Системы уравнений

Этот телеграф посвящён решению систем уравнений. Не неравенств. Разбирается самая база. Способы решения представленные далее справедливы для решения любых систем уравнений. Олимпиадные задачи также решаются данными способами, но там больше нюансов и тонкостей. Для понимания темы необходимо знать решения линейных уравнений, знать что такое график функции, уметь складывать многочлены и уметь выражать переменные друг через друга.

Система уравнений— два и более уравнения, имеющие взаимосвязь. Объединяются строго фигурной скобкой { (квадратная скобка— это другое).

Так как уравнения внутри системы взаимосвязанны, то следствия вытекающие из одного уравнения полноправны для другого.

В школе учат трём основным способам решения. Начну с наименее используемого и закончу самым используемым.

Первый способ.

Графический. Его суть проста, но решение выходит достаточно громоздким. Однако пропустить его ни в коем разе нельзя: он очень хорошо показывает суть уравнений в системе.

1) Мы вводим декартову систему координат.

2) Выражаем переменные у у всех уравнений в системе.

3) Строим график функции.

Координаты точки пересечения всех функций и является решением системы.

Второй способ.

Сложения (вычитания). В отличие от графического, последующие способы будут сводить систему уравнений к одному линейному уравнению.

Его суть в том, чтобы сложить/вычесть уравнения так, чтобы получилось обычное линейное уравнение. Это линейное уравнение решается, а после решение подставляется в любое уравнение на этапе, где были другие неизвестные.

Уравнения в системе можно домножать, делить и так далее, дабы достичь возможности вычесть с потерей неизвестных.

Этапы:

1) Привести все уравнения к виду, когда сложение или вычитание «уничтожает» все неизвестные кроме одного.

2) Сложить или вычесть уравнения.

3) Получаем линейное уравнение, решаем его.

4) Подставляем решение в одно из изначальных уравнений или туда, где есть оба нужных неизвестных.

5) Решаем второе линейное

6) Если неизвестных было больше, то повторяем до тех пор, пока не найдём все

7) Когда нашли все неизвестные система решена

Третий способ.

Самый часто используемый способ. Его суть в том, чтобы выразить одно из неизвестных в первом уравнении, а после подставить в последующее уравнение.

Этапы:

1) Выразить неизвестное.

2) Подставить в другое уравнение

3) Для систем уравнений с двумя неизвестными и двумя уравнениями идёт следующий этап, для больших продолжается до тех пор пока не получится простое линейное уравнение.

4) Получили линейное уравнение, решаем его.

5) Решение подставляем в изначальное или на другом этапе, где было двое неизвестных

Вот и всё, что требуется для решения обычных систем уравнений.