Решение. Кругосветка (#138)

Ответ: 3

Решение

Покажем, как можно справиться тремя самолётами, а потом покажем, что меньшим количеством не обойтись.

Пронумеруем самолёты: #1 (который полетит кругосветку), #2 и #3 (вспомогательные). Время для удобства будем измерять в потраченном топливе (сжигание происходит равномерно).

0) Запустим 3 самолёта в одном направлении. 

1) После того, как будет потрачена 1/3 топлива на каждом самолёте (то есть каждый пролетел 1/6 большого круга), передадим 1/3 бака с #3 на #2 и отправим #3 на базу. После такой дозаправки (моментальной) у самолётов будут следующие балансы горючего:

#1: 2/3
#2: 1
#3: 1/3

Отметим, что третьему самолёту оставшегося топлива хватит в точности, чтобы долететь до базы (туда и обратно – по 1/3 бака)

2) Посмотрим на ситуацию при прохождении четверти маршрута первым самолётом. С предыдущего шага было потреблено ещё 1/6 бака каждого самолёта, то есть балансы следующие:

#1: 1/2
#2: 5/6
#3: 1/6

Дозаправим первый самолёт от второго до полного бака и развернём второй самолёт на базу:

#1: 1
#2: 1/3
#3: 1/6

3) Заметим, что через 1/6 бака потраченного топлива от предыдущего шага самолёт #3 прилетит на базу. В этот момент мы его заправляем и отправляем навстречу самолёту #2:

#1: 5/6
#2: 1/6
#3: 1

4) Ещё через 1/6 бака самолёты #2 и #3 встречаются. В момент встречи самолёт #2 летит на парах (то есть бак только что опустел), однако мы его моментально дозаправляем необходимым количеством горючего (его хватит на всех, так как самолёт #2 отлетел недалеко от базы):

#1: 4/6
#2: 1/6
#3: 4/6

5) Через 1/6 бака от предыдущего шага самолёты #2 и #3 вернутся на базу, а самолёт #1 пройдёт ровно половину кругосветного расстояния.

#1: 1/2
#2: 1
#3: 1

Теперь осталось лишь воспользоваться симметрией. Отправляем оба вспомогательных самолёта навстречу главному и ровно такой же последовательностью действий передаём ему 1/2 бака на расстоянии 1/2 бака от базы.

Если представить, что у нас всего лишь 2 самолёта, то самое большее, что мы сможем сделать – это передать главному самолёту 1/3 бака на расстоянии 1/3 бака от берега (см. пункт 1). Но этого хватит лишь, чтобы покрыть 1/6 + 1/2 = 2/3 пути. Встретить самолёт одним самолётом также не получится.

Отдельно отметим, что так как все 3 самолёта находились в небе непрерывно, то всего было потрачено полных 3 х 2 = 6 баков топлива.

Условие
Telegram