Статья: К решению теоремы Ферма

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества y n

+
x n

=
z n

(1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x
и y
для всех показателей степени n
,
которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x
,
y
,
z
,
а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
Здесь: x
– переменное число, а <
x
–
целое число; n
–
целое число, показатель степени; b
–
целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x
,
a
,
и n
.

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 )
и ( 2 )
методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45 0
сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a) n
+ x n
= 2x n
- nx n-1
a + c n
2
x n-2
a 2
- c n
3
x n-3
a 3
...... +
a n


(x+b) n
= x n
+nx n-1
b + c n
2
x n-2
b 2
+ c n
3
x n-3
b 3
.......+b n



D = x n
- nx n-1
(a+b) + c n
2
x n-2
(a 2
-b 2
) - c n
3
x n-3
(a 3
+b 3
)..+(a n
+
b n
) =0

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x
,
y
=(
x
–
a
),
z
=(
x
+
b
),
удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a
=
b
=1.
Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a =
b
, уравнение (3) преобразуем к виду:
x n
- 2nx n-1
a - 2c n
3
x n-3
a 3
- 2c n
5
x n-5
a 5
- ... (a n
+
a n
)=0
(4)

Обозначимчерез P(a,n) = 2c n
3
x n-3
a 3
+ 2c n
5
x n-5
a 5
+...
(
a n

+

a n

)
-
добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
Разделив все члены уравнения на x n

-1

, получим выражение для искомого x

x=2
na
+
P
(
a,n
)/
x n

-1

,
где P(a,n)/x n-1

³
0
(5)

При a
=
b
= 1
выражение (5)
примет вид:
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P
(1
,
n
)/
x n

-1

.
Исходя из изложенного, целые числа х
и у
из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству y n

+
x n

=
z n


Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P
(
a
,
n
)/
x n

-1

.

2. Если уравнение y n

+
x n

=
z n

с учетом добавки P
(
a
,
n
)
выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1 ,
n
)/х n
-1
; у=2n-1+ P(1 ,
n
)/х n
-1
; z=2n+1+ P(1 ,
n
)/х n
-1
, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1 ,
n
)/х n
-1
.
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/
х
n-1

=
2c n
3
/x 2
+ 2c n
5
/x 4
+2c n
7
/x 6
...
(
1
+

1
)
/
x n

-1


Первый член разложения, из-за малости x
2

имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя x n

-1

(для n=3 – 2/6 2
; для n=15– порядка 2/30 14
; для n=25– 2/50 24
и т.п.)
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
3. Известно, что уравнение второй степени y
2

+
x
2

=
z
2

решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x
,
y
,
z
.
Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x
,
y
,
z
,
в которых для уравнения (
x
-2
a
) 3
+(
x
-
a
) 3
+
x
3

=(
x
+
b
) 3
,
существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 3 3
+4 3
+5 3
=6 3

.
Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.
4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.
Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b
сosC= (a 2
+ b 2
-c 2
)/2ab. Подставим вместо сторон а,
b
и с
их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:
а
→ x; b → y=x-1; c → z=x+1
, где x=2n+P(1
,n
)/x n-1


После выполнения операций преобразования получим:
- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90 о
при n=2 до 60 о
при n →
∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.
- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.
- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y
2

+
x
2

=
z
2


5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.
6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.
Первый метод
доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z
0

2

= x
2

+
y
2

–2
xycosc
.
Требуется доказать, что Z
0

является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc
определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2
xycosc
,
что в свою очередь делает нецелым Z
0

2

и извлеченный из него квадратный корень Z
0.


В основу второго метода
также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z
0

2

= x
2

+
y
2

–2
xycosc
всегда меньше соответствующего Z
п

2

= x
2

+
y
2

прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z
0

2

находится внутри числового отрезка Z
п

2

= x
2

+
y
2

.

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z
0

2

будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод
основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.
Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:
1 4 9 16 25 36 4964 81 100 121 144 169 196 и т.д.
2 4
6 8
10 12
14 16
18 20
22 24
26 и т.д.
Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z 1
не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z 1
/Dx 2

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z 0
2
всегда меньше z п
2
или соответствующего Dx 2
в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z 0
2
в числовой отрезок Dx 2
и убедиться, что извлеченный корень из числа z 0
2
является нецелым числом.
Рассмотрим доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cosC=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z 0
2
=10 2
+9 2
-2*10*9*0,337=120,34.
В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.
Проверка: 10 5
+9 5
=159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z 0
2
может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cosC по трем известным сторонам треугольника.
Примечание.
Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод
основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числаz k
=x k
+y k
является нецелым числом.
P
.
S
. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).
Принятие a
=1
обусловлено получением максимальных
,
(*) при которых для всех a
<1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а z n

наиболее близок к 2
x n

.
Принятие b
=1
обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда b
£
x
(
n

Ö
2-1)
. Подставляя вместо х его близкое целое значение 2
n
,
получим формулу b
£
2
n
(
n

Ö
2-1)
для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 45 0
сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.
Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….
Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а
умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо (
x
*
a
)
n

+(
y
*
a
)
n

=(
z
*
a
)
n

.
В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P
(
a
,
n
)/
x n

-1

является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a
.

В иррациональности добавки P
(1,
n
)/
x n

-1

можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х
методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.
Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции x n

и
y n

могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:
- вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n
- квадрант I - для положительных x и y
- квадрант III- для отрицательных x и y
- в квадрантах II и IVдля нечетных n будут иметь место разности типа x n

-
y n

или y n

-
x n

,
рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.
1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.
2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции y n

+
x n

=
z n

. При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.
3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.
Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,

Название: К решению теоремы Ферма
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 06:20:21 30 августа 2004 Похожие работы
Просмотров: 39
Комментариев: 22
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению
4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Статья: К решению теоремы Ферма
Реферат: Athletic Injuries Essay Research Paper Athletes with
Реферат по теме Плоды рябины обыкновенной
Реферат: Характер человека. Скачать бесплатно и без регистрации
Константинополь 2 Рим Реферат
Курсовая работа по теме Организация маркетинговой деятельности
Реферат На Тему Права Женщин
Этические основы научной деятельности
Реферат: Арабо-мусульманський культурний регіон
Сочинение: «Найти звук...»
Дипломная работа: Рынок ценных бумаг и его особенности в Российской Федерации
Отчет по практике по теме Технология оснащения и охрана труда в предприятиях общественного питания
Реферат Образец Рггу
Сочинение Взаимосвязь Природы И Родины
Реферат: "Рождение трагедии из духа музыки" – первая манифестация идей Ф.В. Ницше
Курсовая работа по теме Теоретические основы бухгалтерского учёта и аудита денежных средств организации.
Стихи Детей Про Осень Собственного Сочинения
Курсовая работа по теме Технология приготовления виноградного вина
Контрольная Работа Вычитание Дробей Смешанных Дробей
Шпаргалка: Шпаргалка по Уголовному праву 3
Қыз Ұлт Келбеті Эссе
Реферат: Экономическая сущность налога. Налоги и налоговая система РФ
Доклад: Деметра и Персефона
Реферат: Эмбриология человека