем между собой члены обеих последовательностей — прямой и обратной.
Получаем ровно "n" попарных сумм. Как вы думаете, что в итоге мы получим, если сложим между собой все эти n сумм? Очевидно, нужную нам сумму n первых членов арифметической прогрессии S n , но… удвоенную . Что правда то правда: сначала мы складываем все члены с 1-го по n-й, а затем — наоборот. И, если сложить оба результата, то получим, как раз, удвоенную сумму членов с 1-го по n-й. То есть, 2S n .
2S n = ( а 1 +a n )+(a 2 +a n-1 )+(a 3 +a n-2 )+…+(a n-2 +a 3 )+(a n-1 +a 2 )+(a n +a 1 )
А теперь разберёмся со всеми "лишними" скобочками и буковками. Сейчас будет ещё интереснее!
Как вы уже, возможно, заметили, скобки, стоящие в сумме на одинаковых местах с начала и с конца, совершенно одинаковые! Только слагаемые переставлены местами.) Первые и последние скобки мы трогать не будем. Посмотрим, что получается во вторых и предпоследних скобках. Для этого представим a 2 как a 1 + d , а a n -1 представим как a n - d . Прямо по смыслу арифметической прогрессии :
Подставим это добро во вторую (и предпоследнюю) скобки. Что получим:
(a 2 +a n-1 ) = (a n-1 +a 2 ) = a 1 + d + a n — d = a 1 + a n
Рассуждая аналогичным образом, для третьих скобок с начала и с конца мы получим:
(a 3 +a n-2 ) = (a n-2 +a 3 ) = a 1 + 2d + a n — 2d = a 1 + a n
Ну как? Улавливаете идею? Да! Каждая из попарных сумм членов, стоящих на одинаковых местах с начала и с конца в нашей общей сумме 2 S n , всегда будет одна и та же. И равна a 1 + a n . То есть, сумме первого и последнего членов. А всего таких попарных сумм у нас сколько? Правильно, "n" штук! Столько же, сколько и членов в прогрессии, да…) Не зря же я картинки рисую иногда.
Выражая из этого равенства S n , получаем требуемую формулу:
Ну что, со смыслом формулы разобрались. С выводом — тоже. Я вижу, вам уже не терпится начать решать задачки. Что ж, поехали!
Решение задач на сумму арифметической прогрессии.
Начнём с несложной задачки. Безо всяких фокусов.)
1. Дана арифметическая прогрессия:
Найти сумму первых ста её членов.
Прогрессия нам задана в виде последовательности. Можно, конечно, уловить закономерность, продлить эту последовательность, выписать первые сто её членов, сложить их да посчитать, но… как-то тупо и долго получается, не находите? Но мы же с вами народ учёный. Формулу суммы знаем.) Вот и запустим её в дело.
А теперь смотрим на формулу и соображаем, какие элементы формулы нам даны, а чего не хватает.
Первый член a 1 известен? Да! Это 24. А последний член a n ? Пока нет… Но… зато нам известен его номер n ! Это 100 (n = 100). В задании прямым текстом сказано: найти сумму первых ста членов . Стало быть, последним членом прогрессии будет сотый член a 100 . И как его отыскать? Считать и выписывать сто членов? Зачем!?) Ведь мы же не слепые, глазками последовательность видим, а смысл арифметической прогрессии - понимаем.
Стало быть, можем посчитать разность прогрессии и затем найти интересующий нас сотый член по формуле n-го члена :
Вот и трудимся. Для разности d берём любой член последовательности (кроме первого) и отнимаем предыдущий .
ЕЩЁ РАЗ ВНИМАНИЕ!!! Не просто считаем разницу между большим и меньшим соседними членами (типа 23,2-22,4), а именно от выбранного члена (23,2) отнимаем предыдущий (24)!
Почему ругаюсь? Потому что это весьма и весьма распространённые грабли, на которые наступает значительная часть учеников, теряя драгоценные баллы на контрольных и экзаменах и получая заслуженные минусы. Особенно часто этот косяк встречается в убывающих прогрессиях и в прогрессиях с отрицательными членами.
Вот и считаем правильно . Например, так:
Вот так. Разность — отрицательна. Прогрессия — убывает. Как и в задании.)
Считаем сотый член по формуле n-го члена:
a 100 = a 1 + (-0,8)·(100-1) = 24-0,8·99 = -55,2
Есть. Мы выяснили все интересующие нас параметры в формуле суммы. Осталось подставить их да посчитать:
Кстати сказать, если подставить в формулу суммы вместо a n его выражение через формулу n-го члена, то получим:
Или, если привести подобные в числителе:
Эта формула — тоже формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Только записанная в другом виде — через первый член и разность прогрессии. В некоторых задачках эта модифицированная формула здорово выручает, да.) Имеет смысл запомнить. Или, в случае чего, уметь вывести, как здесь. Ведь формулу n-го члена в любом случае надо помнить.)
Следующая задачка. На основе реального варианта ОГЭ:
2. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = -3 + 5 n . Найдите сумму первых двадцати её членов.
Хорошая задачка. Лёгкая.) Настолько лёгкая, что народ тут же косячит… НЕ НАДО писать сразу, что первый член — минус три! Это фатальное заблуждение, да… Ибо прогрессия нам задана видоизменённой формулой n-го члена . Как работать с такой формулой, подробно рассказано по ссылке. Кто не в курсе — кликаем и читаем.) Кто в курсе, делаем всё как положено. А именно — подставляем в формулу вместо n единичку и считаем:
Вот так вот. Первый член — двойка, а не минус три…
Что там нам ещё нужно для суммы? Последний член и номер последнего члена? Пожалуйста! Нас спрашивают про сумму двадцати первых членов. Стало быть, в качестве последнего члена у нас будет выступать a 20 , а номером n последнего члена будет, знамо дело, двадцатка.
Вот и считаем a 20 подставляя n = 20 в формулу n-го члена:
А теперь уже считаем нужную нам сумму:
А теперь задачка более творческая. :)
3. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных четырём.
Во! Ни первого члена нет, ни последнего, ни номера n , ни прогрессии вообще… Что делать?!
Что-что… Головой думать, да.) И вытаскивать из условия задачи все элементы формулы суммы арифметической прогрессии. Ибо здесь, как раз, тот самый случай, когда ключевые параметры прогрессии в условии ловко зашифрованы .
Вот и начинаем расшифровку. Что такое натуральные числа — знаем. То есть, целые положительные. Что такое двузначные числа — тоже знаем. Ну, те, что из двух циферок состоят.) Какое же двузначное число будет первым ? 10, ясное дело.) А последнее двузначное число? Очевидно, 99. За ним уже трёхзначные числа пойдут…
Идём дальше. Кратные четырём… Это что значит? Это значит, делящиеся на четыре нацело! Десятка делится на четыре? Не делится! 11 — тоже не делится. 12… делится! Если ещё немного подумать, то можно сообразить, что последнее такое число будет 96. Отлично! Очень многое проясняется! Теперь уже можно записать последовательность по условию задачки:
Будет эта последовательность арифметической прогрессией? А как же! Каждый член отличается от предыдущего строго на четвёрку. Если к члену прибавить, скажем, 3 или 5, то новое число уже не поделится нацело на 4.
Сразу же можем и разность прогрессии посчитать:
Ну вот. Теперь мы уже с вами знаем кое-какие параметры прогрессии:
А каков будет номер n последнего члена 96? А вот тут два пути решения. Первый путь — для сверхтрудолюбивых, но некультурных. Можно расписать всю прогрессию да посчитать пальчиком количество членов. А второй путь — для ленивых, зато культурных.) Я отношусь к ленивым, поэтому выберу второе. А именно — распишу последний член прогрессии (т.е. 96) по формуле n-го члена , подставляя уже известные нам данные:
Вот так. Значит, число 96 — это двадцать второй член нашей прогрессии.
А теперь смотрим на формулу суммы:
Смотрим и… прыгаем от радости!) Ибо мы вытащили из условия задачи все необходимые данные для подсчёта требуемой суммы. Незаметно для себя. Вот они:
Осталось лишь подставить да посчитать:
Рассмотрим теперь ещё один тип популярных задачек. На первый взгляд, всё очень похоже, да не совсем…)
4. Дана арифметическая прогрессия:
Найдите сумму членов с 42-го по 101-й.
И как вам? Прямое применение формулы суммы разочарует. Напоминаю, что формула считает сумму только с первого члена. А в нашей задаче надо считать сумму с сорок второго… Тупик? Ну да, щас!)
Можно, конечно, расписать всю прогрессию до 101-го члена и посчитать столбиком на бумажке все члены с 42-го по 101-й. Но возьмутся за это увлекательное занятие только откровенные мазохисты, да…)
Мы же поступим просто и элегантно.) А именно - разобьём нашу прогрессию на две части. Первая часть будет с первого члена по 41-й. А вторая часть — с 42-го члена по 101-й . Ясно, что если мы посчитаем сумму членов первой части S 1-41 и сложим её с суммой членов второй части S 42-101 , то получим сумму членов прогрессии с первого по сто первый S 1-101 .
S 1-41 + S 42-101 = S 1-101
Из этого равенства видно, что найти нужную нам сумму S 42-101 можно простым вычитанием:
S 42-101 = S 1-101 - S 1-41
Вот теперь всё встало на свои места! Обе суммы справа считаются с первого члена . Стало бы
Счастливый сводный брат ебет сразу двоих рыжих сестер близняшек во время инцеста
Жопастая латинка в чулках мастурбирует и вставляет в себя дилдо порно видео
Зрелая похотливая дева начисто вылизала анал мужика и взяла в рот