Статья: Две замечательные теоремы планиметрии

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.
Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.
Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:
1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;
2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;
3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;
рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)
4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.
Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.
К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.
Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач.
Формулировки теорем Чевы и Менелая.
рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)
Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.
Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).
Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).
Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2)
Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.
кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:
Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).
Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:
Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).
Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:
На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.
Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С): (1)
проделаем тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):
Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).
Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая.
Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая
Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.
Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи:
1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);
2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).
Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений.
Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой).
1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).
SMKNC=SBNC-SBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC= SABC= S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.
Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.
Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А:
Второе и третье отношения нам известны, подставим их:
Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:
зная площадь треугольника NВС ( S) находим площадь треугольника ВKМ:
Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM= S- S= S.
Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.
2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.
Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов.
3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.
Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и
прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая:
Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда
Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP),
BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).
Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем:
откуда что и требовалось доказать.
(Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).
В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде.
4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.
Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):
т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.

Название: Две замечательные теоремы планиметрии
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья
Добавлен 23:15:06 06 апреля 2007 Похожие работы
Просмотров: 3917
Комментариев: 20
Оценило: 14 человек
Средний балл: 3.4
Оценка: 3   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Статья: Две замечательные теоремы планиметрии
Отчет По Практике На Тему Анализ Результатов Финансово-Хозяйственной Деятельности Предприятия, Организации
Контрольная работа по теме Возрастные особенности органов дыхания
Глаголы Для Курсовой Работы В Задачах
Реферат: Мышление и его компоненты
Статья: Психологическая теория деятельности: действия и цели; операции; психофизиологические функции
Реферат по теме Рене Декарт и его трактат 'Правила для руководства ума'
Положение Об Областном Конкурсе Сочинений
Сочинение Рассуждение 6 Класс Ладыженская
Контрольная работа по теме Психологические концепции мышления
Контрольная Работа График Функции 9 Класс
Учет Персонала Дипломная Работа
Доклад по теме Фотохимия
Курсовая работа по теме Автоматизация учета продаж программных продуктов 1С
Реферат по теме Земельный кадастр Республики Беларусь
Реферат по теме Баренц Виллем
Реферат по теме Фашизм: истоки, сущность, роль в современном обществе
Реферат: Человек-маятник. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат На Тему Творчество Ломоносова
Контрольная работа по теме Лейкопения. Хронический миелолейкоз. Острая дыхательная недостаточность
Реферат: История бумаги
Реферат: Оборотный капитал
Реферат: Государственное управление: содержание и особенности
Реферат: Президент РБ