Решение. Придворный астролог (#122)
MathreshkaОтвет: Хорошего времени больше
Решение
Очевидно, достаточно рассмотреть период в 12 часов.
1) Введём систему отсчёта, связанную с часовой стрелкой. В этой системе часовая стрелка неподвижна, и пусть для определённости смотрит вертикально вверх.
2) Разобьём период на интервалы, определяемые пересечением часовой и секундной стрелок. Таких интервалов в периоде, понятно, целое число (а именно 12x60 - 1).
3) Наблюдение. Посмотрим на произвольное расположение минутной стрелки (часовая всегда вертикальна в нашей системе отсчёта). В какой зоне циферблата должна находится секундная стрелка, чтобы время было плохим? Продолжим стрелки за центр циферблата. Теперь понятно, что если секундная стрелка находится между линиями-продолжениями стрелок (см. заштрихованную область на рис. 1), то время будет плохим. В противном случае секундная стрелка будет в одной из двух полуплоскостей вместе с другими стрелками.
Интуитивно понятно, что плохого времени должно быть меньше, но нужно эту гипотезу строго обосновать, так как заштрихованная область меняется с течением времени.
4) Посмотрим на произвольный интервал и рассмотрим три случая.
i) На конец интервала минутная стрелка находится строго в правой половине циферблата (напомним, что часовая стрелка неподвижна в выбранной системе отсчёта), то есть не находится на продолжении часовой (рис. 1). С течением времени плохая зона будет увеличиваться, следовательно, секундная стрелка будет находится в плохой зоне не более времени, которую эта зона занимала на конец интервала. Так как по предположению на конец интервала плохая зона занимает менее половины циферблата, то значит для данного случая хорошего времени будет строго больше.
ii) На начало интервала минутная стрелка – строго в левой половине циферблата. Случай аналогичен предыдущему с той лишь разницей, что плохая зона будет сокращаться с течением времени, и поэтому для оценки надо брать размер зоны на начало интервала (см. рис. 2).
iii) За интервал минутная стрелка пересекает продолжение часовой (сюда также отнесём случаи, когда минутная стрелка находится ровно на продолжении часовой на начало или конец интервала). В момент пересечения плохая зона переходит из левой части циферблата (рис. 1) в правую (рис. 2). Легко понять, что секундная стрелка за интервал может побывать лишь в одной из плохих зон. Размер каждой зоны – не более половины циферблата. Следовательно, для данного случая хорошего времени не менее плохого.
5) С учётом того, что случаи i) и ii) очевидно состоят из непустого множества интервалов, то доказано, что хорошего времени строго больше, чем плохого.
С Новым годом 2022! 🌟