Следствие 2.6. Квадратная матрица А невырождена, если и только если ее определитель отличен от нуля.
🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻
Следствие 2.7.
Для любой квадратной матрицы А существует такая матрица В, что А = В•В.
2.8. Для любой невырожденной квадратной матрицы A существует обратная к ней матрица B. Если A – обратная к B, то A = B•B.
Доказательство:
Пусть A невырожденная квадратная матрица.
Тогда определитель A отличен от 0. По определению определителя: |A = |B| • |B |. Следовательно, |A| = |B | • | B |, т.е. | A | = | B B | • | A B |. Но так как A невырожденна, то ее определитель не равен нулю, т. е. |A | = 0.
А) Квадратные матрицы симметричны относительно главной диагонали, т.е. если А - квадратная матрица, то (A+A) = A. Следовательно, А+А = I, где I - единичная матрица.
В) Если квадратная матрица A невырожденная, то ее определитель равен единице: .
Г) Если квадрат матрицы A невырожден, то определитель этой матрицы равен произведению определителей соответствующих строк:
Следствие 2.7.
Квадратная невырожденная матрица симметрична относительно транспонирования: если , то .
Следствие 2.2.
Следствие 2.6 (а). Квадратная невырожденная матрица является квадратной симметричной матрицей.
Действительно, определитель квадратной матрицы равен сумме определителей, составленных из ее строк, умноженных на соответствующие элементы строк.
Квадратная симметричная матрица называется также квадратной матрицей порядка n. Следствие 2.6(б). Если матрица A является квадратной невырожденной, то она является квадратной квадратной, т.е. A=A^T.
Доказательство
Пусть A невырожд.
Следствие 2.7.
Квадратная невырожденная матрица порядка п имеет не более п различных собственных значений (собственных функций) порядка п, причем для каждой функции существует единственное собственное значение (собственная функция).
В самом деле, все собственные значения матрицы образуют область значений функции, соответствующей этой матрице.
Следовательно, в этой области значений содержится не менее п собственных функций.
Следствия 2.8.
Следствие 6.2. Если квадратная матрица В невырождена и В = А – 1 при некотором ненулевом значении с, то А – с – 1 также невырожденна. При этом если А – В, то В – А = 0 при некоторых значениях с. Теорема 3.6. Если квадратная матричная запись некоторого числа n > 2 является невырожденной, то все числовые значения, определенные матрицей, являются действительными числами. Доказательство. Предположим, что некоторая матрица A невырожденная и имеет числовые записи.
Следствие 2.7.
Квадратная матрица A невырождена при всех значениях ее элементов, отличных от нуля (кроме, может быть, одного).
Следствие 2.1.
Если в матрице А ненулевых элементов больше, чем нулей, то квадратная невырожденная матрица существует.
Доказательство.
Докажем, что если в квадратной невырожденной матрице A ненулевых элементов не меньше, чем нулевых, то она существует.
Следовательно, если квадратная матрица невырождена и ее определитель не равен нулю, то она невырожденная.
Следствие 3.7. Если квадратная невырожденная матрица А имеет ненулевой определитель, то ее не существует.
Следствие 2.7.
Квадратная недиагональная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство.
Для доказательства достаточно показать, что определитель любой квадратной матрицы, недиагональной по модулю, равен 0. Предположим, что он отличен от 0. Тогда матрица будет иметь нулевую строку и нулевой столб.
По доказанному выше равенству определителя все диагональные элементы равны нулю, а остальные равны 1. Получаем, что матрица невырождена.
Следствие 2.7.
Если определитель квадратной матрицы А равен нулю, то квадратная матрица невырождена.
В частности, определитель ненулевой квадратной матрицы не может быть равен нулю.
Доказательство.
Пусть определитель равен нулю:
Тогда из этого равенства следует, что
т.е. А не является квадратной матрицей.
Теорема 7. Пусть квадратная квадратичная форма f(x) имеет вид
где А – квадратная невырожденная матрица.
Тогда
Доказательство
Следствие 2.7 Квадратные матрицы A и B невырождены, если их определители равны. Следовательно, невырожденную квадратную матрицу можно определить как такую квадратную матрицю, определитель которой отличен от нуля. В самом деле, для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от 0. Следовательно, рассмотрим матрицу А = (аij) ij = 1, 2,..., n, в которой элементы аij различны по своим значениям.
Анализ Контрольных Работ По Обществознанию
Примеры Реферата По Истории
Эссе На Тему Школьное Образование