Собственные колебания пластин - Физика и энергетика дипломная работа

Главная

Физика и энергетика
Собственные колебания пластин

Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
студентка V курса математического факультета
Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева
Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л .В . О н чукова
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений 4
1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия 4
1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье 6
1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 8
Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны 12
2.3 Собственные колебания круглой мембраны 19
1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия
При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для одн означного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.
В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.
Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x . Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.
Если концы струны закреплены, то должны выполняться граничные условия
Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:
Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и н а чальных условий , где и - заданные функции точки.
Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (1.1.1) принимают другой вид:
где и - заданные функции времени t .
Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.
на свободном конце x = l натяжение пружины
равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид
Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l задана сила , то
Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l
при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.
Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид
Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид
Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x =0 :
§ граничные условия 1-го рода - заданный режим,
§ граничное условие 2-го рода - заданная сила,
§ граничное условие 3-го рода - упругое закрепление.
Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].
1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье
Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.
Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 уравнению
в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида (где непрерывны в , непрерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем
Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе
Таким образом, должны выполняться тождественно
причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) - собственн ы ми фун к циями краевой задачи.
1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу;
2) решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения;
3) для каждого собственного значения находим решение уравнения (1.2.3);
4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ;
5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].
1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоя н ными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.
В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
где - действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
Обозначим через - это есть характеристический мн о гочлен , соответствующий оператору L . Тогда (1.3.3) запишется в виде .
Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ] , если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .
Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно
Уравнение (1.3.4) - есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением . Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) - уравнение 2 -ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет
Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет
Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид
Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде
Глава II Нахождение функции, описывающе й собственные колебания мембраны
В этой главе использованы следующие обозначения
· - частная производная функции по ;
· - производная функция одной переменной.
М ембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки ( x , y ) и от времени t . Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных
В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны
В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t :
Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид
Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:
Система функций называется ортогональн ой на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: (). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1].
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны
Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается ура внением
Пусть в плоскости ( x , y ) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b 1 и b 2 , закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.
Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях
Краткое решение задачи (2.2.1) - (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.
где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой
Найдем решение задачи при других граничных условиях.
Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях
Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем
Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных ( x , y ) , а левая - только t . Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :
а для функции следующую краевую задачу:
Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду
Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y , а левая - только x . Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:
где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .
Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.
1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид
т. к. характеристическое уравнение имеет корни .
Учитывая граничные условия, получаем:
т.к. - действительно и положительно, то .
2) При нетривиальных решений тоже не существует.
3) При общее решение уравнения имеет вид
Учитывая граничные условия, получаем:
, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно
Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид
Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.
Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):
Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции
где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице
Вычислим отдельно интегралы в равенстве:
Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения
Собственным значениям соответствуют решения уравнения :
Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) - (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид
Тогда общее решение запишется в виде
где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны:
В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.
2.3 Собственные колебания круглой мембраны
Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных грани чных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.
Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
Применим метод разделения переменных. Пусть
Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1), получаем:
Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда
Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции
решением, которого будет функция (см. 2.2)
и следующую задачу на собственные значения для функции :
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .
Так как левая часть соотношения () функция только переменной r , а правая () - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:
1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :
Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2):
2) уравнение для определения функции
Из граничных условий для функции получаем граничные условия для функции :
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n -го порядка.
Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).
Из условия следует, что , т. к. при .
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений
которым соответствуют собственные функции
краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).
Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r :
причем , а не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и .
Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя
получаем выражение для квадрата нормы:
1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .
2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12).
3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:
Всякая непрерывная в интервале функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
причем коэффициенты разложения определяются формулой
Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции . Составим их линейную комбинацию
Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .
Аналогичные условия имеют место для функции .
Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде
Воспользуемся теоремой о разложимости:
всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.
Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам
Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде
Коэффициенты определяются из начальных условий
Аналогичные формулы имеют место для и, соответственно, для .
Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях
приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.
Коэффициенты определяются из начальных условий
Аналогично для и, соответственно, для .
Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.
Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя
При решении многих задач математической физики приходят к обыкн овенному дифференциальному уравнению
называемому уравнением цилиндрических функций n -го порядка . Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя n -го порядка .
где - произвольное действительное или комплексное число, действительную часть которого можно считать неотрицательной.
Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода - го порядка или функция Неймана, - произвольные постоянные.
Функция любого положительного и целого отрицательного порядков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при .
Для действительного порядка функции Бесселя и Неймана от действительного аргумента будут действительными функциями , ; , при (рис. 1 и рис. 2).Функции и наиболее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [5, 7, 10].
Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона. курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011
Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики. курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014
Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов. презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013
Изучение понятия математической физики. Действительная и комплексная формы интеграла Фурье. Оригинал, изображение и операция над ними. Основные свойства преобразования Лапласа. Применение интегральных преобразований при интегрировании уравнений матфизики. курсовая работа [281,3 K], добавлен 05.04.2014
Свободные колебания в линейных системах в присутствии детерминированной внешней силы. Нелинейные колебания, основные понятия: синхронизация, слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Незатухающие, релаксационные и комбинированные колебания. курсовая работа [4,1 M], добавлен 27.08.2012
Малые колебания, тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия. Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы. Затухающие и вынужденные колебания при наличии трения. Примеры колебательных процессов. курсовая работа [814,3 K], добавлен 25.06.2009
Основные формы уравнений Максвелла, дифференциальная форма уравнений. Свойства уравнений Максвелла. Общие представления о колебательных и волновых процессах. Гармонические колебания, их характеристики и использование. Теоремы векторного анализа. презентация [114,1 K], добавлен 24.09.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Собственные колебания пластин дипломная работа. Физика и энергетика.
Реферат: Англия 1485
Искусственные Нейронные Сети Реферат
Лабораторная Работа Биология Приспособленность Организмов
Реферат На Тему Нейроанатомия Мотивации
Контрольная работа по теме Принципы дошкольной педагогики
Курс Лекций На Тему Кримінологія
Реферат: Поточное производство
Контрольная работа по теме Условия и нормирование сельскохозяйственного труда
Дипломная работа по теме Gender and age peculiarities of the language and some linguistic difficulties of translation them in practice
Доклад по теме Смирнова Лидия Николаевна
Скачать Сочинения И Изложения Русский Язык
Реферат: Council Of Trent Counter Reformation Essay Research
Реферат: Аналіз інвестиційної привабливості Запорізького регіону
Қазақстандағы Әлемдік Құндылық Эссе
Контрольная Работа 1 По Русскому
Реферат по теме Западничество и славянофильство
Реферат На Тему Партизанское Движение На Дальнем Востоке В Период Гражданской Войны
Контрольная работа по теме Должностные лица местного самоуправления в системе муниципального управления
Контрольная работа по теме Типология и периодизация культуры
Алгебра 7 Класс Контрольные Работы Задачи
Возникновение бионики - Биология и естествознание доклад
Электронные системы отображения навигационных карт - Программирование, компьютеры и кибернетика книга
Теория управления - Менеджмент и трудовые отношения контрольная работа