Система Линейных Уравнений Реферат
Система Линейных Уравнений Реферат
Главная
База знаний "Allbest"
Математика
Система линейных уравнений
Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера
3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными
4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений
5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:
Здесь x 1 , … , x n - неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.
Способы решения систем линейных уравнений - очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.
Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.
В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;
a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (1)
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + …+ a mn x n = b m ;
где х 1 , х 2 , …, х n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а 11 , а 12 , … , а mn называются коэффициентами системы , а b 1 , b 2 , … , b m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а ij ( i =1, 2, ... , m ; j = 1, 2, ... , n ) и свободные члены b i ( i =1, 2, ... , m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b i соответствует номеру уравнения, в которое входит b i .
Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел б 1 , б 2 , б n , которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х 1 , х 2 , …, х n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет по крайней мере два различных решения.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и тоже множество решений.
2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Пра вило Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;
a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (2)
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + …+ a nn x n = b n ;
Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а ij .
Рассмотрим случай, когда ? ? 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ?.
Умн ожим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i -го столбца определителя ? , т.е. первое уравнение умножим на А 1 i , второе - на А 2 i и т.д., наконец, последнее уравнение - на А ni , а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь
( a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1i x i + …+ a 1n x n ) A 1i + ( a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2i x i +
+ …+ a 2n x n ) A 2i + …+ ( a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a ni x i + …+ a n x nn ) A ni = b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni
или, сгруппировав члены относительно известных x 1 , x 2 , …, x n , получим
( a 11 A 1i + a 21 A 2i + …+ a n1 A ni ) x 1 + … +
+ ( a 1i A 1i + a 2i A 2i + …+ a ni A ni ) x i + … +
+ ( a 1n A 1i + a 2n A 2i + …+ a nn A ni ) x n =
= b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni . (3)
Коэффициент при неизвестной х i равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х 1 тем, что коэффициенты а 1 i , а 2 i , …, а ni заменены свободными членами b 1 , b 2 , …, b n уравнения (2). Следовательно, выражение b 1 A 1 i + b 2 A 2 i + …+ b n A ni есть определитель i -го порядка, отличающийся от определителя только i -м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ? x i , будем иметь
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:
Требуется найти все решения системы уравнений (6). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида
и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число .
Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (6) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (6) будем подвергать еще одному виду преобразований - перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k - м ) неизвестная x 1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде
a ki x 1 + . .. + a k2 x 2 + … + a k1 x i + . .. + a kn x n = b k ,
т. е. вместо прежней неизвестной х i мы будем писать х 1 , а вместо x 1 - х i Метод Гаусса решения системы (6) заключается в последовательном исключении переменных.
Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида
0 x l + 0 x 2 + . .. + 0 x n = b , (8)
причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х 1 , х 2 ..., х п не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.
Пусть теперь система (6) не содержит уравнений вида (7) или (8). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a 11 0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (6), начиная со второго, неизвестную х 1 . Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a 21 / a 11 , затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a 31 / a 11 , и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему
а 11 х 1 + а 12 х 2 + … + а 1 n х n = b 1;
Заметим, что в системе (9) число уравнений может быть и меньше m , так как среди них могут оказаться уравнения вида (7), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.
Пусть а 22 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п - 2 уравнений системы (9) неизвестную х 2 путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a ? 32 / a ? 22 , из четвертого уравнения -- второго, умноженного на a ? 34 / a ? 22 и т. д. В результате получим систему
а 11 х 1 + а 12 х 2 + а 13 х 3 + …+ а 1 n х n = b 1;
а? 22 х 2 + а? 23 х 3 + …+ а? 2 n х n = b? 2;
Продолжая этот процесс, систему (6) приведем к равносильной системе вида
c 11 х 1 + c 12 х 2 + c 13 х 3 + …+ c 1 k х k + …+ c 1 n х n = d 1;
c 22 х 2 + c 23 х 3 + …+ c 2 k х k + …+ c 2 n х n = d 2;
c 33 х 3 + …+ c 3 k х k + …+ c 3 n х n = d 3; (10)
в которой коэффициенты c 11, c 22, . .., c kk отличны от нуля.
Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (8). В этом случае система (7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (8). Тогда для решения системы (6) необходимо решить систему (9), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.
1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (10) имеет вид с пп х п = d n , откуда х п = d n / c nn . Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (7), имеющее вид
c n -1 n -1 x n -1 + c n -1 n x n = d n -1 , найдем значение неизвестной x n -1 и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x 1 Таким образом, в случае k = п система уравнений (6) имеет единственное решение.
2. k < n . Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную x k , выраженную через неизвестные х k+1, х k+2, . .. x n :
x k = ( d kk - c k k +1 x k +1 - … - c kn x n )
Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной х k-1, и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных х k, х k-1, . .. x 2 в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x 1 . В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду
x 1 = d ? 1 + c ? 1 k +1 x k +1 + …+ c ? 1 n x n ;
x 2 = d? 2 + c? 2 k+1 x k+1 + …+ c? 2n x n ; (11)
x k = d? k + c? k k+1 x k+1 + …+ c kn x n .
Неизвестные х k+1, х k+2 , …, х п называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х 1, х 2 , …, х k . Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.
Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.
На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу , составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).
Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений
5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений
Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.
Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.
Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу
Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса. курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений. лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса. контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010
Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса. контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010
Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы. курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009
Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы. контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2020, ООО «Олбест»
Все права защищены
Система линейных уравнений
Реферат : Способы решения систем линейных уравнений
Реферат - Система линейных уравнений - Математика
Системы линейных уравнений . Курсовая работа (т). Математика.
Реферат : Система линейных уравнений - Xreferat.com - Банк...
Сравнение Сложение И Вычитание Дробей Контрольная Работа
Эссе На Тему Космос Казахской Культуры
Эссе 5 Предложений
Критерии Декабрьского Сочинения 2021 2021 Фипи
Нереализованная Прибыль И Убыток По Курсовым Разницам