Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);
удовлетворяет так называемым условиям сопряжения
В каждом интервале решения уравнения (1.4) имеют вид:
Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
где , выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:
Из первого краевого условия получаем зависимость от , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):
Пусть - собственные значения и - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:
Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде
где вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:
Применяя метод последовательных приближений, получаем:
Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).
Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
Тогда имеет место следующее равенство:
при , где - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.
Следствие 1.2 , где - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).
Следствие 1.3 и совпадают со всеми корнями уравнения .
Следствие 1.4 образуют полную систему собственных функций.
где монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого . В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что ; таким образом, для каждого задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке . Если бы мы знали все значения собственных функций , соответствующие собственным числам задачи на полуоси, в точке , то, решая задачи на конечном промежутке с дополнительным граничным условием , мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия (условие Дирихле) и (условие Неймана). Пусть - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного оператора ( ), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.
Следствие 2.1 , где - длина промежутка .
Известно, что , где вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям
Тогда спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на и .
Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал заменяется на , где - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая
ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке с дополнительным краевым условием , то справедливо равенство для всех .
Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).
Замечание 2 Для расчета собственных чисел задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на , где - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями и .
Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность с единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале в точности нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.
Известно (см. [3]), что - собственные числа.
Введем обозначения: - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что
где вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение
Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4
Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.
Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.
Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.
[1]
Вопрос о том, как находить значения для расчета собственных чисел, остается нерешенным
Название: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 13:06:34 27 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 44
Комментариев: 18
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Статья: Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Кризис Новорожденности Курсовая Работа
Доклад: Дерматиты
Реферат На Тему Древнерусское Государство
Бизнес И Предпринимательство Реферат
Реферат: Экономическое планирование методами математической статистики
Реферат по теме Немцы на Смоленщине
Курсовая работа по теме Проектирование электропривода переменного тока перемещения стола продольно-строгального станка с усилием резания 50 кН
Курсовая работа: Методические основы формирования навыка чтения у младших школьников. Скачать бесплатно и без регистрации
Эссе Я Будущий Логопед
Отчет По Производственной Практике Администратор
Курсовая работа по теме Состояние языкового анализа и синтеза у детей с общим недоразвитием речи
Курсовая работа по теме Государство и политические партии
Курсовая Работа На Тему Бесіди Про Образотворче Мистецтво - Засіб Виховання Учнів У 1-4 Класах
Реферат: Красная смородина. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Оптичні явища в природі
Курсовая работа по теме Л.П. Берія — авантюрист, злочинець, демократ?
Сочинение Владимира Мономаха Читать
Титульник Дипломной Работы 2022
Технологии Математического Развития Дошкольников Курсовая
Реферат по теме Советский кинематограф в 20-40гг.
Реферат: Інтеграція України до ЄС. Шляхи і перспективи розвитку
Реферат: ДНК и РНК
Реферат: Артюр Рэмбо