Сопоставления численных методов решения нелинейных уравнений - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Сопоставления численных методов решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Сопоставления численных методов решения нелинейных уравнений
нелинейный уравнение касательная алгоритм
Целью дипломной работы является разработка программы решения нелинейных уравнений (НЛУ) различными методами. Программа включает и учитывает многие новые возможности в программировании и практике создания программ в среде программирования Паскаль и С++.
Процедура подготовки и решения задачи НЛУ на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
Математическая формулировка задачи.
Разработка алгоритма решения задачи.
Написание программы на языке программирования.
Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей дипломной работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
Проведем касательную к графику функции в точке b 1 (x 1 ; f (x 1 )). Найдем абсциссу x 2 точки с 2 пересечения касательной с осью Ox:
x 2 = x 1 - (f (x 1 ) / (f «(x 1 ))
x k +1 = x k - (f (x k ) / f «(x k )) (1.3)
Таким образом, формула (1.3) дает последовательные приближения (x k ) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b k (x k ; f (x k0 ) метод уточнения корня c [a; b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (1.3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x 0 = a или x 0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу] a; b [. В случае существования производных f', f», сохраняющих свои знаки в интервале, за х 0 берется тот конец отрезка [a; b], для которого выполняется условие f «(х 0 ) * f (х 0 ) > 0. Для оценки приближения используется общая формула:
|c-x k-1 | Ј | f (x k+1 )/m|, где m = min f «(x) на отрезке [a; b].
На практике проще пользоваться другим правилом:
Если на отрезке [a; b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и --e-----заданная точность решения, то неравенство | x k+1 -x k | Ј----e-- влечет выполнение неравенства |c-x k-1 |--Ј----e--.
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:
Определим корни уравнения х 3 + 0,1х 2 + 0,4х - 1,2 = 0 аналитически. Находим:
f (-1) = -2,5 < 0 f (0) = -1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [0; +1].
Приведем уравнение к виду x = j (x), так, чтобы | j `(x) | <1 при 0 Ј--x--Ј--+1.
Так как max | f «(x) | = f «(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.
Тогда j (x) = x - (f (x) / R) = x - 0,5 х 3 - 0,05 х 2 - 0,2 х + 0,6 = - 0,5 х 3 - 0,05 х 2 + 0,8 х + 0,6.
Пусть х 0 = 0, тогда х n +1 = j (х n ).
График функции y = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х - 1,2


От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f (xn+1)= 8.4649960270E-02
xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f (xn+1)=-4.6507647892E-02
xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f (xn+1)= 2.4288343840E-02
xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f (xn+1)=-1.3064617920E-02
xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f (xn+1)= 6.9234699658E-03
xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f (xn+1)=-3.6990702320E-03
xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f (xn+1)= 1.9678960780E-03
xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f (xn+1)=-1.0493249720E-03
xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f (xn+1)= 5.5884091853E-04
xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f (xn+1)=-2.9781681224E-04
xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f (xn+1)= 1.5865717614E-04
xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f (xn+1)=-8.4537703515E-05
xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f (xn+1)= 4.5040009354E-05
xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f (xn+1)=-2.3997676180E-05
xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f (xn+1)= 1.2785800209E-05
xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f (xn+1)=-6.8122881203E-06
xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f (xn+1)= 3.6295678001E-06
xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f (xn+1)=-1.9338276616E-06
xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f (xn+1)= 1.0303429008E-06
xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f (xn+1)=-5.4896190704E-07
xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f (xn+1)= 2.9248803912E-07
xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f (xn+1)=-1.5583464119E-07
xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f (xn+1)= 8.3031409304E-08
xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f (xn+1)=-4.4236003305E-08
xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f (xn+1)= 2.3572283681E-08
xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f (xn+1)=-1.2558302842E-08
xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f (xn+1)= 6.6920620156E-09
xn+1= 9.0987573394E-01 f (xn+1)= 6.6920620156E-09
Пусть дано уравнение , где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a, b].
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a, b] дугу кривой можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис. 1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .


Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:
Пусть x 1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то
x 1 может считаться приближенным значением корня.
Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:
В общем случае формулу метода хорд имеет вид:
Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. , то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка (рис. 3) и вычисляются по формуле:


Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1.4) используется в том случае, когда . Если справедливо неравенство , то целесообразно применять формулу (1.5).
Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением
Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:
где - заданная погрешность вычислений.
Пользуясь рекуррентной формулой (1.5) и формулой для оценки точности вычисления, составим процедуру уточнения корня методом хорд:
Procedure chord (a, b, eps, min: real; var x: real);
Здесь x:=x1 - ((b-x1)*fx(x1))/(fx(b) - fx(x1)) - рекуррентная формула,
abs (fx(x))/min < eps - формула для оценки точности вычислений.
Function proizv (x0, eps: real): real;
будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от - точке, в которой мы хотим найти производную.
Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.
По значениям f' можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):
Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:
Здесь dx:=1 - первоначальная величина промежутка,
dx:=dx/2 - для уточнений делим промежуток на 2,
dy:=fx (x0+dx/2 - fx (x0-dx/2) - вычисление первой производной в точке x0,
dy2:=fx (5*x0/4+dx) - 2*fx (5*x0/4)+fx (5*x0/4-dx) - вычисление второй производной, для определения точности вычисления, используется вторая производная в точке
abs (dy2/(2*dx))d Then - сравнение значений модуля производной.
Функция для указания точности вычисления:
Применяется в выводе корня x для уточнения его порядка относительно погрешности.
Здесь k:=k+1 - оператор, подсчитывающий степень погрешности и порядка корня x.
Здесь fx:=exp(x) - 10*x - наша заданная функция.












После работы программы для различных значений погрешностей, получим результаты корня x:
Результат вычислений в программе MathCAD дал следующее значение корня x:
Поведение функции вблизи точки пересеченья с осью ОХ выглядит так:
2. Сравнения методов решения нелинейных уравнений
При заданных вариантах допустимой ошибки e заданным численным методом вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (x) = 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].
В работе должно быть предусмотрено:
- построение графика функции f (x) на отрезке [a, b],
- проверка корректности введенных значений исходных данных (выполнение условия a < b, выполнение условия e > 0),
- перехват и обработка ошибки времени выполнения, когда строку введенных символов невозможно интерпретировать как число.
Варианты численного метода: 1) метод простых итераций, 2) метод Ньютона, 3) метод проб, 4) метод секущих, 5) метод хорд.
Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…
Метод ложного положения: , n=0,1,…;
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f(x) = 0 и f-функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале] a; b [существуют отличные от нуля производные f' и f».
Так как f «(x) ? 0, то запишем уравнение f(x) = 0 в виде:
Решая его методом итераций можем записать:
х n+1 = x n - (f (x n)/f «(x n)) (2.2)
Если на отрезке [a; b] f «(x) * f «(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f «(x) > 0. Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f(b)). Ее уравнение будет иметь вид:
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f «(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим:
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox:
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox:
х k+1=x k - (f (x k)/f «(x k)) (2.3)
Таким образом, формула (2.3) дает последовательные приближения (x k) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a; b] уравнения f(x) = 0 с помощью формулы (2.3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу] a; b [. В случае существования производных f', f», сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a; b], для которого выполняется условие f «(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула:
|c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m|, где m = minf' (x) на отрезке [a; b].
На практике проще пользоваться другим правилом:
Если на отрезке [a; b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e-----заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ?--e--влечет выполнение неравенства |c-x k-1| ?--e--.
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:|c-x k-1| ?--e--.
Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…
2.2 Алгоритм и блок схема метода секущих
Метод секущих, так же, как и метод проб, использует не одно, а два начальных приближения, которые мы обозначим соответственно x n1 и x n2 . Перед выполнением первой итерации воспользуемся правилом (6) для определения значений этих приближений.
При выполнении каждой очередной итерации для вычисления следующего приближения по методу хорд проведем прямую линию (секущую) MN через точки с координатами (x n1 , f(x n1 )) и (x n2 , f (x n2 )), а абсциссу точки пересечения секущей MN с осью х возьмем в качестве значения следующего приближения x s к корню (рис. 5).


Рис. 5. Графическая иллюстрация метода секущих
Принятое правило нахождения следующего приближения приводит к расчетной формуле:
Из трех приближений к корню оставим два последних (отбрасываем самое старое x n1 ). В методе секущих это делается по следующему правилу:
Выполнение итераций можно прекратить при выполнении условия
а полученное значение приближения x s взять в качестве искомого значения корня x w .
Расчетные формулы должны быть применены в алгоритме вычисления корня по методу секущих.
Обратим внимание на то, что формула имеет много общего с формулой Ньютона. Знаменатель в формуле есть не что иное, как среднее значение производной f`(x) на отрезке [x n1 , x n2 ].




2 .3 П ример 1 для сравнения методов решения НЛУ
Для заданного нелинейного уравнения вида f(x)=0 графическим или аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5 x - 3x - 5=0
1) 5 x -3x-5=0; y=5 x y=3x-5 5 x =3x+5
Первое решение находится в интервале (-2; - 1). Второе в интервале (1; 2)


f(-2)=5 -2 +6-5=1/25+1=26/25=1.04>0
x 1 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=-2 - (-1+2)*1.04/-1.8-1.04=-1/6338<0
f (-1.6338)=5 -1.6338 +3*1.6338-5=-0.0265<0
применим метод к промежутку (-2; - 1.6338)
x 2 =-2 - (-1.6429+2)*1.04/(-0.0002-1.04)=-1.64297
f (-1.64297)=5 -1.6338 +3*1.64297-5=-0.00003
x 1 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1 - (2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765
f (1.1765)=5 1.1765 +3*1.1765-5=-1.8869<0
x 2 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.1765 - (2-1.1765)*(-1.8869)/-14+-1.8869=1.2743
x 3 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.2743 - (2-1.2743)*(-1.04795)/-14+-1.04795=1.3248
x 4 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3248 - (2-1.3248)*(-0.5411)/-14+=-0.5411=1.3499
x 5 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3499 - (2-1.3499)*(-0.2688)/-14+-0.2688=1.3621
x 6 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3621 - (2-1.3621)*(-0.1313)/-14+-0.1313=1.3680
x 7 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3680 - (2-1.3680)*(-0.0635)/-14+-0.0635=1.3709
x 8 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3709 - (2-1.3709)*(-0.0299)/-14+-0.0299=1.3722
x 9 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3722 - (2-1.3722)*(-0.0148)/-14+-0.0148=1. 3729
x 10 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3729 - (2-1.3729)*(-0.0067)/-14+-0.0067=1.3732
x 11 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3732 - (2-1.3732)*(-0.0032)/-14+-0.0032=1.3733
x 12 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3733 - (2-1.3733)*(-0.00199)/-14+-0.00199=1.3734
x 13 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3734 - (2-1.3734)*(-0.0008)/-14+-0.0008=1.37344
x 14 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.37344 - (2-1.37344)*(-0.0004)/-14+-0.0004=1.3735
x 15 =a - (b-a) f(a)/f(b) - f(a)=1.3735 - (2-1.3735)*(-0.0003)/-14+-0.0003=1.37347
2.4 Пример 2 для сравнения методов решения НЛУ
При интервале изменения коэффициента x
При а=0 функция f(x)=0 имеет значения корня x=0.77
Находим более точное значение корня
Строим график функции при интервале изменения коэффициента x
График имеет вид при а=1 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=0,21
Находим более точное значение корня
Строим график функции при интервале изменения коэффициента x
График имеет вид при а=2 функция f(x)=0 имеет приближенное значения корня x=-0,25
Находим более точное значение корня
Нахождение более точного значения корня при помощи root
Разложение функции d(x)=exp(x) в степенной ряд
Для решения были предложены следующие уравнения:
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция ((x) = x 3  - 4x - 2 и (x) = 4x - cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (-; ).
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение (х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:
Таким образом, корни находятся в интервалах
Удалось разработать программу решения нелинейных и трансцендентных уравнений методами касательных, секущих - хорд. Программа включает и учитывает многие новые возможности в программировании и практике создания программ в среде программирования С++ и ТурбоПаскаль.
В процессе создания программы и последующего тестирования было устранено большинство ошибок при трансляции, запуске и использовании программного продукта, поэтому данная программа, реализующая алгоритм решения системы линейных уравнений методами касательных и секущих - хорд, вполне может быть применена в более крупных проектах по реализации нескольких математических методов решения тех или иных задач. Интерфейс программы удобен и элементарно прост в обращении даже для тех, кто в первый раз имеет дело с подобным типом программ.
Алексеев В.Е., Ваулин А.С., Петрова Г.Б. - Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию: Практ.пособие/ - М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.
Абрамов С.А., Зима Е.В. - Начала программирования на языке Паскаль. - М.: Наука, 1987. -112 с.
Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ Петров А.В., Алексеев В.Е., Ваулин А.С. и др. - М.: Высш. шк., 1990 - 479 с.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. - Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.
Марченко А.И., Марченко Л.А. - Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 - К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. - 496 с.
Математическое обеспечение САПР: Методические указания к практическим занятиям. Рязань, РРТИ, 1990 (№1706).
Математическое обеспечение САПР: Методические указания к лабораторным работам. Рязань, РРТИ, 1991 (№1890).
Бахвалов Н.С., Шадков И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987.
Волков Е.А., Численные методы. М.: Наука, 1988.
Элементы вычислительной математики, под ред. Норкина С.Б.М.: Высшая школа, 1966.
Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.: Наука, 1988.
Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1974.
Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.
Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
Тихонов А.Н. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.
Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.
Программа вычисления корня методом касательных
Задание: Разработать программу, которая выполняет уточнение корня нелинейного уравнения отделенного на заданном интервале [a, b], заданным методом.
Решить нелинейное уравнение с использованием разработанной программы и средств системы MathCAD. Сравнить полученные результаты.
Определить количество необходимых итераций для следующих значений погрешностей результата: Eps=;;;;.
min - модуль значения производной функции в начале отрезка,
d - модуль значения производной функции в конце отрезка,
x0 - точка, в которой мы ищем производную.
****************************************************************
{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}
{Для определения точности вычисления берем значение 2-й производной в точке x*=}
Function proizv (x0, eps: real): real;
dy2:=fx (5*x0/4+dx) - 2*fx (5*x0/4);
{Уточнение количества знаков после запятой}
Function utoch (eps:real): integer;
{Процедура определения наименьшего значения производной на
Procedure minimum (a, b, eps: real; var min: real);
{Процедура уточнения корня методом хорд}
Procedure chord (a, b, eps, min: real; var x:real);
x:=x1 - ((b-x1)*fx(x1))/(fx(b) - fx(x1));
Writeln ('Введите начало отрезка a, конец отрезка b');
Writeln ('Введите погрешность измерений eps');
Writeln ('Корень уравнения x= ', x:3:utoch(eps));
****************************************************************
Программа вычисления корня методом секущих
xn = a-f_a*(b-a)/(f_b-f_a); double f_xn = f(xn);
cout.setf (ios:fixed|ios:showpoint);
double x = findRootChord (-10,1. 0000001,10000, f);
Программа вычисления корня. Сравнения
w_f=(struct files * ) m allo c (sizeof( struct files));
w_msp=(struct msp * ) m allo c (sizeof( struct msp));
w_fll=(struct fll * ) m allo c (sizeof( struct fll));
i f (l_ msp==NULL ) {l _msp=w_msp;}
i f (l_ fll==NULL ) {l _fll=w_fll;}
w_fll=(struct fll * ) m allo c (sizeof( struct fll));
i f (l_ msp==NULL ) {w _msp->z=p ; l _msp=w_msp;}
whil e (w_ f!=r_f ) {w _f=w_f->radr ; i ++;}
fo r (w_ f=l_f ; i >=1 ; i-) {w _f=w_f->radr;}
w_u=(struct u * ) m allo c (sizeof( struct u));
u1= - (i *i-u*u)/((i*2)*((i*2)+1));
w_u=(struct u * ) m allo c (sizeof( struct u));
w_v=(struct v * ) m allo c (sizeof( struct v));
v1= - (i *i-v*v)/((i*2)*((i*2)+1));
w_v=(struct v * ) m allo c (sizeof( struct v));
whil e (w_ f!=r_f ) {w _f=w_f->radr ; i ++;}
fo r (w_ f=l_f ; i >=1 ; i-) {w _f=w_f->radr;}
whil e (w_ f!=r_f ) {w _f=w_f->radr ; i ++;}
fo r (; i> =1 ; i-) {w _fll=w_fll->radr2;}
fo r (i= ((i/2)  - 1 ) ; i >=1 ; i-) {w _fll=w_fll->radr2;}
fo r (i= ((i/2)) ; i >=1 ; i-) {w _fll=w_fll->radr2;}
whil e (w_ f!=r_f ) {w _f=w_f->radr ; i ++;}
fo r (; i> =1 ; i-) {w _fll=w_fll->radr2;}
fo r (i= ((i/2)+1) ; i >=1 ; i-) {w _fll=w_fll->radr2;}
fo r (i= ((i/2)) ; i >=1 ; i-, j ++ ) {w _fll=w_fll->radr2;}
l_msp=NULL ; l _fll=NULL ; l _f=NULL;
Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений. контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010
Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ. методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009
Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа. курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010
Анализ методов решения систем нелинейных уравнений. Простая итерация, преобразование Эйткена, метод Ньютона и его модификации, квазиньютоновские и другие итерационные методы решения. Реализация итерационных методов с помощью математического пакета Maple. курсовая работа [820,5 K], добавлен 22.08.2010
Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач. курсовая работа [3,1 M], добавлен 26.02.2011
Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal. реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014
Смысл метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Доказательства его модификаций: секущих, хорд, ложного положения, Стеффенсена, уточненного для случая кратного корня, для системы двух уравнений. Оценка качества метода по числу необходимых итераций. реферат [99,0 K], добавлен 07.04.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Сопоставления численных методов решения нелинейных уравнений дипломная работа. Математика.
Контрольная Работа На Тему История Развития И Становления Политической Мысли
Реферат: Рациональное природопользование
Эссе Психология В Профессии Юриста
Радиоактивный нуклид
Курсовая Работа На Тему Создание И Развитие Системы Правоохранительных Органов Советского Государства 1917-1929 Гг.
Реферат: Пристрої відображення інформації
Сочинение Безграмотность Современной Молодежи
Сочинение По Внутренней Политике Александра 1
Курсовая работа по теме Первая русская революция и изменения в системе карательных органов российского государства
Смутное Время Диссертация
Дипломная работа по теме Изучение межличностных отношений с использованием методологии транзактного анализа (на примере отношений в браке)
Дипломная работа: Нормативно-правові акти
Курсовая работа по теме Оценка навыков и принципов формирования команды на примере ЗАО 'Ассорти'
Письменная Речь Сочинение
Реферат: Теоретические основы и концепция осуществления факторинговых опера
Контрольная Работа По Алгебре 4 Класс
Реферат: Усач-плотник
Реферат: Thomas Jefferson English Honours 12
Практическая Работа 5 4 Задание
Сочинение 3 Кл Поленов Золотая Осень
Особенности налогообложения в нефтегазодобывающем секторе - Геология, гидрология и геодезия реферат
Международный маркетинг - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Геноцид в Камбодже - История и исторические личности презентация