Системы принятия решений

«ПОЧТИ» И «БОЛЬШИНСТВО»

В гл. 2 говорилось, что стремление описать естественный класс объектов как класс моделей (воплощений) некоей теории приводит к необходимости оперировать с понятием «почти». Отсюда вытекает важная гносеологическая проблема: перейти от абстрактного понятия «почти» к его конкретному логическому развертыванию, которое должно сделать это понятие логическим инструментом теории познания.

Можно попытаться освоить понятие «почти» в рамках системного подхода, объяснить это понятие как средство научного познания. В связи с этим уместно проанализировать опыт экспликаций этого понятия и пути их обогащения. Английский математик Зима вnервые дал экспликацию сходства («почти равенства») как особого отношения толерантности, определяемого условиями рефлексивности и симметричности. Это понятие вместе с родственным понятием толерантного изоморфизма он применил к исследованию логики зрительного восприятия [19]. Автор описывает «сходство» картины в зрительном поле сетчатки глаза с той гипотетической картиной, которая создается при этом в нейронах мозга. Используемая автором логика «почти - соответствий» интересна и позволяет выражать знание и предположения о ситуациях, где однозначные соответствия объектов невозможны.

Теория отношений толерантности была позднее подробно развита [70] и нашла целый ряд применений в информатике, лингвистике и теории классификации. В указанной теории большую роль играет понятие класса толерантности, обобщающее понятие «класс эквивалентности». С его nомощью удается показать, что сходство, эксплицируемое как толерантность, всегда можно интерпретировать как наличие общего признака. Классы толерантности состоят из объектов, попарно сходных друг с другом, и образуют покрытие класса всех объектов. В частном случае, когда дополнительно удовлетворяется свойство транзитивности отношения, они образуют разбиение на непересекающиеся классы. Понятие толерантности описывает, однако, слишком широкий класс «сходств», вплоть до таких, где сходство дается наличием лишь одного общего признака из очень большого класса. Поэтому возникла необходимость в более адекватной экспликации «почти».

Один из естественных подходов к этому идет через экспликацию понятия «большинство». Этому понятию посвящены работы [13, 77, 78] , где не только развернута экспликация «большинства», но и найдены его связи с логикой мнений и новым классом моделей логик с деонтической модальностью. При этом показано, что понятие «большинство» обладает некоторыми парадоксальными свойствами, о которых говорится ниже.

Оказалось, что понятие «почти» можно выразить через понятие «большинство». А именно, пусть на некотором классе объектов задана совокупность классов, каждый из которых можно считать «большинством» в исходном классе.

Класс К называется существенным, если существует некоторый класс К1, не образующий большинства, но объединение K1 U K составляет уже большинство. Если такого класса К1 для класса К найти нельзя, то К называется не существенным. Некоторое свойство "почти " выполняется на основном классе, если оно выполняется с точностью до несущественного класса объектов. Близкая экспликация понятия "почти" возможна в рамках деонтической модальной логики (рассмотренной в [77] в связи со структурами "большинства "). В этой логике кроме обычных символов исчисления высказываний вводится символ О, читающийся как "необходимо". Обычная аксиоматика пополняется аксиомой (необходимо А влечет отрицание необходимости отрицания А), а к правилам вывода присоединяются следующие (А в В), (ОА в ОВ). Высказывание А называется "почти ложным", если для любого высказывания В имеет место (B U A). Иначе говоря, дизъюнкция с А не может превратить никакое высказывание в необходимое. Разумеется, определение относится к модели, а не к самому исчислению, но мы не будем здесь исследовать логические нюансы. Принципиальной является сама возможность ввести в логику понятие «почти». Возможность таких определений демонстрирует гносеологическую содержательность понятия «большинство». Но у этого понятия есть еще один не менее важный аспект. Предположим, что «большинство» задано на классе объектов, принимающих решение по одному и тому же вопросу. Тогда этот класс можно рассматривать как систему, принимающую решение по тому же вопросу в соответствии с заданной логикой большинства.

Если класс объектов, принявших данное решение, образует «большинство» в исходном классе, то вся система считается принявшей то же самое решение: такие системы воплощают важное свойство естественных систем: компоненты такой системы сравнимы по компетентности с целой системой - перед ними стоит та же проблема, что и перед системой в целом. Таким образом, необходимость экспликации понятия «большинство» приводит к содержательному аспекту изучения системы - уже не с точки зрения структуры и состава как ранее, а с точки зрения совместного функционирования.

СИСТЕМЫ С ГОЛОСОВАНИЕМ

Представим себе систему, принимающую какие-то решения на основе решений, принимаемых ее подсистемами. Выбор решения всей системой определяется присущим данной системе способность учета решений подсистем. Для простых систем (хотя по количеству элементов они могут быть весьма громоздкими) этот способ задается чисто синтаксически - отдельные подсистемы не знают о том, какое решение поставлено перед системой в целом.

В сложных системах отдельные подсистемы обладают языком с богатой семантикой и нежесткой интерпретацией (см. гл. 1). Более того, отдельные подсистемы могут заранее «знать» то, что «знает» и система в целом. Рассмотрим случай, когда решение, принимаемое подсистемами, имеет тот же смысл, что и решение, принимаемое системой в целом. Перед каждой подсистемой (как при голосовании) стоит тот же выбор, что и перед системой в целом. Более того, подсистемы могут иметь вполне содержательные основания для этого выбора, а целостная система может только согласовывать мнения своих подсистем. Рассмотрим системы, принимающие решения на основе выборов, сделанных отдельными компонентами этой системы. Среди таких систем «системы с голосованием» выделяются следующими содержательными предположениями.

• Во-первых, компетентность каждой компоненты (подсистемы) не ниже, чем компетентность системы в целом.
• Во-вторых, положительное решение некоторой компоненты по данному вопросу способствует принятию системой аналогичного решения.

Первое условие можно интерпретировать как то, что каждый элемент имеет ту же ( или даже более широкую) альтернативу выборов, что и система в целом, а реакция системы есть функция выборов, осуществленных компонентами.

Второе условие естественно трактовать следующим образом: если при некоторых выборах, сделанных компонентами, система принимает данное решение, то она не изменит его, ее.ли некоторая компонента склонится в пользу этого решения. Последнее условие, естественно, обобщается на случай, когда компоненты и система могут «высказываться» в пользу данного решения с разной степенью определенности.

Проблема состоит в том, каковы возможные способы принятия решений в системах с голосованием и можно ли их описать как единую логику мнений. Ясно, что обычно используемые пр авила голосования должны включаться в эту единую логику.

Функционирование системы определяется, во-первых, ее составом и компетенцией отдельных элементов, во-вторых, правилами, заложенными в систему и определяющими, как она поступит, когда каждый ее элемент сделает свой выбор. Введем непринципиальное формальное упрощение: будем считать, что перед системой и ее компонентами есть всего две альтернативы А и В. Система, принимающая решение, имеет некоторое множество компонентов Х (множество экспертов, признаков и т. п.). Их компетентность проявляется в том, что каждая из них также осуществляет выбор между А и В (эксперт высказывает мнение в пользу одного из проектов, признак свидетельствует в пользу одной из букв). Для простоты будем считать, что каждый компонент делает недвусмысленный выбор, предпочитая либо А, либо В. Тем самым исключается вариант, когда участник воздерживается от голосования. В последнем случае структура принятия решений сложнее, но может быть в определенном смысле сведена к нашему случаю [78] .

Вместе с тем вся система способна попасть в ситуацию неопределенности, когда она не может принять ни одну из альтернатив. Проблема состоит в том, чтобы описать допустимые правила действия системы в целом, не приводящие к противоречию: выбору одновременно А и В. Это удобно сделать, используя понятие решающей коалиции - множества компонентов, достаточного для выбора альтернативы.

Множество компонентов Р образует решающую коалицию для альтернативы А (А-коалицию), если из того, что все элементы множества Р предпочли А, следует, что и система предпочла А. Аналогично определяются и В-коалиции. Рассмотрим системы, у которых правило принятия решений описывается через структуру А -, В-коалиций. Предположим, что система принимает решение А (соответственно В) в том и только том случае, когда имеется А­ (соответственно В) коалиция, состоящая из элементов подсистем, выбравших альтернативу А ( соответственно В). Такие системы будем называть коалиционными.

По определению из наличия коалиции, принявшей альтернативу А, уже вытекает, что система в целом выбрала ту же альтернативу. Тонкость состоит в том, что некоторые системы принимают альтернативу А или В при отсутствии соответствующей коалиции. Это определение эксплицирует на формальном уровне, что значит, когда подсистемы или элементы обладают той же компетенцией о смысле выбора, что и система в целом. Коалиции обладают рядом важных свойств. Из трех перечисленных ниже первое принимается как постулат, а два остальных вытекают из определения коалиции.

1. Все множество Х является одновременно А- и В-коалицией. Иными словами, коль скоро все элементы системы выбрали некоторую альтернативу, то система выбирает ее же. Это как бы постулат доверия системы к собственным элементам.

2. Если множество Р образует А-коалицию (соответственно В-коалицию), то его дополнение до Х не образует В-коалицию (соответственно А-коалицию) . Это постулат непротиворечивости. Если бы он не выполнялся, то все элементы Р могли бы выбрать альтернативу А, а все элементы дополнения Р - альтернативу В. По условию Р образует А-коалицию, т. е. система выбирает А. Но если Р образовало бы В-коалицию, то одновременно система была бы вынуждена выбрать альтернативу В, что невозможно. Следовательно, Р не образует В-коалицию.

3. Если множество Р образует А (или В-) коалицию, то любое содержащее его множество также ее образует. Это постулат устойчивости: коалиция не разрушается, если к ней присоединяются новые члены. Собственно, он вытекает из определения А-коалиции. Если все ее члены «высказались» за альтернативу А, то и вся система ее принимает.

Перечисленные три свойства коалиций достаточны для непротиворечивого принятия решений. Важная идея состоит в том, что эти три свойства и дают разумное определение коалиции. Всякая коалиционная система - это система, где можно говорить о сопоставимости компетенции элементов с компетенцией целого. Всякое голосование, основанное на логике коалиций, будем считать правомерным способом голосования. Стоит заметить, что первое свойство ( с учетом наличия второго и третьего) можно было бы вывести из такого: существует хоть одна А-коалиция и существует хоть одна В-коалиция. Наоборот, существование этих коалиций вытекает из принятого нами первого свойства.

По сути дела речь о логике принятия решений в системах с голосованиями. Полезно отметить, что эта логика обладает некоторыми «парадоксальными» свойствами.

Приведем три парадокса голосования.

1. Парадокс Кондорсе.

2. Парадокс решающего меньшинства.

3. Парадокс неопределенности решения.

Первый путь разрешения этих парадоксов состоит в том, чтобы различать систему, принимающую решение, и систему исполнительную, которая в описанной ситуации неопределенности вообще не принимает во внимание информацию о решении, но действует по собственной логике. Второй путь состоит в том, чтобы различать слабые решения (сохраняющие статус-кво) и сильные, а системе с голосованием. Предлагается на рассмотрение лишь последние. Фактически так и nроисходит в реальных ситуациях. (По-видимому, этот принцип вынесения суждений лишь по сильным решениям неявно используется при голосованиях, где существует право вето.)

МАЖОРИТАРНЫЕ СТРУКТУРЫ

Примем общее предположение, что правила принятия решения системой не зависят от конкретного типа этого решения. В частности, правила принятия решения А и его отрицания (т. е. npинятия «не А») должны совпадать. (Тем самым мы не учитываем разницу между решением, сохраняющим статус-кво, и маркированными решениями.)

Тогда на множестве компонентов системы задается универсальная совокупность коалиций, которая называется в соответствии с [13] мажоритарной структурой на множестве. Сами же коалиции будем называть «большинствами». Мажоритарная структура обладает следующими свойствами, вытекающими из упомянутых свойств коалиций, и из универсальности коалиций:

1. Свойство доверия, т. е. все множество компонентов образует большинство.

2. Свойство непротиворечивости, или «дополнение к большинству не является большинством».

3. Свойство устойчивости, или «множество, содержащее большинство, само образует большинство».

Эти свойства можно принять как исходные постулаты, описывающие общую для всех систем с голосованием логику принятия решений. (Для случая, когда компоненты оценивают принимаемое решение по «двухбалльной шкале».)

Пример прямого голосования является в некотором смысле отправной точкой для всей теории. Идея прямого голосования имеет естественное обобщение. Прямое, но не равное голосование. Множество состоит из экспертов разной авторитетности: некоторые эксперты могут иметь несколько голосов.

Поскольку совершенно не обязательно, чтобы эксперт имел целое число голосов, предположим, что каждый эксперт х из множества экспертов имеет «вес». Эти веса будем считать положительными (при отрицательных могло бы нарушиться третье свойство, а эксперты с нулевыми весами не оказывают влияния на поведение системы) и «нормированными» - сумма весов всех экспертов принимается равной единице.

Определение коалиции дано. Остается проверить, выполняются ли все три свойства. Что касается первого свойства, то множество оказывается коалицией в силу нормировки весов к единице. Истинность второго следует из того, что коль скоро выполнено условие коалиции, стало быть, эксперты, не входящие в каолицию, каоалиции не образуют.

Третье свойство здесь означает, что добавление к коалиции еще одного эксперта может только увеличить сумму их весов, но не испортить коалицию. В этом примере еще можно говорить о большинстве - если не по количеству голосующих, то по числу фактически имеющихся у них голосов.

Это наводит на мысль, что коалиции не могут определяться суммой весов и принцип их образования иной. Рассмотрим такие перестановки элементов множества, при которых каждая коалиция переходит в некоторую коалицию.

В [13, с. 77, 78] доказано, что если элементы множества Х полноправны и коалиции определяются весами (как в примере 4) , то веса всех элементов одинаковы. Это значит, что коалиция определяется только числом своих элементов.

А может быть такая система, где есть коалиции, образованные численным меньшинством элементов? Тривиальный ответ дает вариант с одноэлементной коалицией.

Косвенные многоэтапные выборы.

Численность коалиции может быть еще меньше. Минимальная коалиция определяется как множество, содержащее всех экспертов некоторой группы и по представителю всех остальных групп. Легко видеть, что дополнение к такой кoaллиции не содержит никакой коалиции.

Возможность сколь угодно малого уменьшения доли элементов, составляющих решающую коалицию, позволяет сформулировать правдоподобные гипотезы о природе внутренней организации проблем, связанных с искусственным интеллектом.

Обычно в задачах, где участвуют большие наборы признаков, стремятся выделить небольшое число существенных, т. е. особо отмеченных признаков, определяющих логику решения задачи. Эти существенные признаки иной раз пытаются выразить в виде комбинаций большого числа исходных («неорганизованных») признаков.

В рассмотренной нами схеме роль признаков играют элементы, принимающие решения.

Принятое элементом решение естественно сопоставить со значением соответствующего признака.

Мы изучали ситуацию, когда все признаки равноправны.

Но логика работы системы такова, что фактически решение принимается на основе ничтожной доли от общего количества признаков.

Причем этот эффект «малой коалиции» становится все ярче с общим увеличением размеров системы.

Естественно предположить, что в сложных задачах распознавания образов, диагностики, классификации центр тяжести лежит не в выделении особо информативных признаков, а в обнаружении логики образования минимальных решающих коалиций или, что равносильно, диагностических смндромов, гарантирующих непротиворечивое решение.

Распознавание образов, видимо, состоит не столько в формировании и анализе признаков объекта, сколько в формировании гипотез о структуре решающих коалиций.

Итак, решающая коалиция не может быть слишком малой в абсолютном исчислении, но может составлять сколь угодно малую долю численности всех компонентов системы для достаточно «объемных» систем. Этот вывод имеет определенное методологическое значение.

Он показывает, что в решении об отнесении некоторой достаточно сложной системы в -тот или иной таксон играет роль не столько количество говорящих в пользу такого отнесения признаков, сколько логика принятия решения.

В частности, даже когда признаки равноценны, решающую роль может сыграть сколь угодно маленькая относительная доля этих признаков при достаточно большом абсолютном количестве. Этот вывод означает, что понятие «почти» для сложных объектов отнюдь не означает совпадения численного большинства признаков (свойств). Это понятие глубоко нетривиально.

С помощью мажоритарных структур можно получить интересный класс моделей для логик с оператором необходимости, о которых шла речь в начале этого параграфа [77].

Пусть для каждого :х из Х задана своя мажоритарная структура Мх (Х), которая выражает точку зрения самого х на то, какие подмножества Х следует считать «большинством».

По суждению А каждый х из Х имеет свое мнение об истинности или логичности этого суждения. Символом А(х) обозначим суждение вида «х полагает, что А истинно». Суждение DA(х) проинтерпретируем так: «с точки зрения х большинство считает, что А истинно». Г. Е. Минц показал, что в соответствующем модальном исчислении выводимы те и только те формулы, для которых А(х) истинно при всех х из Х. Каждый участник не только имеет свое мнение по тому или иному предлагаемому суждению, на основе мнений участников формируется представление каждого из них о том, какое мнение согласуется с мнением большинства с его точки зрения.

Можно рассмотреть ситуацию, когда каждый из участников может заменить свое мнение мнением большинства (с его точки зрения). В результате такой замены могут измениться и мнения разных большинств, что опять приведет к смене точек зрения участников. Такой процесс может функционировать как динамическая память суждений, он определяет необходимость тех или иных действий участников.

https://telegra.ph/CHASTOTNOST-I-OPTIMIZACIYA-06-13