حرکت عجیب پیچ

توضیح کوتاه:

شبیه همین پدیده را خودتان هم می‌توانید از نزدیک مشاهده کنید:

برای اینکه چیزی را در شرایط بی‌وزنی قرار دهید فقط کافی است رهایش کنید تا سقوط آزاد کند. اکنون به شیئی نیاز داریم که مانند پیچ داخل فیلم سه محور داشته باشد و حول آن سه محور توزیع جرم جسم متفاوت باشد، به طوری که حول یکی از محورها اجرامِ سازندهٔ شیء، نسبت به محور دوریِ کمتری داشته باشند تا حول محورهای دیگر. چنین جسمی معمولاً راحت پیدا می‌شود. مثلاً یک گوشی موبایل.

برای مهیّا کردن سقوط آزاد، موبایلتان را به هوا پرتاب کنید. همچنین یادتان باشد که باید جسمی که در حالت بی‌وزنی است، چرخش هم داشته باشد. پس موبایل را حول یکی از سه محور اصلیش پچرخانید و پرتاب کنید. هر سه محور را امتحان کنید.

۱) محوری که عمود به صفحهٔ موبایل است و از وسط آن می‌گذرد. (دوری اجرام از این محور بیشینه است.)

۲) محوری که از عرض موبایل رد می‌شود. (دوری اجرام از این محور نه بیشینه است و نه کمینه.)

۳) محوری که از طول موبایل رد می‌شود. (دوری اجرام از این محور کمینه است.)

در حالت ۱ و ۳ موبایل به همان طریقی که پرتاب شده است، با همان چرخش، به حرکت خود ادامه می‌دهد. امّا در حالت ۲ وقتی موبایل را پرتاب می‌کنید، به علاوهٔ چرخشی که در اوّل به آن داده‌اید، موبایل حول یک محورِ دیگر، یکبار یا تعداد دفعات بیشتری (بسته به اینکه چقدر سقوط طولانی باشد و چرخش سریع) چپه می‌شود.

پس می‌توانید خودتان مشاهده کنید که چنین پدیده‌ای واقعاً اتفاق می‌افتد.

اکنون بیاید فیزیک مسئله را دقیقتر واکاوی کنیم. این کار را به چند طریق می‌توان انجام داد که یکی از آنها روش زیر است که در ابتدا به مروری کوچک نیاز دارد.

مرور: حرکت دورانی؛ نیروی وارد بر متحرکی که مسیرش دایره است.

اگر به یک تکّه سنگ، ریسمانی ببندید و سر دیگر ریسمان را سفت در دست نگه دارید و به وسیلهٔ آن سنگ را به دور سر خود بگردانید، ریسمان باعث می‌شود که سنگ روی یک دایره بچرخد. سنگ با سرعتی که شما با دست خود تنظیمش می‌کنید روی این دایره به حرکت ادامه می‌دهد در حالی که جهت سرعت سنگ همواره در حال عوض شدن است. شما حس خواهید کرد که به دستتان نیرویی از طرف نخ وارد می‌شود. یا برعکس و به بیان نیروی عکس‌العمل، دست شما به نخ نیرویی وارد می‌کند که نتیجتاً نخ همین نیرو را به سنگ وارد می‌کند. این نیرو است که سنگ را روی دایره نگه داشته است. در واقع اگر هیچ نیرویی به سنگ وارد نمی‌شد، یعنی اصلاً هیچ ریسمانی نبود، آنوقت سنگ با همان سرعتی که داشت به حرکت خود روی یک خط راست ادامه می‌داد و دلیلی نداشت مسیر راستِ خود را کج و آن را تبدیل به یک دایره کند. حالا که سنگ روی خط راست حرکت نمی‌کند، بلکه جهت سرعت و حرکتش در هر لحظه مماس بر دایره است، سرعت سنگ لحظه به لحظه دارد دچار تغییر می‌شود که این یعنی حرکت سنگ یک حرکت شتابدار است. پس به صورت خلاصه: از طرف ریسمان نیرویی به سنگ وارد می‌شود؛ طبق قاعدهٔ‌ F=ma∑ این نیرو باید شتابی ایجاد کند؛ این شتاب همان شتابی است که برای سنگ یک مسیر دایروی می‌سازد.

خب، این نیرو به چه پارامترهایی بستگی دارد؟

می‌شود به راحتی حس کرد که اگر جرم جسم زیاد شود، نیرو هم باید به طور مستقیم زیاد شود. اگر یک سنگ و نخ دیگر اضافه می‌کردیم، نیروی کشش هر دو نخ (همان نیرویی که نخ به سنگ وارد می‌کند) با هم برابر می‌شد. اگر دو نخ را به هم نزدیک می‌کردیم تا عملاً یک نخ تشکیل شود، آنوقت می‌توانستیم بگوییم که به این نخ نهایی نیرویی دو برابر وارد می‌شود؛ دو برابر حالتی که فقط یک سنگ وجود داشت. پس با دو برابر کردن جرم سنگ، نیروی کشش نخ دو برابر می‌شود. یعنی نیروی کشش نخ با جرم سنگ تناسب مستقیم دارد.

حالا فرض کنید می‌خواهیم سنگ را با سرعتی بچرخانیم که هر ثانیه یک دور کامل بزند. اگر طول نخ صفر بود، یعنی در واقع سنگ به مرکز دایره چسبیده بود، آنگاه چرخاندنش دور مرکز سختی‌ای نداشت و برای این کار نیرویی لازم نبود. در این حالت نیروی نخ صفر می‌شد. امّا اگر طول ریسمان خیلی زیاد بود و می‌خواستیم در طول یک ثانیه سنگ محیط دایرهٔ به آن بزرگی را بپیماید، باید نیروی خیلی زیادی صرف می‌کردیم. پس نیرو به فاصلهٔ سنگ از مرکز چرخش ربط دارد و با زیاد شدن فاصله، زیاد می‌شود. با زیاد کردن طول ریسمان، شعاع دایره و در نتیجه محیط آن بزرگتر می‌شود. پس مسافتی که سنگ باید در هر ثانیه بپیماید بیشتر می‌شود. (چون مسافتی که بیشتر شده را باید در همان مدّت زمان قبلی طی کند، پس سرعتش هم باید بیشتر شده باشد.) بنابراین شتاب لازم برای اینکه سنگ یک دور کامل برود و برگردد به نقطهٔ اوّل، بیشتر می‌شود. شتاب بیشتر یعنی نیروی بیشتری به سنگ وارد شده است. (اگر طول ریسمان را دو برابر کنیم، شعاع و محیط دایره، در نتیجه مسافت، سرعت، شتاب و نیروی مذکور، دو برابر می‌شوند.)

در آخر، نیروی کشش نخ به سرعت دوران هم مرتبط است. اگر در هر ثانیه به جای اینکه سنگ یک دور بزند، دو دور بزند، آنوقت نیروی کشش نخ طبیعتاً بیشتر خواهد شد. چون سنگ همان مسافت قبلی را باید حالا در نصف زمان قبلی طی کند، پس اندازهٔ سرعتش در طول مسیر باید دو برابر قبل باشد: V2=2V1. شتاب، تغییر همین سرعتِ دو برابر شده است در مدّت زمانی که حالا نصف شده؛ پس شتاب جدید ۴ برابر شتاب قبلی است. پس نیرو هم باید ۴ برابر شده باشد. نتیجه می‌گیریم که نیرو با توان دومِ سرعتِ دوران تناسب مستقیم دارد.

همهٔ سه بند بالا را باهم که در نظر بگیریم خواهیم داشت:

(که در آن ω سرعت دوران، r طول ریسمان و m جرم سنگ است)

برای کامل کردن این بخش، مرور یک نکتهٔ دیگر بد نیست. اگر وقتی که سنگ را دور سرمان می‌چرخانیم، خودمان نیز همراه با سنگ بچرخیم چه خواهیم دید؟ اگر دقیقاً با همان سرعت دور خودمان بچرخیم، از دید ما سنگ نمی‌چرخد (بلکه بقیهٔ عالم دور ما و سنگ می‌چرخد)، امّا همچنان خواهیم دید که سنگ آویزان نیست و از ما دور شده است و ریسمان هم کششی دارد. یعنی اگر ما به دور خودمان بچرخیم قاعدتاً نیروی کشش نخ که نباید تغییری کند! پس ریسمان دارد با همان اندازهٔ قبلی کشیده می‌شود، امّا سنگ از دید ما حرکت نمی‌کند و ثابت است و بنابراین شتابی ندارد. وقتی سنگ شتاب ندارد (a=0)، طبق قاعدهٔ F=ma∑، نیروهایی که به سنگ وارد می‌شوند باید همدیگر را خنثی کنند تا برآیند نیروها صفر شود. بنابراین انگار سنگ دارد توسط نیرویی دیگر به بیرون کشیده می‌شود و این نیرو، نیروی کشش نخ را خنثی کرده است. به این نیرو، نیروی گریز از مرکز می‌گویند.

به طور خلاصه اگر در معادلهٔ F=ma∑، عبارت ma را از طرف راست معادله به طرف چپ ببریم خواهیم داشت: F-ma=0∑. یعنی اگر جوری به جسم نگاه کنیم که شتابش صفر شود، آنوقت می‌توان به عبارت ma مانند یکی از نیروهایی که به جسم وارد می‌شود نگاه کرد. همچنین به دلیل حضور علامت منفی پشت عبارت ma، جهت این نیرو خلاف جهت شتاب است. (برای مسئلهٔ سنگ، وقتی ما نمی‌چرخیم نیروی جانب به مرکز و وقتی می‌چرخیم نیروی گریز از مرکز داریم.)

خب، همینقدر مرور بس است! الان می‌توانیم مسئلهٔ کلّه معلق زدن پیچ سفینهٔ فضایی (یا موبایل) را حل کنیم. اگر دوست داشتید اینجا کمی استراحت کنید! (در متن زیر از کلمهٔ دور چندبار استفاده شده است، حواستان باشد که بخوانید Dur، و نه Dor).

تصور کنید مانند شکل زیر چهار جسم را به هم متصّل کرده‌ایم. دوتا از آنها جرمشان m و دوتای دیگر جرمشان M است. m از M خیلی کوچکتر است.

مانند موبایل این جسم هم سه محور دارد به طوری که دوری اجرام حول هر محور متفاوت است. حول محور اوّل اجرامی که دورند فقط دو جرم کوچک m هستند. در حالی که حول محور دوم، اجرام دور Mها هستند که بزرگترند. پس در محور دوم جرمهای دور بیشترند. حول محور سوم هم که هم mها و هم Mها دورند.

حالا فرض کنید جسم در حال چرخش حول محور دوم است (شکل وسطی از اشکال بالا). همچنین وضعیتی را در نظر بگیرید که ما هم با جسم در حال چرخشیم و از این رو، جسم را ثابت می‌بینیم و نیز می‌بینیم که به جرمهایی که دور از محور هستند نیروی گریز از مرکز وارد می‌شود. چون جرمهای m از محور فاصله‌ای ندارند، به آنها نیروی گریز از مرکزی وارد نمی‌شود. اگر از بالا به جسم نگاه کنیم چنین وضعیتی خواهد داشت:

الان محور چرخش از میله‌ای که جرمهای m را به هم وصل می‌کند می‌گذرد. امّا بیایید کمی این وضعیت را مختل کنیم. به شکل سمت چپ نگاه کنید. میله به دو طریق می‌تواند کج شود تا دیگر بر محور منطبق نباشد. جرم m یا می‌تواند در راستای بالا و پایین جابجا شود (و میله را آن سمتی کج کند) و یا می‌تواند در راستای چپ و راست جابجا شود. دقّت کنید که چون جرمهای m با میلهٔ صلب به هم وصل شده‌اند، در هر دو حالت mها روی یک دایره جابجا خواهند شد.

در حالت اوّل، یعنی وقتی جرم m در راستای بالا و پایین جابجا شود، جرمهای M سر جای خودشان می‌مانند و نیازی نیست آنها تکانی بخورند تا این جابجایی صورت گیرد. یعنی اگر جرم m یک دور کامل در این راستا بچرخد، جرمهای M نیاز نیست هیچ تکانی بخورند چون m به محوریت آنها دور زده است. برعکس، در حالت دوم وقتی m به چپ و راست جابجا شود، جرمهای M نیز باید کج شوند و از جای قبلی‌شان تکان بخورند. یعنی اگر در این راستا m یک دور کامل بچرخد، Mها نیز باید یک دور کامل بچرخند.

حالا فرض کنید اتفاق اوّل رخ داد و m کمی به سمت بالا جابجا و میله نسبت به محور چرخش کج شد. به محض اینکه m از محور دور شود یک نیروی گریز از مرکز به آن وارد خواهد شد. چیز دیگری هم که با آن مقابله نمی‌کند، پس این نیروی گریز از مرکز بیشتر m را به بیرون هُل خواهد داد m باز در همان جهت جابجا می‌شود. هرچه از محور دورتر شود نیروی گریز از مرکز بزرگتر می‌گردد و این به دور شدن m سرعت بیشتری می‌بخشد. این آنقدر ادامه پیدا می‌کند تا اینکه mها به دورترین فاصلهٔ خودشان از محور می‌رسند. در اینجا دیگر میلهٔ mها به آنها اجازه نمی‌دهد بیشتر از این دور شوند. امّا یادمان باشد که در فرآیندِ دور شدن از محور، mها سرعت کسب کرده‌اند و در این نقطه (دورترین نقطه از محور) دارای سرعت زیادی هستند. پس mها اینجا متوقف نخواهند شد و با آن سرعتی که دارند به حرکت ادامه می‌دهند. ولی در ادامهٔ حرکت، mها به محور نزدیکتر می‌شوند و نیروی گریز از مرکز در این قسمت با سرعت آنان مخالفت می‌کند و از آن می‌کاهد. چون همه چیز متقارن است، دقیقاً برعکس حرکت قسمت اوّل رخ می‌دهد. یعنی هرچه سرعت گرفته بودند را از دست می‌دهند و در لحظه‌ای که سرعت آنها صفر می‌شود دقیقاً جای دو m عوض شده است. حالا به وضعیت اوّل برگشتیم، با این تفاوت که میلهٔ mها ۱۸۰درجه چرخیده است. بنابراین دوباره تمام اتفاقات بالا تکرار خواهد شد و باز تکرار خواهد شد و اینگونه میلهٔ mها پشت سر هم چپه می‌گردد. (مثل یک آونگ که اگر از یک نقطه رهایش کنید، وقتی به پایین‌ترین نقطه می‌رسد بیشترین سرعت را دارد و سپس دقیقاً تا همان ارتفاعی بالا خواهد رفت که از آن رها شده بود. و این حرکت به صورت متناوبی تکرار می‌شود.)

حالا اگر m به چپ و راست جابجا شود چه؟ در این وضعیت، جابجا شدن m باید جرمهای سنگین M را نیز جابجا کند که به نیروی زیادی نیاز دارد و این حرکت خیلی سخت است. از طرف دیگر اگر m مثلاً به راست کج شود جسم از روبرو چنین شکلی به خود می‌گیرد:

در این وضعیت همانطور که در شکل می‌بینید، چون M از m خیلی بزرگتر است و همچنین Mها از محور دورترند، نیروی گریز از مرکز بسیار بیشتری به Mها وارد می‌شود. این نیروی گریز از مرکز انگار تمایل دارد سیستم را به وضعیت اولیه برگرداند، یعنی میلهٔ mها را باز منطبق کند بر محور چرخش. (برای راحتی حالتی را بررسی کنید که میله‌ها ۴۵درجه کج باشند.). بنابراین حتی اگر m به چپ و راست جابجا شود، این جابجایی به جایی نخواهد رسید.

توجه کنید که در مسئله‌ای که بررسی کردیم، جسم حول محوری می‌چرخید که دوری جرمها از آن، نه دوری بیشنه بود و نه کمینه. دریافتیم که اگر جسم را حول این محور به دوران درآوریم، سیستم کلّه معلق می‌زند. (راستای سبکتر چپه می‌شود.). توضیح کوتاه که راجع به موبایل بود را به یاد آورید. در مسئلهٔ موبایل کدام محور بود که چرخیدن حول آن، پدیده مورد نظر را به وجود می‌آورد؟

دقّت کنید که اگر جرمهای m و M با یکدیگر مساوی بودند دیگر لزوماً چنین اتفاقی نمی‌افتاد. چون اوّلاً جابجا شدن mها دیگر آنقدر آسانتر از تکان خوردن Mها نبود. ثانیاً اگر m به چپ و راست جابجا می‌شد نیروی گریز از مرکز بیشتری به آن وارد می‌شد و اینبار نیروی گریز از مرکز M دیگر نمی‌توانست سیستم را به وضعیت اوّل برگرداند، (برای راحتی حالت ۴۵درجه را بررسی کنید). پس دوباره به این نکته می‌رسیم که شرایط لازم برای رخ دادن چنین پدیده‌ای این است که جسمِ در حال چرخش، سه محور داشته باشد که دوری اجرام حول آن سه محور متفاوت باشد.

با توضیحات بالا این پدیده با قوانین فیزیکی سازگار است.