سقوط فنر

پایین فنر تکان نمی‌خورد، چون هنوز نفهمیده است که باید تکان بخورد!

به عنوان یک مثال فرض کنید که یک سری جسم با جرم یکسان را با کش‌های همسانی به یکدیگر متصل کرده‌ایم. کشها به این صورت عمل می‌کنند که اگر طولشان از L کوتاهتر باشد عملاً کش نیامده‌اند و نیرویی وارد نخواهند کرد و اگر طولشان از L بیشتر باشد مقدار ثابت نیروی F را به جسم وارد خواهند کرد. حالت اولیهٔ زیر را تصور کنید که در آن همهٔ کشها به مقدار یکسان کش آمده‌اند و چپ‌ترین جسم (جسم ۱) را با دست گرفته‌ایم تا حرکت نکند:

طول اولیهٔ کشها 2L است وآخرین جسم (جسم ۷) با کش به دیوارِ صُلب وصل شده است. اگر جسم ۱ را که با دست گرفته بودیم، رها کنیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟ آیا به محض اینکه دستْ جسم را رها می‌کند، همهٔ اجسام شروع به حرکت خواهند کرد؟

به محض رها کردن جسمِ ۱، تنها نیرویی که به جسمِ ۱ وارد می‌شود نیروی کش بین ۱ و ۲ است، که به طرف راست و به اندازهٔ F است. امّا بقیهٔ اجسام (۲ تا ۷) بلااستثنا دو نیرو تجربه می‌کنند که از کشهای دو طرفشان به آنها وارد می‌شود، یکی به سمت چپ و دیگری به سمت راست و هردو به اندازهٔ F. پس برآیند نیروها روی تمام جسمها غیر از جسمِ ۱ صفر است.

بنابراین بقیهٔ جسمها ثابت خواهند ماند و تنها جسم ۱ شروع به حرکت خواهد کرد. نیروی کشِ ۱-۲ برابر با F می‌ماند تا اینکه جسم یک به اندازهٔ L حرکت کند. چون نیروی کشِ ۱-۲ تغییر نمی‌کند، برآیند نیروهای وارد بر جسم ۲ نیز تغییر نخواهد کرد. پس در طول این مدّت، که جسم ۱ به طول L حرکت کرده است، جسم ۲ همچنان بی‌حرکت می‌ماند.

درست از لحظه‌ای که جسمِ ۱ به اندازهٔ L جابجا شد، چون طول کشِ ۱-۲ از L کمتر شده است، دیگر نیرویی وارد نخواهد کرد. پس از این به بعد به جسم ۱ نیرویی وارد نمی‌شود، همچنین تنها نیرویی که به جسم ۲ وارد می‌شود نیروی کشِ ۲-۳ است. بقیهٔ جسمها همان نیروهای قبل را تجربه می‌کنند و بنابراین بازهم سر جای خود ثابت خواهند ماند. امّا اینبار جسم ۲ شروع به حرکت می‌کند. باز هم مثل قبل جسم ۲ همینطور شتاب خواهد گرفت تا اینکه به مقدار L حرکت کند و طول کش ۲-۳ به L کاهش یابد. و تمام اینها تا جسم آخر تکرار خواهد شد.

دقّت کنید که جسم ۷، در طول این مدّت و مادامی که نوبت به او نرسیده است، هیچ حرکتی از خود نشان نخواهد داد. مادامی که به جسم ۷اُم از دو طرف نیروی هم‌اندازه‌ای وارد می‌شود، شروع به حرکت نمی‌کند.

اکنون بیایید جزئیات بیشتری را مورد بررسی قرار دهیم. وقتی طول کش ۱-۲ به L کاهش پیدا می‌کند، جسم ۱ به اندازهٔ L حرکت کرده و در این مدّت که تحت نیروی کش ۱-۲ بوده، شتاب داشته و سرعت گرفته است. بعد از این لحظه دیگر به آن نیرویی وارد نمی‌شود، پس شتاب نخواهد داشت، امّا سرعتی که بدست آورده بود را که از دست نداده است، پس با همان سرعت به حرکت خود ادامه خواهد داد. در همین لحظه، جسم ۲، همانند جسم ۱ شروع به حرکت خواهد کرد و چون جرم همهٔ اجسام برابر است، جسم ۲ دقیقاً همان شتاب جسم ۱ را خواهد گرفت. ازینرو نمودار سرعت-زمانِ آنها به صورت زیر درمی‌آید:

نمودار بالایی متعلق به جسم ۱ و نمودار پایینی متعلق به جسم ۲ است. دو زمانی که با خط نقطه‌چین مشخص شده‌اند به ترتیب مربوط به زمانهایی هستند که کش ۱-۲ و سپس کش ۲-۳ از کشش می‌افتند.

به طور کلّی شیب نمودار سرعت-زمان درواقع تغییرات سرعت در مدّت زمان مشخص است و بنابراین شتاب جسم را مشخص می‌کند. همچنین مساحت زیر نمودار سرعت-زمان، از جنس سرعت ضربدر زمان است و نشان می‌دهد که جسم چقدر حرکت کرده است.

شتاب جسم ۱ در بازهٔ زمانی صفرم تا اوّل، برابر با شتاب جسم ۲ در بازهٔ اوّل تا دوم است. بازهٔ صفرم تا اوّل هم‌اندازه با بازهٔ اوّل تا دوم است. مساحت زیر نمودار جسم ۱، در بازهٔ اوّل تا دوم، دو برابر بازهٔ صفرم تا اوّلِ همین جسم است (چون مستطیلی است که دوتا از آن مثلثها داخلش جا می‌شود.). جسم ۱، از لحظهٔ صفرم تا اوّل به اندازهٔ L جابجا شده است، پس از لحظهٔ صفرم تا دوم 3L حرکت کرده است. جسم ۲ نیز تا لحظهٔ دوم فقط به اندازه L جابجا شده است. با توجه به اینکه در ابتدا جسم ۲ از جسم ۱، 2L فاصله داشت (طول اولیهٔ کشها)، نمودارهای بالا نشان می‌دهند که در لحظهٔ دوم، جسم ۱ و ۲ به همدیگر رسیده‌اند. اکنون چون سرعت هر دو جسم برابر است، از این به بعد با سرعت یکسان، در کنار هم به حرکت ادامه خواهند داد.

همهٔ حرفهای بالا برای بقیهٔ جسمها نیز صادق است:

بنابراین، تمام اجسام یکی یکی با جسم ۱و۲ همراه می‌شوند تا اینکه به جسم آخر برسند. حالا اگر در وضعیت اوّلیه تغییرات کوچکی داده شود، وضعیت سیستم در زمانهای بعد فرق چندانی نخواهد کرد. مثلاً اگر به جای 2L کشها 1.5L کشیده شده باشند و یا اینکه اگر رابطهٔ بین نیروی کشها با طول آنها جور دیگری باشد.

اکنون فرض کنید بجای کشها فنر بگذاریم. اگر زنجیرِ اجسام را از حالت افقی به حالت عمودی درآوریم، تنها فرقی که در مسأله ایجاد خواهد شد، ظهور نیروی وزن هر جسم است. وقتی زنجیر آویزان است و تعادل دارد، هر فنر دقیقاً آنقدری به اجسام متصل به دو سر خود نیرو وارد می‌کند که برآیند نیروی فنرها، نیروی وزن هر جسم را خنثی و از سقوط آن جلوگیری کند. در این حالت نیز، با رها کردن انتهای زنجیر، برآیند نیروها روی جسم آخر همچنان صفر باقی می‌ماند تا اینکه نوبت به او برسد؛ یعنی تا اینکه اطلاعات مربوط به حرکت، به جسم آخر برسد.

اگر همین مقدار توضیح و توجیه به نظرتان کافی است، می‌توانید از بقیهٔ توضیحات بگذرید.

بیایید از زاویه‌ای دیگر به مسئله نگاه کنیم. به جای اینکه فقط ۷ تا جسم داشته باشیم، تعداد اجسام را افزایش می‌دهیم تا آنکه فاصلهٔ آنها بسیار کم شود و درآخر زنجیر پیوسته به نظر برسد. در اینصورت جسمی خواهیم داشت که هر واحد از طول آن جرمی مشخص دارد و به طور یکنواخت کش آمده است.

به جای شماره‌هایی که به جسمها داده بودیم هم، الان شمارهٔ هر جسم را به وسیلهٔ محور اعداد حقیقی (و با فاصله‌اش تا نقطهٔ صفر) مشخص می‌کنیم. اگر انتها رها شود، همچون قبل، نقاط انتهایی شروع به حرکت می‌کنند و فشرده می‌شوند تا نوبت به نقاط جلوتر برسد. حالا فرض کنید در لحظهٔ t تا نقطهٔ L شروع به حرکت کرده باشند. بنابراین طولی به اندازهٔ L از این زنجیر، کمی فشرده شده است. اگر مرکز جرم این قسمتِ L را نگاه کنیم، به دلیل حرکت نقاط و فشرده شدن این بخش، مرکز جرم باید مقداری به جلو حرکت کرده باشد، این مقدار را با D نشان می‌دهیم.

از آنجایی که نقاط بعد از L هنوز فشرده نشده‌اند و بنابراین هیچ تغییری نکرده‌اند، همان کششی را دارند که در تمام مدّتی که L در حال حرکت بود، داشتند. تنها نیروی خارجی که به مجموعهٔ L وارد می‌شود، همین نیروی کشش است. چون این نیرو در این مدّت ثابت بوده و همچنین جرم L هم تغییر نکرده، بنابراین مرکز جرم L در طول این زمان شتاب ثابتی داشته است. می‌دانیم:

همچنین وقتی که حرکت از حالت سکون شروع شده باشد و شتاب ثابت باشد، جابجایی از معادلهٔ زیر بدست خواهد آمد:

خب، اگر یادتان باشد قرار شد هر واحد طول از زنجیر، جرم مشخصی داشته باشد، آنرا با حرف یونانی مو نشان خواهیم داد، پس:

نحوهٔ دیگر بیان مسئله اینگونه است: اگر دور قسمتی به طول L خطی فرضی بکشیم، مرکز جرم قسمت مشخص شده می‌تواند به اندازهٔ D جلو بیاید، بدون آنکه نقطه‌ای خارجِ این محدوده تکان بخورد. با این بیان به نظر واضح می‌شود که D با L ارتباط مستقیم دارد.

پس خواهیم داشت:

توجه کنید که t زمانی است که حرکت به نقطهٔ L از زنجیر رسیده است. پس L تقسیم بر t نشان می‌دهد که جنبش در زنجیر با چه سرعتی انتقال می‌یابد:

در معادلهٔ بالا c عددی ثابت است. همانطور که دیدید سرعت بالا سرعت نشر اطلاعات داخل زنجیر است. اطلاعاتی که مربوط به تکان خوردن نقاط هستند. این خبری است که وقتی به نقطه‌ای از زنجیر می‌رسد آن نقطه تازه می‌فهمد که انتهای زنجیر رها شده است و بعد از دریافت این خبر تازه شروع می‌کند به تکان خوردن. قبل از اینکه خبر مذکور به ابتدای زنجیر برسد، ابتدای زنجیر نمی‌داند که انتهای زنجیر رها شده است، پس حرکت نخواهد کرد تا اینکه بالاخره خبردار شود.

حالا اگر زنجیر عمودی هم می‌بود، به هر حال اطلاعات با سرعتی داخل آن حرکت می‌کرد. بنابراین بعد از رها شدن انتهای زنجیر (یا فنر) مدّتی طول خواهد کشید تا اطلاعات به سر دیگر برسد. در طی این مدّت سر دیگر فنر سر جای خود خواهد ایستاد.

پس ادعا درست است و از قواعد فیزیکی پیروی می‌کند.

همچنین می‌توانید به فیلمهایی که در ادامه بر روی کانال گذاشته می‌شوند هم توجه بفرمایید.