Сочинение: Три задачи по теории чисел
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Пусть р 1
, р 2
и р 3
являются ненулевыми рациональными числами, причем р 1
+ р 2
= р 3.
Тогда произведение р 1
* р 2
* р 3
не является точным кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть р 1
* р 2
* р 3
≠ R 3
, где R – некоторое рациональное число (R ≠ 0).
Очевидно, что а (а≠0) и b - рациональные числа, так как рациональными являются числа р 1
и р 2
.
(Если а=0, т.е. р 1
= - р 2
,
то
р 1
+ р 2
= р 3
= 0, что противоречит нашему утверждению (р 3
0).
Если b=0, т.е. р 1
= р 2
,
то
р 3
= 2 р 1
р 1
* р 2
* р 3
= р 1
* р 1
* 2р 1
=2р , т.е. р 1
* р 2
* р 3
= 2р ≠ R 3
и противоречие с нашим утверждением отсутствует.)
Теперь нетрудно выразить старые переменные через новые:
Таким образом, замена р 1
и р 2
на a и b является обратимой (число Р 3
в обоих случаях является зависимой переменной).
Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число является точным кубом (R 3
) некоторого рационального числа R (R ≠ 0) .
Обозначим (2), где r 0, т.к. при r = 0 либо р 1
=0, либо р 2
=0, либо р 3
=0 .
Числа r и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:
При q=0 , где r 0
0 - рациональное число (т.к. r 0).
Из (2) следует , откуда R не является рациональным числом, что противоречит условию. Следовательно, q 0.
Отсюда число является кубом некоторого ненулевого рационального числа , обозначим это число через (3), где С 0 (С > 0).
Так как r, q – рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.
Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3 й
степени, которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р 1
, р 2
, р 3,
R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.
r = q (что ожидаемо), но и r = 0 r = q = 0 R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.
Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.
Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо , где R – рациональное число (R ≠ 0); либо , где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем для всех x, y, z,….
Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:
где R - рациональное число (R ≠ 0);
где R(x,y,z,…) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.
Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.
1. - куб рациональной функции R(x) = 3x 2
, которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение неразрешимо в рациональных числах.
2. - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.
3. - куб рационального числа 3, отсюда неразрешимо в рациональных числах
4. - куб рациональной функции R(x,y) = не разрешимо в рациональных числах
5. - куб рациональной функции R(x) = х 37
=> уравнение не разрешимо в рациональных числах.
Следовательно, система уравнений неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R – рациональное число (R≠0).
Пусть р 1
, р 2
, р 3
и р 4
являются рациональными ненулевыми числами, причем (1). Тогда произведение не может равным ни , то есть не может выполняться соотношение
где = 1;2;3;4 и если - рациональное число.
Положим . Очевидно, x, y и z – это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р 1
, р 2
, р 3
. Так как р 1
, р 2
, р 3
в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. = 1;2;3. Пусть для определенности (3), тогда р 4
на основании (1) принимает вид:
Таким образом, замена р 1
, р 2
, р 3
на x, y и z является обратимой (число р 4
в обоих случаях является зависимой переменной).
Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число
где x, y и z – ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно
Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):
Обозначим . Тогда (6) примет вид: . Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
1). Легко понять, что суммой P 4
в (1) может быть являться любое из слагаемых (например: ), а произведение новых членов остается прежним, то есть
где i может принимать и значение 4, тогда в произведении
2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р 1
, р 2
, р 3,
R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.
Случаи, когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.
= x = 0 x = 0 х=0, что противоречит нашему утверждению.
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни , то есть не может выполняться соотношение .
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем для всех x, y, z, …. Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни
то есть не может выполняться соотношение
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.
Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.
где x 2
– второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение не разрешимо в рациональных числах.
где x – второе слагаемое, которое при рациональном x – рациональное число. не разрешимо в рациональных числах.
где y – третье слагаемое, которое при рациональном y – рациональное число не разрешимо в рациональных числах.
неразрешима в рациональных числах, где - переменные (не равные 0).
где с = const, имеет следующее решение:
a = α 2
+ cβ 2
b = α 3
- 3cαβ 2
d = 3α 2
β - cβ 3
(2) (x 2
+cy 2
)(u 2
+cυ 2
)≡(xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
где с = const (некоторое число); x,y,u,υ - переменные (произвольные числа).
Если один из 2 x
сомножителей в скобках левой части тождества (2) является квадратом другого (например: (x 2
+cy 2
) 2
=u 2
+cυ 2
), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,υ, а только через две (α и β), где α и β-другие переменные.
Действительно, если (x 2
+cy 2
) 2
=u 2
+cυ 2
(3), общий вид которого
(4) a 1
2
=u 2
+cυ 2
(случай, когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):
(7) υ=2αβ, где α и β-произвольные числа ((эти решения специалистам известны).
(Действительно, если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (α 2
+cβ 2
) 2
≡ (α 2
-cβ 2
) 2
+c(2αβ) 2
(8). Следовательно, имеем следующее:
Уравнение (9) обращается в тождество при x=α (10) и y=β (11), значит
(10) и (11) являются решениями (9).
Учитывая (3), тождество (2) запишется в виде уравнения:
(x 2
+cy 2
)(x 2
+cy 2
) 2
=(xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
=>
=> (12) (x 2
+cy 2
) 3
=(xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
Учитывая (6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:
(α 2
+сβ 2
) 3
=[α·(α 2
-cβ 2
)-cβ·2αβ] 2
+c[α·2αβ+β(α 2
-cβ 2
)] 2
=
=[α 3
-cαβ 2
-2cαβ 2
] 2
+c[2α 2
β+βα 2
-cβ 3
] 2
=(α 3
-3cαβ 2
) 2
+c(3α 2
β-cβ 3
) 2
=>
=> (13) (α 2
+cβ 2
) 3
≡(α 3
-3cαβ 2
) 2
+c(3α 2
β-cβ 3
) 2
Т.к. (13) - тождество, то решением уравнения (1) a 3
= b 2
+ cd 2
(случай, когда(n=3)), являются:
d = 3α 2
β - cβ 3
, где α и β - произвольные числа, ч.т.д..
Уравнение a n
=b 2
+cd 2
(1), где c = const, имеет следующее решение:
b=α n
-κ 3
cα n
-2
β 2
+κ 5
c 2
α n
-4
β 4
-κ 7
c 3
α n
-6
β 6
+…
d=nα n
-1
β-κ 4
cα n
-3
β 3
+κ 6
c 2
α n
-5
β 5
-κ 8
c 3
α n
-7
β 7
+…,
где κ i
- биноминальные коэффициенты степени n, где i = 3;4;5;6;7;8;…;
κ 1
=1 - первые два биноминальных коэффициента в
κ 2
= п биноме Ньютона при α n
и α n
-1
β;
(методом анализа частных случаев, когда n = 2;3;4;5;6;7)
Нам уже известны решения уравнения (1) a n
=b 2
+cd 2
для степени n=2 и n=3 (смотри доказательствоУтверждение1).
b=α 2
-cβ 2
(2') - при этих значениях a, b и c уравнение (2) превращается в d=2αβ тождество (α 2
+cβ 2
) 2
≡ (α 2
-cβ 2
) 2
+c(2αβ) 2
(2'').
b=α 3
-3cαβ 2
(3') - при этих значениях a,b и c уравнение (3) превращается в d=3α 2
β-cβ 3
тождество (α 2
+сβ 2
) 3
≡ (α 3
-3сαβ 2
) 2
+с(3α 2
β-сβ 3
) 2
(3'').
Пример: при α = β = 1 и c=2 имеем верное равенство:
(1+2·1) 3
= (1-3·2·1) 2
+ 2·(3-2·1) 2
3 3
≡ 5 2
+2·1 2
Напомню, что при нахождении решения уравнения (1) для степени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)
(x 2
+cy 2
)(u 2
+cυ 2
) ≡ (xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
,
и на решение уравнения (1) второй степени, т.е. степени на единицу меньшую. Аналогичным методом можно найти решение уравнения (1) для других натуральных степеней n.
Пусть в тождестве (2) (x 2
+cy 2
)(u 2
+cυ 2
) ≡ (xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
тогда имеем соотношение (x 2
+cy 2
) 3
= u 2
+cυ 2
(6), которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=3: a 3
= b 2
+ cd 2
(3) (см. случай n=3).
Учитывая формулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=α , y=β (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его и при нахождении решения уравнения (1) для n>3. Тогда, с учетом (5) тождество (2) принимает вид:
a 4
= (xu-cyυ) 2
+ c(xυ+yu) 2
=> a 4
= b 2
+ cd 2
(9)
Учитывая (8), (7'),…, (7'''), запишем a, b, d в системе (10) через α и β:
b =xu-cyυ=α(α 3
-3cαβ 2
)-cβ(3α 2
β-cβ 3
)=α 4
-3cα 2
β 2
-3cα 2
β 2
+c 2
β 4
= α 4
-6cα 2
β 2
+c 2
β 4
d = xυ+yu=α(3α 2
β-cβ 3
)+β(α 3
-3cαβ 2
)=3α 3
β-cαβ 3
+βα 3
-3cαβ 3
= 4α 3
β-4cαβ 3
Итак, уравнение (9) a 4
=b 2
+cd 2
имеет следующее решение:
b = α 4
-6cα 2
β 2
+c 2
β 4
(11) и соответствующее тождество: d = 4α 3
β - 4cαβ 3
(12) (α 2
+сβ 2
) 4
≡(α 4
-6сα 2
β 2
+с 2
β 4
) 2
+с(4α 3
β-4сαβ 3
) 2
при α = β = 1 и с = 2 => 3 4
= (1-12+4) 2
+2·(4-8) 2
=> 81 ≡ 49 + 32.
Пусть в тождестве (2) (x 2
+cy 2
)(u 2
+cυ 2
) ≡ (xu-cyυ) 2
+c(xυ+yu) 2
(x 2
+cy 2
) 4
= u 2
+cυ 2
которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=4: (9) a 4
=b 2
+cd 2
) (см. случай n=4), решение которого есть система (11). Отсюда:
С учетом (13) тождество (2) принимает вид:
a 5
= (xu-cyυ) 2
+ c(xυ+yu) 2
=> a 5
=b 2
+cd 2
(15)
Учитывая (8) (x=α , y=β) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменные α и β:
b = xu-cyυ =α(α 4
-6cα 2
β 2
+c 2
β 4
)-cβ·(4α 3
β-4cαβ 3
)=
=α 5
-6cα 3
β 2
+αc 2
β 4
-4cα 3
β 2
+4c 2
αβ 4
= α 5
-10cα 3
β 2
+5c 2
αβ 4
d = xυ+yu =α(4α 3
β-4cαβ 3
)+β(α 4
-6cα 2
β 2
+c 2
β 4
)=
=4α 4
β-4cα 2
β 3
+α 4
β-6cα 2
β 3
+c 2
β 5
= 5α 4
β-10cα 2
β 3
+c 2
β 5
Итак, уравнение (15) a 5
=b 2
+cd 2
имеет следующие решения:
(α 2
+cβ 2
) 5
=(α 5
-10cα 3
β 2
+5c 2
αβ 4
) 2
+c(5α 4
β-10cα 2
β 3
+c 2
β 5
) 2
(18)
=> 3 5
= (1-20+20) 2
+2·(5-20+4) 2
= 1 2
+2·11 2
=> 3 5
= 1 2
+2·11 2
= 243
Решение уравнения a 6
=b 2
+cd 2
(19) находятся аналогично. Доказательство опирается на известные решения уравнения предыдущей степени, т.е. n=5. Уравнение (19) имеет следующее решение:
b = α 6
- 15cα 4
β 2
+ 15c 2
α 2
β 4
- c 3
β 6
(20)
(α 2
+ cβ 2
) 6
= (α 6
- 15cα 4
β 2
+ 15c 2
α 2
β 4
- c 3
β 6
) 2
+ c(6α 5
β - 20cα 3
β 3
+ 6c 2
αβ 5
) 2
(21)
3 6
=(1- 30 + 60 - 8) 2
+ 2(6 – 40 + 24) 2
=
= 23 2
+ 2 × (-10) 2
=> 3 6
≡ 23 2
+ 2 × (-10) 2
≡ 725.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что уравнение
(22) a 7
= b 2
+ cd 2
имеет следующее решение:
b = α 7
- 21cα 5
β 2
+ 35c 2
α 3
β 4
- 7c 3
αβ 6
(23)
d = 7α 6
β - 35cα 4
β 3
+ 21c 2
α 2
β 5
– c 3
β
≡(α 7
- 21cα 5
β 2
+ 35c 2
α 3
β 4
-7c 3
α 6
β 7
) 2
+24+ c(7α 6
β - 35cα 4
β 3
+ 21c 2
α 2
β 5
– c 3
β 7
)
3 7
= (1- 4 2
+ 140 - 56) 2
+ 2(7 – 70 + 84 - 8) 2
=
= 43 2
+ 2×13 2
=> 3 7
≡ 43 2
+ 2×13 2
≡ 2187.
(Напомним, доказательство не строгое, опирается на частные случаи)
Выпишем все тождества, полученные для каждой степени
(α 2
+cβ 2
) 2
= (α 2
– cβ 2
) 2
+ c(2αβ) 2
(α 2
+cβ 2
) 3
= (α 3
- 3cαβ 2
) 2
+c(3α 2
β – cβ 3
) 2
(α 2
+cβ 2
) 4
= (α 4
- 6cα 2
β 2
+c 2
β 4
) 2
+c(4α 3
β – 4cαβ 3
) 2
(α 2
+cβ 2
) 5
= (α 5
- 10cα 3
β 2
+5c 2
αβ 4
) 2
+c(5α 4
β – 10cα 2
β 3
+c 2
β 5
) 2
(α 2
+cβ 2
) 6
= (α 6
- 15cα 4
β 2
+15c 2
α 2
β 4
-c 3
β 6
) 2
+c(6α 5
β – 20cα 3
β 3
+6c 2
αβ 5
) 2
(α 2
+cβ 2
) 7
= (α 7
- 21cα 5
β 2
+35c 2
α 3
β 4
-7c 3
αβ 6
) 2
+c(7α 6
β –
-35cα 4
β 3
+21c 2
α 2
β 5
-c 3
β 7
) 2
Анализируя эти тождества, приходим к общему тождеству общего уравнения
(α 2
+ cβ 2
) n
= (α n
– k 3
cα n
-2
β 2
+ k 5
c 2
α n
-4
β 4
– k 7
c 3
α n
-6
β 6
+…) 2
+
+ c(nα n
-1
β – k 4
cα n
-3
β 3
+ k 6
c 2
α n
-5
β 5
– k 8
c 3
α n
-7
β 7
) 2
(25)
где в правой части тождества 25 в обеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона
(α + β) n
, умноженных на ±c m
, где m = 0,1,2,3…,
k i
– биноминальные коэффициенты, где i= 3,4,5,…,
k 1
= 1 - первые два биноминальных коэффициента при α n
и α n-1
β.
Глядя на уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) a n
= b 2
+ cd 2
являются:
b = α n
– k 3
cα n
-2
β 2
+ k 5
c 2
α n
-4
β 4
– k 7
c 3
α n
-6
β 6
+…
d = nα n
-1
β – k 4
cα n
-3
β 3
+ k 6
c 2
α n
-5
β 5
– k 8
c 3
α n-7
β 7
+…, ч.т.д.
Утверждение. ( n>1-любое натуральное)
Уравнение a n
= b 2
+ cd 2
(1), где c = const, имеет следующее решение:
(2) b = α n
– k 3
cα n
-2
β 2
+ k 5
c 2
α n
-4
β 4
– k 7
c 3
α n
-6
β 6
+…
d = nα n
-1
β – k 4
cα n
-3
β 3
+ k 6
c 2
α n
-5
β 5
– k 8
c 3
α n
-7
β 7
+…,
k i
– биноминальные коэффициенты степени n,
k 2
= n коэффициента для степени n,
Итак, нами доказана справедливость найденного решения (2)
уравнения (1) для степеней n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.
Предположим, что решение (2) справедливо и для степени n–1.
Тогда, обозначив биноминальные коэффициенты для этой степени k i/n-1
, где i = 1; 2; 3…, (k 1/n-1
= 1, k 2/n-1
= n-1), можно записать тождество:
≡ (α n-1
– k 3/n-1
cα n-3
β 2
+ k 5/n-1
c 2
α n-5
β 4
– k 7/n-1
c 3
α n-7
β 6
+…) 2
+
+ c(k 2/n-1
α n-2
β – ck 4/n-1
α n-4
β 3
+ c 2
k 6/n-1
α n-6
β 5
– c 3
k 8/n-1
α n-8
β 7
+ …) 2
⇒
⇒ (α 2
+ cβ 2
) n-1
≡ (первая скобка) 2
+ c(вторая скобка) 2
(3')
При нахождении решений уравнения (1) для частных случаев (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) мы использовали соотношение:
(4) a n
= (xu - cyυ) 2
+ c(xυ + yu) 2
,
υ = (вторая скобка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 в соотношении (3) (или (3'))
Аналогично рассуждая, попробуем доказать справедливость теоремы для произвольной степени n, предположив, что она справедлива для степени n – 1
Это значит, что надо исследовать решение (5) уравнения (4) (или, что тоже, уравнения (1)) для произвольной степени n.
Итак, пусть для произвольной степени n
b = αu – cβυ = α(первая скобка) – cβ(вторая скобка) =
= α(α n-1
-k 3/n-1
cα n-3
β 2
+ k 5/n-1
c 2
α n-5
β 4
-k 7/n-1
c 3
α n-7
β 6
+...)
- cβ(k 2/n-1
α n-2
β – ck 4/n-1
α n-4
β 3
+ c 2
k 6/n-1
α n-6
β 5
–
= (α n
– ck 3/
n
-1
α n
-2
β 2
+ c 2
k 5/
n
-1
α n
-4
β 4
– c 3
k 7/
n
-1
α n
-6
β 6
+…) +
+ (-ck 2/
n
-1
α n
-2
β 2
+ c 2
k 4/
n
-1
α n
-4
β 4
– c 3
k 6/
n
-1
α n
-6
β 6
+
= α n
– c(k 2/
n
-1
+ k 3/
n
-1
)α n
-2
β 2
+ c 2
(k 4/
n
-1
+ k 5/
n
-1
) +
+ α n
-4
β 4
- c 3
(k 6/
n
-1
+ k 7/
n
-1
)α n
-6
β 6
+…=
= α n
- ck 3
α n
-2
β 2
+ c 2
k 5
α n
-4
β 4
-c 3
k 7
α n
-6
β 6
+….
b = α n
- ck 3
α n
-2
β 2
+ c 2
k 5
α n
-4
β 4
-c 3
k 7
α n
-6
β 6
+… (7)
где (8) k ί
= k ί-1/n-1
+ k ί/n-1
– биноминальные коэффициенты для степени n;
k ί-1/n-1
и k ί/n-1
– два биноминальных последовательных
Соотношение (8) - это одно из свойств биноминальных коэффициентов в «Треугольнике Паскаля»:
Каждый из биноминальных коэффициентов равен сумме двух биноминальных коэффициентов, стоящих над ним.
d = αυ + βu = α(вторая скобка) + β(первая скобка) =
= α(k 2/n-1
α n-2
β – ck 4/n-1
α n-4
β 3
+ c 2
k 6/n-1
α n-6
β 5
–
+ β(α n
-1
-ck 3/
n
-1
cα n
-3
β 2
+ k 5/
n
-1
c 2
α n
-5
β 4
-k 7/
n
-1
c 3
α n
-7
β 6
+...) =
= k 2/
n
-1
α n
-1
β – ck 4/
n
-1
α n
-3
β 3
+ c 2
k 6/
n
-1
α n
-5
β 5
–
– c 3
k 8/
n
-1
α n
-7
β 7
+…+ α n
-1
β – ck 3/
n
-1
α n
-3
β 3
+ c 2
k 5/
n
-1
α n
-5
β 5
–
= (1 + k 2/
n
-1
) α n
-1
β – c(k 3/
n
-1
+ k 4/
n
-1
) α n
-3
β 3
+ c 2
(k 5/
n
-1
+ k 6/
n
-1
) α n
-5
β 5
– c 3
(k 7/
n
-1
+ k 8/
n
-1
) α n
-7
β 7
+…=
= k 2
α n
-1
β – ck 4
α n
-3
β 3
+ c 2
k 6
α n
-5
β 5
– c 3
k 8
α n
-7
β 7
+….
d = k 2
α n
-1
β – ck 4
α n
-3
β 3
+ c 2
k 6
α n
-5
β 5
– c 3
k 8
α n
-7
β 7
+… (9),
где (8) k ί
= k ί-1/n-1
+ k ί/n-1
- – биноминальные коэффициенты для степени n; (вышеупомянутое свойство
k ί-1/n-1
и k ί/n-1
– два биноминальных последовательных коэффициента для степени n – 1.
Итак, учитывая (5), (6), (7), (9), уравнение (4) принимает вид:
b = α n
– c k 3
α n-2
β 2
+ c 2
k 5
α n-4
β 4
– c 3
k 7
α n-6
β 6
+…
d = nα n-1
β – c k 4
α n-3
β 3
+ c 2
k 6
α n-5
β 5
– c 3
k 8
α n-7
β 7
+…,
являются решениями уравнения (1) при c = const;
k i
– биноминальный коэффициент степени n;
k 1
= 1, k 2
= n, n > 1 - натуральная степень.
Скворцов Александр Петрович, учитель, ветеран педагогического труда;
г. Колпашево Томской области, август 2009.
Первая задача рецензирована в 1996 г. доктором физико математических наук.
Все три задачи чуть позже рецензированы томским специалистом математиком Тимошенко Е. (к сожалению, ни имени, ни отчества его я не знаю), которого для этой цели по моей просьбе нашел ректор ТПУ Похолков Юрий Петрович, за что я им всем очень и очень благодарен.
Отзыв специалистов о моей работе неплохой. Вот выдержка из «Рецензии на работу Скворцова А.П. «Несколько задач, теорем и утверждений по теории чисел»» Тимошенко Е.: «В данной работе особый интерес представляют доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р 1
+ р 2
= р 3 ,
где р 1
* р 2
* р 3
= R 3
, где R – рациональное число (Задача 1. Автор), и неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы , (Задача 2. Автор).
Автор указывает довольно широкое семейство решений уравнения a n
=b 2
+cd 2
(1), зависящее от двух параметров и (Задача 3. Автор). Так, для уравнения (2) a 3
= b 2
+ cd 2
приводится решение а = α 2
+ cβ 2
, b = α 3
- 3cαβ 2
, d = 3α 2
β - cβ 3
(3).
К сожалению, остается недоказанным, что это решение – общее, т.е. не ясно, любое ли решение уравнения (2) может быть представлено в виде (3). То же самое можно сказать и о решении уравнения (1). … ». К сожалению, этот вопрос для меня до сих пор остается открытым. Хотя, если мое мнение кого-то интересует, интуиция мне подсказывает, что найденное мною решение уравнения (1) - единственное. Однако я хорошо понимаю, что интуиция – это еще не факт.
Думаю, что специалистам данная Задача 3 и ее доказательство известны. Однако лично мне она на глаза не попадалась. В дальнейшем в одной из очередных работ результаты этой задачи мне очень пригодились.
Что касается первых двух задач, то они мне тоже нравятся, и, думаю, могут вызвать интерес не только у специалистов, но и у студентов и школьников на факультативных занятиях.
Название: Три задачи по теории чисел
Раздел: Рефераты по математике
Тип: сочинение
Добавлен 16:08:06 02 сентября 2010 Похожие работы
Просмотров: 54
Комментариев: 17
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Сочинение: Три задачи по теории чисел
Курсовая работа по теме Решение военно-логической задачи по распределению ударной группы авиационного подразделения
Реферат: Правящая элита современной России
Первый Признак Равенства Треугольников Контрольная Работа
Сочинение Чацкий И Молчалин Сравнительная Характеристика Героев
Учебное пособие: Учебно-методическое пособие отклоняющееся (девиантное) поведение, как причина преступности несовершеннолетних г. Алматы 2003 год
Контрольная работа: Сущность и механизмы реинжениринга
Курсовая работа: Использование компьютерных программ для повышения качества обученности студентов Челябинского государственного политехнического техникума по дисциплине "Гидравлические и пневматические системы"
Дипломная работа по теме Методы обучения и воспитания в специальном образовании
Сочинение На Английском Мои Домашние Обязанности
Контрольная работа по теме Становление и развитие рынка ценных бумаг
Правовые Отношения Реферат Скачать
Реферат: Корпоративный капитал и корпоративная собственность в трансформационной экономике
Дипломная работа: Психологическая подготовка боксеров-юношей
Реферат по теме Учет и анализ основных средств и инвестиций (на примере закрытого акционерного общества «Перелешинский сахарный завод», Воронежская область)
Умственное Развитие Ребенка Раннего Возраста Курсовая
Контрольная работа по теме Поява та розвиток філософії
Реферат: Учет и анализ состояния и эффективности использования основных средств в современных условиях
Реферат: Вера Вильковиская. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Поэзия некрасовской поры. Скачать бесплатно и без регистрации
Эссе 1917
Дипломная работа: Бизнеспланирование в сфере утилизации средств вычислительной техники
Реферат: Гідроекологічна оцінка річки Рось
Реферат: Замечания и возражения: кто виноват и что делать