Статья: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений
Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.
В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.
Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта.
1. Области, функциональное пространство, полиномиальные последовательности
Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]
круговая луночка S конформно отображается в бесконечную полосу .
Обозначив обратное к (1.1) преобразование как =(x,y), =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно определяется заданием 1 и , т.е. S=S(1,). Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,)) обозначим как u(,).
В качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj() u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d0. Совокупность всех таких элементов u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное произведение, положив: . Здесь (x0,y0) - произвольная внутренняя точка из S.
Рассмотрим функцию комплексного переменного z = x+iy: .
Функции u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют следующий вид:
Используя формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:
Интегралы в (1.3), очевидно, сходятся при a(-,), b2.
Функции u0(,) и v0(,) удовлетворяют условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки из интервала (0,2). Значит, для такого и вещественного t, удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют место разложения:
Здесь и далее под k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,.... Коэффициенты uk(,), vk(,) этих разложений при k1 обладают рядом интересных свойств.
1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:
2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):
3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:
Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.
4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.
5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.
2. Ортогонализация последовательности полиномов
Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:
g№0. Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида , и . Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают следующие формулы:
где =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.
Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:
где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.
Вектор-столбец бесконечной высоты с координатами:
для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].
Ортонормированному базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу , столбцы которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица - это нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] известно, что разложима в произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично изометричен в l2, второй - диагонален с положительной возрастающей последовательностью диагональных элементов {j}, а третий - изометричен в l2, т.е.
Учитывая параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис удобно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:
Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.
4. Приближенное интегрирование гармонических функций
В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов.
Теорема 4.1. Существует единственная последовательность такая, что для любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное произведение конечно и при этом
Последовательность вычисляется по формулам:
Это утверждение легко доказать, если разбить функцию u(x,y) на две части - четную и нечетную по y и разложить каждую в ряд по каноническому базису W(S). Далее, учитывая определение (3.1) координат вектор-столбца , производя необходимые преобразования с суммами и учитывая (3.2)-(3.3), получим формулы (4.1).
В формулировке теоремы 4.1 мы вывели представления для коэффициентов D1j и D2j, которые используют интегралы по луночке S. Численное вычисление множителя Al сводится к результатам следующего утверждения. Но сначала условимся об обозначениях.
Теорема 4.2. Интеграл от полинома uk+1, взятый по луночке S = S(1,2-1), совпадает с приращением функции Qk() на отрезке [1,2], а от полинома vk+1, взятый по той же луночке, равен нулю.
Здесь отметим, что приведенное в §4 приложение системы полиномов является не единственным. Например, ее можно применять в задачах, использующих альтернирующий метод Шварца. Также с их помощью можно находить решения в составных областях на плоскости.
Axler S., Bourdon P., Ramey~W. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.
Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения.М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. 360 с.
Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1961. 523 с.
Васкевич В.Л. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонической функции // Теоретические и вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО РАН, том 24. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1994. С. 93-126.
Название: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 15:57:06 24 марта 2007 Похожие работы
Просмотров: 132
Комментариев: 16
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Статья: Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
Реферат: Твердые бытовые отходы и влияние их на окружающую среду. Скачать бесплатно и без регистрации
Положение Об Областном Конкурсе Сочинений
Курсовая работа по теме Высшее светское образование в России в сер. 50-60-е гг. XIX века
Реферат: Расчёт гидравлического привода
Дипломная работа по теме Российский рынок ценных бумаг: особенности и тенденции развития
Шпаргалка: Тенденции, способствующие развитию международного бизнеса
Реферат: Международные и национальные системы управления качеством проекта
Какой Должна Быть Современная Семья Эссе
Курсовая работа по теме Трудовые правоотношения
Лабораторная Работа Трение
Дипломная работа по теме Психологическая готовность ребенка к школьному обучению
Тувинская Национальная Борьба Хуреш Реферат
Курсовая работа: Подход к определению стратегии предприятия: сущность и классификация
Диссертации Университет Право
Курсовая работа: Гендерные стереотипы в русских пословицах и поговорках
Рефераты: Арбитражный процесс.
Реферат по теме Методическое обеспечение продаж
Реферат: Бизнес-план Полное товарищество Чайная камелия
Магистерская Диссертация Помощь
Доклад по теме Начало эры ЕС ЭВМ
Реферат: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений
Доклад: Эмпирические методы познания
Реферат: PR-Производим впечатление