Структура трехмерной графики

Скачать файл - Структура трехмерной графики

Строятся как графики простых функций в декартовой и полярной системах координат, так и графики, показывающие реалистические образы сложных, пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений. В само ядро Maple 7 встроено ограниченное число функций построения графиков. Это прежде всего функция для построения двумерных графиков plot и функция для построения трехмерных графиков plotSd. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения специальных графиков например, векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т. Для их вызова необходимы соответствующие указания. Вообще говоря, средства для построения графиков в большинстве языков программирования принято считать графическими процедурами, или операторами. Однако мы сохраним за ними наименование функций, в силу двух принципиально важных свойств:. О графические средства Maple V возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа — в строке вывода или в отдельном графическом объекте;. О эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, то есть переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции например, с помощью функции show выводить на экран несколько графиков. Графические функции заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без какой-либо особой подготовки. Для этого нужно лишь указать функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных. Однако с помощью дополнительных необязательных параметров можно существенно изменить вид графиков — например, настроить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т. В математике широко используются зависимости вида y x или у х. Их графики строятся на плоскости в виде ряда точек y 1 x 1 , обычно соединяемых отрезками прямых. Таким образом, используется кусочно-линейная интерполяция двумерных графиков. Если число точек графика достаточно велико десятки или сотни , то приближенность построения не очень заметна. Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде:. Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя. Помимо построения самой кривой у х или f x необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика — специальных указаний для Maple. Графики обычно хотя и не всегда строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь, по крайней мере начинающий, может о них ничего не знать. Однако язык общения и программирования Maple 7 позволяет задавать управляющие параметры и в явном виде. В основном задание параметров особых трудностей не вызывает, за исключением задания титульной надписи с выбором шрифтов по умолчанию — в этом случае не всегда поддерживается вывод символов кириллицы русского языка. Подбором подходящего шрифта эту проблему удается решить. Модификация графиков с помощью управляющих параметров подробно рассматривается ниже. Специальный параметр adaptive задает работу специального адаптивного алгоритма для построения графиков наилучшего вида. При этом Maple автоматически учитывает кривизну изменения графика и увеличивает число отрезков прямых в тех частях графиков, где их ход заметно отличается от интерполирующей прямой. В версии Maple 7 параметр coords задает 15 типов координатных систем для двумерных графиков. Ниже приведены наименования систем координат значений параметра coords и соответствующие формулы преобразования. Maple 7 позволяет воспроизводить на одном графике множество кривых. При этом возникает необходимость как-то идентифицировать их. Для этого можно использовать построение линий разными стилями, разными цветами и с разной толщиной. Набор средств выделения кривых позволяет уверенно различать их как на экране цветного дисплея и в распечатках, сделанных цветным струйным принтером, так и при печати монохромными принтерами. Параметр style — позволяет задавать следующие стили для линий графиков:. Если задано построение графика точками, то параметр symbol позволяет представить точки в виде различных символов, например прямоугольников, крестов, окружностей или ромбов. Другой параметр — color — позволяет использовать обширный набор цветов линий графиков:. Различные цветовые оттенки получаются благодаря использованию RGB-комбинаций базовых цветов: Приведем перевод ряда других составных цветов: Перевод цветов некоторых оттенков на русский язык не всегда однозначен и потому не приводится. Средства управления стилем графиков дают возможность легко выделять различные кривые на одном рисунке, даже если для выделения не используются цвета. При построении графика одной функции она записывается в явном виде на месте шаблона f. Примеры построения графика одной функции представлены на рис. Он связан с используемым в них правилом — функция задается равной нулю, если ее числитель равен нулю. При построении графиков одной функции могут быть введены описание диапазонов и различные параметры, например: При черно-белой печати цвета представляются оттенками серого цвета. Управление диапазоном изменения переменной и значения функции. Для управления отображаемой на графике области служит задание диапазонов принимаемых значений для переменной и функции. В ряде случаев их можно не применять, тогда Maple автоматически задает приемлемые диапазоны. Однако их явное указание позволяет управлять областью графика вручную. Иногда соответствующее задание диапазонов случайно или целенаправленно ведет к отсечению части графика — например, на рис. Правильный выбор диапазонов повышает представительность графиков функций. Рекомендуется вначале пробовать строить графики с автоматическим выбором диапазонов, а уже затем указывать их вручную. Изредка встречаются графики функций f x , которые надо построить при изменении значениях от нуля до бесконечности или даже от минус бесконечности до плюс бесконечности. Бесконечность в таких случаях задается как особая константа infinity. В этом случае переменной х, устремляющейся в бесконечность, откладывается значение аrctan x. Некоторые функции, например tan x , имеют при определенных значениях х разрывы, причем случается, что значения функции в этом месте устремляются в бесконечность. Построение графиков таких функций нередко дает плохо предсказуемые результаты. Графический процессор Maple 7 не всегда в состоянии определить оптимальный диапазон по оси ординат, а график функции выглядит весьма непредставительно, если не сказать безобразно рис. Среди аргументов функции plot есть специальный параметр discont. Если задать его значение равным true , то качество графиков существенно улучшается, см. Улучшение достигается разбиением графика на несколько участков, на которых функция непрерывна, и более тщательным контролем за отображаемым диапазоном. При этом в точках разрыва могут появиться вертикальные линии. Иногда это бывает полезно. Важное значение имеет возможность построения на одном рисунке графиков нескольких функций. В простейшем случае рис. Обычно графики разных функций автоматически строятся разными цветами. Но это не всегда удовлетворяет пользователя — например, при распечатке графиков монохромным принтером некоторые кривые могут выглядеть слишком блеклыми или даже не пропечататься вообще. Используя списки параметров color цвет линий и style стиль линий , можно добиться выразительного выделения кривых — это показывает второй пример на рис. Однако если кривые задаются разным цветом, то при черно-белой печати они могут перестать различаться. Она выполняется настолько просто, что соответствующие функции записаны прямо в списке параметров функции plot. В данном случае сама функция построена сплошной линией, а график полинома точками — ромбами. Хорошо видно, что при малых х аппроксимация дает высокую точность, но затем с ростом х ее погрешность резко возрастает. Такие комбинации позволяют получать периодические функции, моделирующие сигналы стандартного вида: Обратите внимание, что смещение графиков отдельных функций вниз с целью устранения их наложения достигнуто просто прибавлением к значению каждой функции некоторой константы. В данном случае просто выбран стиль линии в виде точек. Однако часто возникает необходимость построения графиков функций, которые представлены просто совокупностями точек. Такая совокупность может быть создана искусственно, как на рис. В данном случае переменная Р имеет вид списка, в котором попарно перечислены координаты точек функции sin x. Далее по списку Р построен график точек в виде крестиков, которые отображают отдельные значения функции sin x. В первом примере эти точки соединяются отрезками прямых, так что получается кусочно-линейный график. Видно также, что указание типа точек после указания стиля линии игнорируется а жаль, было бы неплохо, чтобы наряду с кусочно-линейной линией графика строились и выделенные окружностями точки. Во втором примере рис. Они представлены маленькими кружками. Читателю предлагается самостоятельно совместить оба подхода к построению графиков по точкам и создать график в виде отрезков прямых, соединяющих заданные точки функции, представленные кружками или крестиками. Способность Maple 7 к упрощению работы пользователя просто поразительна — жаль только, что многие возможности этого становятся ясными после основательного изучения программы, на что уходят, увы, не дни, а месяцы, а то и годы. Применительно к графикам одной из таких возможностей является построение графиков функций, заданных только их функциональными именами — даже без указания параметров в круглых скобках. Такую возможность наглядно демонстрирует рис. Этот пример показывает, что возможно построение графиков функций даже без указания в команде plot диапазонов. При этом диапазон по горизонтальной оси устанавливается равным по умолчанию Часто возникает необходимость построения графика точек, ординаты которых являются элементами некоторого вектора. Обычно при этом предполагается равномерное расположение точек по горизонтальной оси. Пример построения такого графика дан на рис. Из этого примера нетрудно заметить, что данная задача решается составлением списка парных значений координат исходных точек — к значениям ординат точек, взятых из вектора, добавляются значения абсцисс. Они задаются чисто условно, поскольку никакой информации об абсциссах точек в исходном векторе нет, так что фактически строится график зависимости ординат точек от их порядкового номера n. Некоторые виды функций, например кусочные, удобно задавать процедурами. Построение графиков функций, заданных процедурами, не вызывает никаких трудностей и иллюстрируется рис. Здесь, пожалуй, полезно обратить внимание на то, что в функции plot указывается имя процедуры без списка ее параметров. Имена функций без указания списка параметров в круглых скобках тоже, по существу, являются функциональными операторами. Так что они также могут использоваться при построении графиков упрощенными способами. Точки х, у наносятся на график в декартовой системе координат и соединяются отрезками прямых. Для этого используется функция plot в следующей форме:. К примеру, если задать в качестве функций f 1 t и f 2 t функции sin t и cos t , то будет получен график окружности. Задание диапазонов для изменений h и v, а также параметров р не обязательно. Но, как и ранее, они позволяют получить вид графика, удовлетворяющий всем требованиям пользователя. Построение таких графиков также производится функцией plot , которая для этого записывается в следующем виде:. Графики параметрических функций и функций в полярной системе координат отличаются огромным разнообразием. Снежинки и узоры мороза на стеклах, некоторые виды кристаллов и многие иные физические объекты подчиняются математическим закономерностям, положенным в основу построения таких графиков. Каждая точка z i таких графиков является высотой аппликатой точки, лежащей в плоскости XY и представленной координатами х,у. Поскольку экран монитора компьютера в первом приближении является плоским, то на деле трехмерные графики представляют собой специальные проекции объемных объектов. Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро функцию pi ot3d. Она может использоваться в следующих форматах:. В двух первых формах plot3d применяется для построения обычного графика одной поверхности, в других формах — для построения графика с параметрической формой задания поверхности. В приведенных формах записи f, g и h — функции; exprl — выражение, отражающее зависимость от -х и у; exprf, exprg и exprh — выражения, задающие поверхность параметрически; s, t, а и b — числовые константы действительного типа; end — числовые константы или выражения действительного типа; х, у, s и t — имена независимых переменных; р — управляющие параметры. С помощью параметров р можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков, выводя или убирая линии каркасной сетки, вводя функциональную окраску поверхностей, меняя угол их обзора и параметры освещения, изменяя вид координатных осей и т. Следующие параметры функции p1ot3d задаются аналогично их заданию для функции plot:. Однако функция plot3d имеет ряд дополнительных специфических параметров:. Ниже перечислены типы трехмерных координатных систем и соответствующие формулы преобразования. Эти формулы полезно знать, поскольку в литературе встречаются несколько отличные формулы пересчета. Вид графиков трехмерных поверхностей очень сильно различается в разных координатных системах. По умолчанию трехмерные графики строятся в прямоугольной системе координат — rectangular. Функциональная окраска делает рисунки более информативными, но, увы, на рисунках в книге она превращается в окраску оттенками серого цвета. Помимо значения patch для построения трехмерных поверхностей можно задавать ряд других стилей: Возможно еще два алгоритма задания цвета:. Удачный выбор углов обзора фигуры и применение функциональной окраски позволяют придать построениям трехмерных фигур весьма эффектный и реалистический вид. Как отмечалось, вид графика трехмерной поверхности существенно зависит от выбора координатной системы. При построении этой фигуры также использована цветная функциональная окраска. Кроме того, этот пример иллюстрирует вывод над рисунком титульной надписи кстати, сделанной на русском языке. Приведем еще один пример построения трехмерной поверхности — на этот раз. Здесь функция задана вообще элементарно просто — в виде числа 1. Но, поскольку выбрана сферическая система координат, в результате строится поверхность шара единичного радиуса. О том, насколько необычным может быть график той или иной функции в различных системах координат, свидетельствует рис. В одном окне задано построение графика, а в другом построен сам график. При построении графика в отдельном окне появляется панель форматирования графика. С помощью ее довольно наглядных кнопок можно легко скорректировать вспомогательные параметры графика окраску, наличие линий каркаса, ориентацию и др. В этом случае поверхность задается тремя формулами, содержащимися в списке. В данном случае функциональная окраска задана из меню, поэтому в состав функции соответствующий параметр не введен. Обратите внимание на технику удаления частей фигуры путем задания соответствующего диапазона изменения параметров t и n. Следующий пример показывает построение простого тороида — цилиндра, свернутого в кольцо рис. Здесь также использован прием удаления части фигуры, что делает ее представление более наглядным и красочным. Кроме того, введены параметры, задающие функциональную окраску. Он дает полное и наглядное представление об этой фигуре. Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора. Его можно было бы и не вводить, поскольку этот параметр задается по умолчанию. Он выравнивает масштабы представления фигуры по осям координат, обычно используется по умолчанию и позволяет снизить до минимума геометрические искажения фигур — тор, например, при этом виден как круглая труба, свернутая в кольцо. У таких графиков есть специфический недостаток — они занимают малую часть окна вывода. График при этом увеличивается в размерах, но становятся заметны его искажения по осям координат. В итоге тор превращается в толстую сплющенную трубу с эллиптическим сечением рис. Весьма важным является учет углов, под которыми наблюдается трехмерная поверхность или объект. К примеру, построение рис. В общем, как в поговорке: Простейший и очень удобный способ изменить угол обзора заключается во вращении фигуры на рисунке мышью при нажатой левой кнопке. При этом можно повернуть фигуру так, что ее геометрические особенности будут видны рис. Обратите внимание, что значения заданных углов обзора повторяются в полях углов на контекстной панели инструментов. Разумеется, последние будут меняться, если начать вращать фигуру на рисунке мышью. Тор, построенный с применением значения параметра seating-unconstrained. Параметрическое задание уравнений поверхности открывает почти неисчерпаемые возможности построения занимательных и сложных фигур самого различного вида. Приведем пару построений такого рода. Вырез в фигуре дает прекрасный обзор ее внутренней поверхности, а цветная функциональная окраска и линии сетки, построенные с применением алгоритма удаления невидимых линий, дают весьма реалистичный вид фигуры. На этот раз он круглого сечения, но сверху и снизу имеет вид пятиконечной звезды. В приведенных на рис. Рекомендуется тщательно проанализировать эти примеры и попробовать их в работе с несколько измененными теми или иными данными. Полезно построить ряд подобных примеров самостоятельно. Все это будет способствовать привитию учащимся специального геометрического стиля мышления, при котором геометрические особенности фигур связываются с их расчетным описанием. В последние реализации системы Maple 5, 6 и 7 введены новые функции быстрого построения графиков. Функция smartplot f предназначена для создания двумерных графиков. Параметр f может задаваться в виде одиночного выражения или набора выражений, разделяемых запятыми. Задание управляющих парамтеров в этих графических функциях не предусмотрено; таким образом, их можно считать первичными, или черновыми. Для функции построения двумерного графика по умолчанию задан диапазон изменения аргумента Построение графиков с помощью функции smartplot. Обратите внимание на второй пример применения функции smartplot. Быстрое не в смысле ускорения самого построения, а лишь в смысле более быстрого задания построения графиков построение трехмерных графиков обеспечивает функция smartplot3d Для этой функции задан диапазон изменения обоих аргументов Примеры применения функции smartplot3d. Как видно из второго примера, представленного на рис. При этом линии пересечения поверхностей строятся вполне корректно. Принадлежность функций plot и plot3d к функциям в ряде книг их именуют операторами, командами или процедурами наглядно выявляется при создании графических объектов. Графический объект — это, в сущности, обычная переменная, которой присваивается значение графической функции. После этого такая переменная, будучи вызванной, производит построение соответствующего графика. Пример этого дан на рис. В данном случае строится лента Мебиуса, свойства которой например, плавный переход с одной стороны ленты на другую уже много веков будоражат воображение людей. Поскольку можно говорить, что вызов переменной возвращает графический объект, то это дает повод считать p l ot и plot3d графическими функциями. Язык программирования Maple 7 допускает применение в процедурах любых внутренних функций, в том числе графических. Пример такого применения дает рис. Этот пример показывает еще один способ задания и построения кольца Мебиуса. Практически любые графические построения можно оформлять в виде процедур и использовать такие процедуры в своих документах. Функция plot3d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно вместо описания одной поверхности задать список описаний ряда поверхностей. При этом функция plot3d обладает уникальной возможностью — автоматически вычисляет точки пересечения фигур и показывает только видимые части поверхностей. Это создает изображения, выглядящие вполне естественно. Функции PLOT и PLOT3D с именами, набранными большими буквами позволяют создавать графические структуры, содержащие ряд графических объектов si, s2, s3 и т. Каждый объект может представлять собой точку или фигуру, полигон, надпись и т. Координатные оси также относятся к графическим объектам. Важно отметить, что функции PLOT и PLOT3D одновременно являются данными, описывающими графики. Их можно записывать в виде файлов и после открытия файлов представлять в виде графиков. Особые свойства этих функций подчеркиваются их записью прописными буквами. При задании графических объектов структур si, s2, s3 и т. O для закраски непрерывной области , типа шрифта — FONT ; вывода титульной надписи — TITLE string ; имени объекта — NAME string ; стиля координатных осей - AXESSTYLE BOX, FRAME, NORMAL, NONE или DEFAULT и т. Следует отметить, что параметры в графических структурах задаются несколько иначе — с помощью круглых скобок. Например, для задания шрифта TIMES ROMAN с размером символов 16 пунктов надо записать FONT TIMES,ROMAN, 16 , для задания стиля координатных осей в виде прямоугольника — AXESSTYLE BOX и т. Как видно из этого примера, графическая двумерная структура позволяет задавать практически любые двумерные графики и текстовые надписи в пределах одного рисунка. Графические структуры трехмерной графики строятся функцией PLOT3D:. В качестве элементарных графических структур можно использовать уже описанные выше объекты POINTS, CURVES, POLYGONS и TEXT — разумеется, с добавлением в списки параметров третьей координаты. Пример такого построения дан на рис. Кроме того, могут использоваться некоторые специальные трехмерные структуры. Одна из них — структура GRID: Еще один тип трехмерной графической структуры — это MESH: Пример задания графической структуры типа GRID. Пример задания графической структуры типа MESH. Описанные структуры могут использоваться и в программных модулях. Много таких примеров описано в книгах, поставляемых с системой Maple 7. Знаете ли Вы, что идеализация - это мысленное конструирование представлений об объектах, не существующих или неосуществимых в действительности, но таких, для которых существуют прообразы в реальном мире. НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира.