Статья: Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Р.Ю. Симанчёв, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования
Паросочетанием в графе G=(VG,EG) называется любое (возможно пустое) множество попарно несмежных ребер. Семейство всех паросочетаний графа G обозначим через .
Пусть RG - пространство вектор-столбцов, компоненты которых индексированы элементами множества EG. Для всякого определим его вектор инциденций с компонентами xeR=1 при , xeR=0 при . Многогранник
назовем многогранником паросочетаний. Так как всякое ребро графа G является паросочетанием, то dimMP(G)=|EG|.
Полиэдральная структура многогранника MP(G) исследовалась многими авторами. В частности, Эдмондсом в [3] впервые дано линейное описание многогранника паросочетаний, Хваталом в [4] найден комбинаторный критерий смежности его вершин. Нас будет интересовать группа линейных преобразований пространства RG, переводящих многогранник MP(G) в себя. Более точно: линейной симметрией многогранника MP(G) назовем матрицу такого невырожденного линейного преобразования пространства RG, что для всякой вершины x многогранника MP(G) образ также является вершиной MP(G). Легко доказать, в частности, что такое преобразование переводит грань многогранника в грань той же размерности.
Множество всех линейных симметрий многогранника MP(G) образует группу относительно умножения матриц (композиции преобразований), которую мы будем обозначать через L(G). Переходя к изложению результатов, отметим, что все основные понятия теории графов используются в настоящей работе в соответствии с монографией [1]. Кроме того, для всякой через обозначим множество всех инцидентных вершине u ребер графа G.
В течение всей статьи граф G предполагается связным, не имеющим петель и кратных ребер, |VG|>4.
2. Линейные симметрии и перестановки на EG

Легко заметить, что всякая матрица является булевой. Действительно, так как всякое ребро e является паросочетанием в графе G, то Axe также является паросочетанием, то есть (0,1)-вектором. В то же время, Axe есть попросту столбец матрицы A с именем e.
Предложение 1. Пусть , таковы, что xH1=AxH, xF1=AxF. Тогда включение эквивалентно включению .
Доказательство. Так как A булева матрица и включение строгое, то при покомпонентном сравнении
Обратное доказывается аналогично, если заметить, что A-1 также является линейной симметрией многогранника MP(G).
Предложение 2. Всякая матрица содержит ровно |EG| единиц.
Доказательство. Меньше, чем |EG| единиц, в матрице A быть не может, ибо она невырождена. Покажем, что в каждом ее столбце стоит ровно одна единица.
Предположим, что ae1e=ae2e=1 для некоторых , . Так как , то . Из предположения заключаем, что . Следовательно, имеем строгое включение . Тогда, по предложению 1, A-1xe11. Предположим, что ребра образа не имеют общей вершины. Тогда среди ребер , , есть несмежные, либо является циклом длины 3. В первом случае получаем противоречие с условием теоремы, ибо uui, , попарно смежны. Второй случай рассмотрим подробнее.
Пусть p=3 и , и . Так как G связен и |VG|>4, то существует вершина , которая смежна с какой-либо из вершин u1,u2,u3, - скажем, с u1. Так как uu1 и u1s смежны, то vw и тоже смежны. При этом если они смежны по вершине v, то получаем смежность ребер и и, как следствие, - смежность ребер u1s и uu3, что не так. Если же vw и смежны по вершине w, то аналогично получаем смежность ребер u1s и uu2, что также противоречит выбору вершины s. Следовательно, при p=3 ребра не могут образовывать цикла.
Итак, если не висячая вершина, то для нее существует такая , что . Из условия сохранения смежности ребер и взаимнооднозначности перестановки вытекает, что это включение является равенством, то есть . Нетрудно увидеть, что это равенство выполняется и для висячих вершин графа G.
Теперь, основываясь на лемме 3, определим соответствие правилом: , если и только если , где - перестановка на EG, сохраняющая смежность ребер. Легко заметить, что является перестановкой. Покажем, что она сохраняет смежность вершин графа G. Действительно, всякое ребро можно представить как пересечение множеств и . Следовательно,
Ясно, что последнему пересечению может принадлежать только ребро .
Таким образом, доказано, что является автоморфизмом графа G, причем индуцирует перестановку .
Проведенные рассуждения сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Перестановка индуцирована некоторым автоморфизмом графа G тогда и только тогда, когда образы смежных в G ребер при перестановке смежны.
Переход к группе SG осуществляется с помощью следующего результата.
Теорема 2. Перестановка на множестве EG индуцирована некоторым автоморфизмом графа G тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Достаточность. В силу леммы 2, образы смежных в G ребер при перестановке смежны. Значит, по теореме 1, индуцирована некоторым автоморфизмом графа G.
Необходимость. По теореме 1, образы смежных ребер смежны. Покажем, что для любого . Действительно, если смежны, то и тоже смежны, чего быть не может, ибо и принадлежат H.
Теорема 2 позволяет заключить, что соответствие " индуцирует ", определенное в начале данного параграфа, является отображением группы Aut(G) на SG. Обозначим его через .
Теорема 3. Соответствие является изоморфизмом групп Aut(G) и SG.
Доказательство. Действительно, если и - два различных автоморфизма, то существует такая вершина , что . Пусть , i=1,2. Ясно, что . Следовательно, . Тем самым доказана взаимнооднозначность соответствия .
Итак, суммируя полученные результаты, получаем изоморфность группы линейных симметрий многогранника паросочетаний и группы автоморфизмов соответствующего графа.
В заключение отметим, что аналогичные результаты о симметриях многогранника матроида получены О.В.Червяковым в работе [2].
Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. М.:Наука, 1990.
Червяков О.В. Линейные симметрии и автоморфизмы матроида // Фунд. и прикл. матем.: Сб. науч. тр. Омск: ОмГУ, 1994. C.81-89.
Edmonds J. Maximum matching and a polyhedron with 0,1-vertices // Jornal of Research of the National Bureau of Standards B, 1965. P.125-130.
Chvatal V. On certain polytopes associated with graphs // Journal of Combinatorial Theory (B). 1975. N 18. P. 138-154.

Название: Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 13:58:06 24 марта 2007 Похожие работы
Просмотров: 223
Комментариев: 16
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.3
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Статья: Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа
Реферат: Органоиды клетки и их функции
Противостояние Чацкого И Фамусовского Общества Сочинение
Бухгалтерская Отчетность В Стратегическом Анализе Курсовая
Современный Миф Сочинение
Отчет По Практике Банк Открытие 2022
Реферат: Antigone Essay Research Paper Antigone Character Analysis
Социальный Прогресс Реферат
Курсовая работа: Разработка проекта участка диагностики с разработкой технологии диагностики автомобиля ГАЗ 3507
Контрольная работа: Предмет социологии как науки
Контрольная работа по теме Социально-экономические отношения народов Северо-Востока
Контрольная работа по теме Штатное расписание: содержание, порядок составления и оформления
Реферат по теме Глобальные и локальные сети.
Реферат: Мифология. Функции мифа. Мифологические школы
Гдз Геометрия 7 9 Контрольные Работы
Полное Собрание Сочинений Ленина
Реферат: Лубочный театр как форма городского примитива
Скачать Полное Собрание Сочинений Маркса Энгельса
Собрание Сочинений Том 4
Курсовая работа по теме Виды деятельности на рынке ценных бумаг
Человечность На Войне Сочинение Егэ
Реферат: Открытие биосферы
Реферат: Договор фрахтования судна на время (тайм-чартер)
Реферат: Образ русского казака в фольклоре народов Северо-Восточной Сибири