Способы построения поверхностей

Скачать файл - Способы построения поверхностей

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Данная статья носит справочный характер и по своей структуре очень напоминает материалы о графиках и свойствах элементарных функций. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт. Чем отличается этот справочный материал от аналогов? Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат см. Во-вторых, необходимо уметь откладывать точки в этой системе координат; об этом я достаточно подробно рассказал на уроках Уравнениях прямой в пространстве и Треугольная пирамида. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения — к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже. Информация по силам каждому — для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения. Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе — для аналитической геометрии. Напоминаю простейший пример c первого урока по теме ФНП:. Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости. Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики. Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям. Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом. Тем, кто ещё не успел, настоятельно рекомендую ознакомиться с указанной выше статьёй и понять неформальный смысл этих уравнений. Повторим заодно и соответствующие неравенства:. Изобразить тело, ограниченное плоскостями Составить систему неравенств, определяющих данное тело. Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед. Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Хотя формальный признак очевиден какая переменная отсутствует в уравнении — через ту ось и проходит плоскость , всегда полезно понимать суть происходящих событий:. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Теперь возвращаемся к уравнению плоскости. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось. Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров. Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере. Как определить полупространство, которое оно задаёт? Построить плоскости а ; б. Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока. На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах. Для её построения удобно взять опорные точки. Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины: Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на Но в данном случае всё разделилось нацело: Таким образом, плоскость проходит через точки. После чего выполним чертёж: Следует отметить, что в математике под этими терминами скрывается не совсем то, что обычно подразумевает обыватель, и класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:. Построить поверхность, заданную уравнением. Не опечатка ли здесь? Вроде как дано каноническое уравнение эллипса …. Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Легко понять, что поверхность бесконечна: Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению. В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:. Полученные окружности направляющие цилиндра аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми образующими цилиндра: Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий. Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно. Рисуем ещё одну окружность направляющую цилиндра и аккуратно соединяем их прямыми образующими цилиндра. Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон: На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности. Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость. Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр — и есть его проекция на плоскость. А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение. Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция. Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока. Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:. Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола. Напоминаю полезный технический приём: Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю. В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми — важно правильно отобразить принципиальную картину. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа ;-. Направляющими таких цилиндров являются гиперболы. Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра: Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:. Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей: Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение. В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу: Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки. Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, выгодно уменьшить масштаб чертежа: Материал о сферах и шарах достаточно прост, и я предлагаю вам чисто символическое задание для самостоятельного решения:. Краткое решение и чертёж в конце урока. Но это опять же не совсем тот конический колпак, который всем знаком со времён далёкого детства. Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений , который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Данная точка называется вершиной конуса. Таким образом, коническая поверхность бесконечна: Множество таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность. И логично, что каждая из этих прямых называется образующей конуса. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное? Возведём обе части исходного уравнения в квадрат: Пояснение на всякий случай: Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости. Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса. В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями. Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку внутри или снаружи конуса и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству. Каноничный эллиптический параболоид в прямоугольной системе задаётся уравнением. Данная поверхность выглядит бесконечной чашей: А вертикальные сечения плоскостями, параллельными оси , представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной плоскостью: На практике обычно встречается упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями- окружностями. Перепишем каноническое уравнение в прикладном функциональном виде: Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического параболоида. Рассматриваемый частный случай параболоида с горизонтальными сечениями-окружностями также называют параболоидом вращения , поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси. С неравенствами ничего нового. По моим наблюдениям, на практике часто встречается эллиптический параболоид вида , который выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку. Вершина поверхности расположена в точке. Это понятно не только интуитивно, но и подкрепляется простым аналитическим рассуждением: Более подробную информацию об этих поверхностях можно почерпнуть в учебнике аналитической геометрии либо другом источнике информации. Если возникнет необходимость выполнить их построение — используйте метод сечений, он действительно прост и эффективен! Я бы с радостью всё рассказал, но, во-первых, это нецелесообразно с практической точки зрения, а во-вторых, размер статьи подходит к той опасной грани, после которой посетители сайта будут считать автора не только фанатом, но и начнут всерьёз опасаться за его здоровье. А если серьёзно, то этой статьи я опасался чуть ли не с первых дней создания сайта ввиду большого объема работы. Данное тело определяется системой. Используем начало координат, и, например, точку. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Данное тело определяется системой Пример 3: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.

Способы построения поверхностей

Скачать файл - Способы построения поверхностей

Развертка поверхности. Способы построения разверток

Лекция 7. Поверхности

Основные графические способы построения разверток поверхностей

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Report Page