Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана

🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Степенные ряды -- это ряд Фурье, который является степенным рядом по степеням слагаемого (то есть , где и являются действительными числами).
В этой статье мы рассмотрим ряд Тейлора в случае, когда .
Если , то ряд называется рядом Лорана.
Ряд Тейлора сходится при при всех , а ряд Лорана сходится для всех .
Умножим ряд Тейлора на и рассмотрим разложение в ряд по степеням :
Для , , и , и
а также
где
То есть для каждого , получаем
Так как , то
Таким образом,
и
Тогда
Степенные ряды или ряды Тейлора — это ряды, содержащие степенной член. Степенной член представляет собой величину вида
где formula_3 — некоторая константа, formula_4 — произвольная скалярная величина.
Ряд Тейлора содержит только действительные члены, ряд Лорана содержит действительные и комплексные члены.
При formula_6 ряд Тейлора сходится при formula_7 к formula_8 при любом formula_9. Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда formula_10 и formula_11 сходимы.
Степенные ряды - это ряды с переменной в явном виде. Например, степенные ряды с параметром:

или:
где
и
В случае степенного ряда с параметром, при

, можно записать:
при этом
.
Если, то
.
Для того, чтобы получить степенной ряд с параметром , достаточно взять сумму степенных рядов с параметром .
Для примера рассмотрим степенной ряд:
При этом, если

то
.
Аналогично, если
то
.
Таким образом, получаем следующие ряды:
Степенные ряды или ряды Тейлора — один из основных классов аналитических функций, представляющих собой степенные ряды, в которых член ряда с определённым показателем называется «степенью» функции.
В общем случае степенной ряд с произвольным показателем имеет вид
где formula_2 — произвольное действительное число.
Для некоторых случаев (в частности, для ряда Фурье) степенной ряд может быть разложен в степенной полином.

На днях мне посчастливилось открыть в себе способности к математике. А именно, решить несколько примеров, которые мне задали на дом, по алгебре и геометрии. В частности, я решил несколько задач из учебника по геометрии за 7 класс.

Ряды Фурье, Гардинера, Лагранжа.
Что означают эти символы

В чем их сущность и смысл

Как я могу определить, что они мне помогут

Для этого нужно немного вспомнить школьный курс математики.
Степенные ряды - это ряды, которые могут быть сведены к аналитическим формулам, т.е. к степенным рядам.
Пример. Найти сумму ряда:

Решение:
Степенные ряды, как и все ряды Фурье, являются обобщением ряда Тейлора. Степенной называется функция, для которой выполняется соотношение: Здесь - функция с действительными показателями степени. Поскольку степенной ряд сходится при любом , его можно приближать рядом Тейлора до тех пор, пока точность приближенного значения не перестанет меняться с увеличением . Ряд Тейлора сходится к степенной функции с точностью до порядка Приближение ряда Тейлором удобно для нахождения производных и интегралов.
В этом разделе мы рассмотрим степенные ряды и их основные свойства. Степенным рядом называется ряд вида: , где - произвольная последовательность действительных чисел, удовлетворяющая условиям: ; ; ;
Степенные ряды - это ряды, в которых степенная функция задается в виде суммы степенных функций.
Например, степенной ряд вида:
, где
есть ряд Тейлора.
Степенной функцией в этом случае называется функция, для которой степенная часть ряда Тейлора имеет вид:
.
При этом, если
, то степенную часть ряда можно записать как:
.
В общем случае, при
, степенная функция определяется как
.
Ряды Тейлора позволяют заменить степенные функции в выражениях, содержащих производные, на более простые.
Примеры.

Как Прошить Дипломную Работу С Тремя Дырками
Реферат Общение Со Сверстниками
Дневник По Практике Ремонт Автомобиля