Случайность. Интермедия. А сколько шансов?

Прежде, чем перейти к Байесу и его теореме, давайте немного отвлечёмся в сторону и узнаем, как математика считает количество разных случаев. Для этого есть два раздела — статистика и комбинаторика. Приёмы и методы статистики мы рассмотрим как-нибудь позже, а сейчас займёмся комбинаторикой.

Комбинаторика применяется в те моменты, когда нам точно известно, какие именно факторы участвуют в задаче. Кидаем ли мы кубики, сажаем обезьян за печатные машины или пытаемся решить тест из фильма "Идиократия", мы сталкиваемся с комбинаторикой. Если же мы определяем, как урезать зарплату Васе из прошлой статьи, то нам поможет только статистика.

Итак, мы определили, что для подсчёта шансов в какой-то задаче нужна комбинаторика. Допустим, задача состоит в том, чтобы вставить геометрические фигуры в отверстия, доставая их из мешка. Комбинаторика рассматривает три вида таких задач, из которых каждый может быть с повторениями или без повторений.

Тип первый и самый простой. Называется "Перестановки". В формулах обозначается буквой P с индексом, обозначающим количество объектов, участвующих в перестановках. Например, в нашем мешке лежат шарик, кубик и пирамидка. Первым мы можем достать один из трёх предметов, таким образом у нас три возможных случая. В каждом из этих случаев мы можем достать один из двух оставшихся, так что общее число вариантов увеличивается вдвое. Если фигур в мешке было четыре, то такой же логикой получаем 4*3*2*1. И вообще, для n фигур в мешке мы имеем Pn = n*...*3*2*1 = n!

! — это знак факториала, обозначает операцию произведения всех целых чисел от 1 до заданного. Факториал — основная операция в комбинаторике.

Перестановки с повторениями уже сложнее. Если у нас в мешке два шарика, кубик и пирамидка, то нам неважно, в каком порядке вытащены шарики. И общее количество случаев станет меньше. Вот только на сколько? Раскрасим наши шарики в чёрный и белый, чтобы как-то отличать. В этом случае мы имеем всё те же 4! варианта перестановок. Но если мы не можем отличить чёрный шарик от белого, то количество вариантов уменьшается во столько раз, сколько перестановок мы можем из этих шариков делать. Если шарика два, то 2!, если 3 то 3! и так далее. А если у нас два шарика и два кубика, то их перестановки считаются отдельно и влияют по очереди на окончательный вариант. При двух шариках и двух кубиках имеем 4!/(2!*2!) = 6.

Но обычно перестановки нам мало чем могут помочь. Чаще пригождаются сочетания и размещения. Итак, нам нужно всё так же пройти тест на идиота, но в мешке лежат шарик, бублик, кубик и пирамидка. Мы достаём то, что попадается под руку и пытаемся вставить в отверстия. Такая ситуация называется “Размещения из 4 по 3”. Чтобы посчитать их количество, смотрим. На первое место мы можем достать одну из 4. На второе одну из оставшихся трёх, на третье одну из оставшихся двух. И всё. Не хватает мест для того, чтобы получилась перестановка. Поэтому формула размещения из n по k выглядит так: n!/(n-k)! Если у нас только два отверстия на четыре предмета, то общее количество вариантов: (4*3*2*1)/(2*1) = 4*3 = 12

Размещения с повторениями ещё проще. Если у нас в мешке лежит несколько экземпляров каждой фигуры (или, к примеру, есть табло с лампочками, каждая из которых может гореть или не гореть), то используется очень простая формула. Размещений с повторениями из n по k может быть k^n Например, для двух лампочек n=2, k=2, вариантов свечения 4. А вот если лампочек три, то вариантов уже 8. При четырёх лампочках 16, а дальше количество вариантов начинает очень быстро расти.

Теперь перейдём к сочетаниям. В задаче про фигуры мы просто достаём какие-то из мешка и передаём другому тестируемому, а о порядке фигур уже думает он. То же самое, если при бросании монетки мы учитываем лишь общее количество орлов и решек, без учёта порядка их выпадения. В этом случае формула немного усложняется, потому что мы не можем использовать такое замечательное понятие, как место. И приходится выкручиваться. Но, зная предыдущие формулы, мы можем просто пораскинуть мозгами и понять, что для получения сочетания из n по k нам достаточно получить размещения из n по k и разделить их на переcтановки из k. То есть, n!/k!(n-k)!

Давайте проверим, что ли. Если у нас четыре разных фигурки, и мы достаём из мешка три из них, передавая другому, то возможных вариантов у нас 4!/(3!*1!) = 4. Что совершенно логично, так как мы можем преобразовать эту задачу к виду “сколькими способами можно оставить в мешке одну фигурку из четырёх?” Разумеется, четырьмя.

Ну и, наконец, сочетания с повторениями. Если в мешке у нас много фигурок (как минимум столько, чтобы можно было достать все одинаковые), то количество возможных сочетаний будет равно количеству сочетаний из (n+k-1) по k. Скажу честно, я три часа убил на то, чтобы понять, как получить эту формулу логически, и у меня это не вышло. Возможно, получится у вас.

Верьте в себя и пользуйтесь наукой!