Статья: Применение свойств функций для решения уравнений

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение. Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.
В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:
Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) - любые элементарные функции.
Использование области определения и области значения функций
Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.
Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.
Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции при x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.
Ответы: а) x>0, x¹1; б) êxê£1; в) x¹0; г) x³0; д) Нет корней; е) x¹0.
Использование экстремальных значений функций
Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений:
Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:
в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;
в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;
в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.
Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе
Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:
Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.
Решение: Оценим левую часть уравнения: , следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.
Ответы: а) p; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.
Этот способ основан на следующих теоретических фактах:
Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;
Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.
Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.
Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:
уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;
уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;
уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.
Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.
Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение
поэтому при всех значениях хÎR., следовательно, функция f(x)- возрастающая.
Теперь исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.
Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.
Ответы: а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.
В конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений.
Аксенов А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы. М.: Наука, 1976
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра, тригонометрия. М.: Просвещение, 1991
Шарыгин И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995

Название: Применение свойств функций для решения уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 23:10:05 06 апреля 2007 Похожие работы
Просмотров: 694
Комментариев: 15
Оценило: 5 человек
Средний балл: 4.2
Оценка: неизвестно   Скачать

Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Статья: Применение свойств функций для решения уравнений
Густав Эмар Собрание Сочинений В 25 Томах
Реферат: Anna Karenina Essay Research Paper Anna KareninaLeo
Реферат: Комплексні числа їх зображення на площині Алгебраїчна тригонометрична і показникова форми ком
Реферат по теме Гитара, виуэла, лютня - история, традиция, культура
Эссе По Обществознанию Трамп
Реферат по теме Петер Пауль Рубенс как видный представитель барокко
Контрольная работа по теме Побудова таблиць та діаграм
Сочинение На Тему Ревизор 8
Шинель Без Хлястика Сочинение Егэ
Сочинение Егэ По Тексту Два Камня
Контрольная работа по теме Диагностика типа памяти младших школьников
Контрольная работа по теме Підшипники кочення
Реферат по теме ДНК-діагностика та її застосування у ветеринарії
Контрольная Работа 1 По Теме Строение Вещества
Реферат по теме Проблемы речевого развития детей на смежных образовательных ступенях:дошкольной и начальной
Доклад: Мой социокультурный образец
Курсовая работа: Организация бухгалтерского учета на базе Плана счетов
Отчет По Учебной Практике Механика
Контрольные Работы По Химии Габриелян 9
Ответ на вопрос по теме Инфраструктура товарного рынка
Доклад: Глоттохронология тюркских языков (предварительный анализ)
Реферат: Минеральные удобрения
Реферат: Німеччина в ІХ–ХІ веках