Собственные значения и собственные векторы

🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Собственные значения матрицы
Собственные векторы матрицы
Определение.
Матрица называется симметричной, если ее собственные значения равны собственным векторам.
В противном случае она называется несимметричной.
Простейшим примером несимметричных матриц являются матрицы с ненулевым диагональным элементом.
Если матрица симметрична, то ее собственные значения (собственные вектора) совпадают с соответствующими собственными значениями (собственными векторами) обратной матрицы.
матрицы
С помощью матрицы можно выразить любой элемент вектора.
Для этого достаточно указать в качестве аргумента имя вектора, а в качестве параметра - его значение.
Например,
A:=Matrix([1,2];[2,3,4];[5,6,7]);
Матрица A, состоящая из трех столбцов, имеет три строки и четыре элемента.
Как уже говорилось, элементы матрицы могут принимать любые действительные значения.
Если в качестве аргументов функций и используются матрицы, то в результате их применения получаются матрицы.
Теорема о скалярном произведении собственных значений и собственных векторов.
Определение собственных функций и собственных значений матрицы.
Построение матрицы для системы линейных уравнений.
Нахождение матричного интеграла.
Рубрика
Математика
Вид
контрольная работа
Язык
русский
Дата добавления
17.10.2011
Размер файла
190,2 K
Соглашение об использовании материалов сайта
Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях.
В случае двумерного пространства, как мы это показали, есть два способа решения задачи.
Можно либо попытаться решить ее в координатном виде, т. е. для каждого элемента матрицы коэффициентов подобия, построить вектор, который будет иметь такое же векторное произведение с матрицей коэффициентов подобия как искомый вектор.
Это вектор называется собственным вектором.
Собственные значения матрицы коэффициентов подобий — это координаты собственных векторов.
Собственные значения (или собственные вектора) — это числа, которые при подстановке в уравнения или неравенства, описывающие рассматриваемую систему, дают тождественно истинное значение.
Например, если задана линейная система уравнений
то ее собственные значения можно определить как числа —1, —2, —3, —4, —5, которые при подстановки в эти уравнения дают тождественное истинное значение —1.
матрицы
В матрице А в базисе (х, у) собственные значения элементов матрицы равны:
. В матрице В в базисе х,у собственные значения равны:
, где – собственные значения.
Собственные векторы, имеющие одинаковые собственные значения, называются ортогональными.
При этом собственные вектора матрицы В, соответствующие собственным значениям , называются диагональными, а собственные вектора, которые не совпадают с собственными векторами матрицы А, – побочными.
Допустим, у нас есть матрица А (nxn), которая задана некоторой функцией f(x) и имеет собственные значения и собственные функции.
В случае, когда f(x)=x2 мы имеем:
А=S*S^T
S-матрица собственных значений A
S^T - транспонированная матрица S
Для матрицы А с собственными значениями, которые мы можем вычислить, используя вектор-столбец S, мы получим:
A=S+S^t
матрицы
Введем теперь понятие собственных значений и собственных векторов матрицы.
Для этого воспользуемся теоремой, полученной в предыдущем параграфе:
Пусть матрица А имеет собственные значения, т.е. для любой ее строки существует такая строка матрицы В, что
. Тогда можно записать:
, или:
. Выберем в качестве вектора с номером 1 вектор .
Тогда собственный вектор (см. уравнение) имеет вид
. Уравнение для собственных значений имеет вид:

линейного оператора
В этом примере линейным оператором будем считать функцию:
, где – произвольные действительные числа.
Функция называется собственным вектором, если при этом функция обращается в нуль.
Собственный вектор называется собственным значением оператора.
Пусть – собственный вектор оператора .
Определим значение функции в точке .
Если функция обращается в ноль в некоторой точке , то это значит, что в этой точке совпадает с собственным вектором оператора .
Таким образом, .

Собственные значения (собственные векторы) - это матрицы, равные единице, которые удовлетворяют уравнению х = ех.
Если х - вектор, то х = Ех; если х - матрица, то x = Eix.
Для того чтобы найти собственные значения, нужно решить уравнение х = eх.
Получим систему уравнений:
Еа + 1 еа + 2 еа + ...
+ n-1 ен = 0
n-1
где А - n-xj-матрица, состоящая из коэффициентов при свободных членах в уравнении.
Решение этой системы есть собственные значения:
а = {х, где х - решение уравнения х = Еа}
Темы Дипломных Работ По Экономической Географии
Современные методы стрижки волос
Заполняем Дневник Практики Электромонтера