Символ "О" - асимптотический анализ - Математика дипломная работа
Главная
Математика
Символ "О" - асимптотический анализ
Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного. Асимптотическое решение интегралов. Асимптотическое вычисление суммы ряда. Приложения символа "О". Основные определения, примеры.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Глава 1. Символ О………………………………………………..
§1. Основные определения, примеры…………………..……
§2. Основные соотношения.………………………………….
§3. Решение задач…………………………………………….
Глава 2. Приложения символа О………………………………...
§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного..……………..……..……
§2. Асимптотическое решение интегралов………………….
§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда…..…………
Точные решения, если их удается получить, - это замечательно: окончательный ответ вызывает чувство глубокого удовлетворения. Но и приближенное значение иногда оказывается в цене.
В 1894 году Пауль Бахман придумал обозначение для асимптотического анализа. В последующие годы его популярности способствовали Эдмунд Ландау и др. Мы встречаем это обозначение в формулах наподобие:
которая говорит нам, что n -е гармоническое число равно натуральному логарифму n плюс константа Эйлера плюс некоторая величина, которая составляет « О большое от 1 на n ». Эта последняя величина точно не определена, однако, какой бы она ни была, обозначение « О » позволяет утверждать, что она не превосходит константу, умноженную на 1/ n .
Величину О (1/ n ) можно считать пренебрежимо малой, если только нас не интересуют величины, отличающиеся от 1/ n лишь постоянным множителем.
Приложения символа О можно встретить в разных областях математики, а также и в физике. Например, в книге Панченкова А.Н. «Асимптотические методы в экстремальных задачах механики» рассматривается применение асимптотических методов в решении задач аэродинамики.
изучить понятие «Символ О » и показать его применения.
1. Изучить понятие «Символ О », дать определение.
2. Изучить и доказать основные соотношения.
3. Показать применение символа О при решении задач.
4. Найти применение символа О в различных областях математики.
На основании поставленных целей и задач квалификационная работа разбита на две главы.
Глава 1 «Символ О » состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные определения, приводятся примеры; во втором - формулируются утверждения, приводятся их доказательства; третий параграф посвящен решению задач.
Глава 2 «Приложения символа О » освещает применение символа О , а именно, при решении трансцендентных уравнений, при вычислении интегралов, при нахождении суммы рядов.
f ( n ) = O ( g ( n )) для всех n N (1.1.1)
означает, что существует такая константа С , что
а если обозначение O ( g ( n )) использовано внутри формулы, то оно обозначает функцию f ( n ), удовлетворяющую (1.1.2). Значения функции f ( n ) неизвестны, но мы знаем, что они не слишком велики.
Символ « О » включает неопределенную константу С , каждое вхождение О может подразумевать различные С , но каждая из этих констант не зависит от n .
Пример 1: мы знаем, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна
так как для всех целых n . Можно получить более точную формулу
для всех целых n . Можно также небрежно отбросить часть информации и записать n = О ( n 10 ).
Определение О не заставляет нас давать наилучшую оценку.
Рассмотрим пример, когда переменная n - не целочисленная.
Пример 2: , где х - вещественное число.
Здесь уже нельзя сказать, что S ( x ) = O ( x 3 ), так как отношение неограниченно растет при х 0. Нельзя также сказать, что S ( x ) = O ( x ), т.к. отношение неограниченно растет, когда х стремится к бесконечности. Значит, мы не можем использовать символ « О » для оценки S ( x ).
Эта дилемма разрешается благодаря тому, что на переменные, используемые с О , обычно накладываются какие-либо ограничения. Если, например, мы поставим условие, что , или что , где - произвольная положительная константа, или что х - целое число, то мы сможем записать S ( x ) = O ( x 3 ). Если же наложено условие или , где с - произвольная положительная константа, то в этом случае S ( x ) = O ( x ). « О большое» зависит от контекста, от ограничений на используемые переменные.
Эти ограничения часто задаются в виде предельных соотношений.
Определение 2: соотношение f ( n ) = O ( g ( n )) при n означает, что существуют две константы С и n 0 , такие, что
Замечание 1 : Значения С и n 0 могут быть разными для разных О , но они не зависят от n .
Определение 3: запись f ( х ) = O ( g ( х )) при х 0 означает, что существуют две константы С и , такие, что
Теперь О представляет неопределенную функцию и одну или две неопределенные константы, зависящие от контекста.
Замечание 2 : запись корректна, но в этом равенстве нельзя менять местами правую и левую части. В противном случае мы можем прийти к нелепым выводам, наподобие n = n 2 , исходя из верных тождеств n = О ( n 2 ) и n 2 = О ( n 2 ).
Работая с символом « О » мы имеем дело с односторонними равенствами. Правая часть уравнения содержит не больше информации, чем левая, и фактически может содержать меньше информации; правая часть является «огрублением» левой.
Если говорить строго формально, то запись O ( g ( n )) обозначает не какую-то одну функцию f ( n ), а сразу множество функций f ( n ), таких, что для некоторой константы С . Обычная формула g ( n ), не включающая символ О , обозначает множество, содержащее одну функцию f ( n ) = g ( n ). Если S и T суть множества функций от n , то запись S + T обозначает множество всех функций вида f ( n ) + g ( n ), где f ( n ) S и g ( n ) T ; другие обозначения вроде S - T , ST , S / T , , е S , ln S определяются аналогично. Тогда «равенство» между двумя такими множествами функций есть теоретико-множественное включение; знак «=» в действительности означает «».
Пример 3: «Уравнение» означает, что S 1 S 2 , где S 1 есть множество всех функций вида , для которых найдется константа С 1 , такая, что , а S 2 есть множество всех функций , для которых найдется константа С 2 , такая, что .
Можно строго доказать это «равенство», если взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части: пусть таково, что , следует доказать, что существует такая константа С 2 , что . Константа решает проблему, так как для всех целых n .
Замечание 3: Если в формуле используется несколько переменных, то символ О представляет множество функций от двух или более переменных, а не только от одной. В область определения каждой функции входят все переменные, которые в данном контексте «свободны» для изменения.
Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны знаком или подобным.
Выражение k 2 + O ( k ) в левой части отвечает множеству всех функций от двух переменных вида k 2 + f ( k , n ), для которых найдется константа С , такая, что для 0 k n . Сумма таких множеств функций для 0 k n есть множество всех функций g ( n ) вида
где f удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку
то все такие функции g ( n ) принадлежат правой части (1.1.5); следовательно, (1.1.5) справедливо.
Пусть , тогда по свойству степени и модуля. , где С = 1. А по определению (1.1.2) символа О это и означает, что при . Соотношение 1 доказано.
Покажем строго в соответствии с теоретико-множественным определением символа О , что левая часть является подмножеством правой части.
Любая функция из левой части имеет вид a ( n ) + b ( n ) , и существуют константы m 0 , B , n 0 , C , такие, что
Следовательно, функция в левой части
А, значит, по определению символа О левая часть принадлежит правой части. Соотношение 2 доказано.
Соотношение 3: f ( n ) = O ( f ( n )) ; (1.2.3)
Покажем в соответствии с теоретико-множественным определением символа О , что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a ( n ) b ( n ), такие, что существуют константы В , С , n 0 , m 0 , что
Тогда для любого n max( n 0 , m 0 ,). Значит левая часть принадлежит правой части, а, следовательно, является подмножеством правой части по определению символа О . Соотношение 6 доказано.
Соотношение 5: O ( O ( f ( n ))) = O ( f ( n )) ; (1.2.5)
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
Функция из левой части имеет вид a ( n ) такой, что существуют положительные константы С , В , n 0 , m 0 такие, что
Следовательно, по определению левая часть является подмножеством правой части. Соотношение 5 доказано.
Соотношение 6: С O ( f ( n )) = O ( f ( n )), если С - константа; (1.2.6)
Существует такая константа В , что , по определению (1.1.1) С = О (1). Тогда С O ( f ( n )) = О (1) O ( f ( n )) = (по 1.2.4) = O ( f ( n )).
Соотношение 7: O ( f ( n ) g ( n )) = f ( n ) O ( g ( n )) . (1.2.7)
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a ( n ), такие, что существуют константы С , n 0 , что
По определению символа О мы получаем верное равенство (1.2.7). Соотношение 7 доказано.
Соотношение 8: O ( f ( n ) 2 ) = O ( f ( n )) 2 . (1.2.8)
O ( f ( n ) 2 ) = O ( f ( n ) · f ( n )) = (по 1.2.7) = f ( n ) · O ( f ( n )) = (по 1.2.3) = О( f ( n )) · O ( f ( n )) = O ( f ( n )) 2
Соотношение 9: е O ( f ( n )) = 1 + O ( f ( n )) , если f ( n ) = О(1) (1.2.9)
е O ( f ( n )) = е g ( n ) , где . Т.к. f ( n ) = О(1), т.е. , то.
. Значит е O ( f ( n )) = 1 + O ( f ( n )) .
Соотношение 10: Если сумма сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z = z 0 , то
Данное соотношение очевидно, поскольку
Замечание 4 : В частности, S ( z ) = O (1) при z 0 и S (1/ n ) = O (1) при n при том только условии, что S ( z ) сходится хотя бы для одного ненулевого значения z . Мы можем использовать этот принцип для того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого удобного места, оценить этот хвост через О . Так, например, не только S ( z ) = O (1), но и
S ( z ) = a 0 + O ( z ), S ( z ) = a 0 + a 1 z + O ( z 2 ),
а последняя сумма, как и сама S ( z ), абсолютно сходится при z = z 0 и есть О (1).
В таблице №1 приведены самые полезные асимптотические формулы [2], половина из которых получена просто путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим правилом.
§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравн е ний: действител ь ного переменного
где u - действительный параметр, - гиперболический тангенс [6], , х и th x - непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.
Найдем асимптотические приближения для корня:
1). Функция u ( x ) = x + th x непрерывна и строго монотонна на R . По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х ( и ), непрерывная и строго монотонная на Е и = R .
Так как при х и ( х ), то при и х ( и ).
Значит, х ( и ) ~ и, при и . Это первое асимптотическое приближение для корня.
+ С , где С - некоторая константа. По определению символа О thx = 1+ O (1).
x = и - 1 + О (1) - это второе асимптотическое приближение корня.
3). Докажем, что е -2 х = О ( е -2 и ): (2.1.1)
подставим второе асимптотическое приближение корня
е -2 х = е -2( и - 1 + О (1)) = е -2 и е 2 е О (1) = (по 1.2.3 и 1.2.9) = е 2 О ( е -2 и ) (1 + О (1)) =
(по 1.2.3) = е 2 О ( е -2 и ) (2 О (1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О ( е -2 и ).
Разложим th x в ряд [6], удобный при больших х :
th x = 1 - 2е -2х + 2е -4х - 2е -6х +… (х > 0)
если ряд сходится при , тогда для фиксированного n в любом круге , где .
Ряд - 2е -2х + 2е -4х - 2е -6х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x - 1 . Значит, по теореме: th x - 1 = О(е -2х ) , т.е. th x =О(е -2х )+ 1.
Тогда x = и - th x = и - 1 + О(е -2х ) = (по 2.1.1) = и - 1 + О(О(е -2и )) =
Таким образом, x = и - 1 + О(е -2и ) - этот третье асимптотическое приближение корня.
4). Докажем, что е -2 х = е -2 и+ 2 + О ( е -4 и ): (2.1.3)
подставим третье асимптотическое приближение корня
Ряд 2е -4х - 2е -6х + 2е -8х - 2е -10х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x - 1 + 2е -2х . Значит, по теореме: th x - 1 + 2е -2х = О(е -4х ) , т.е. th x =О(е -4х )+ 1 - 2е -2х .
Тогда x = и - th x = и - 1 + 2е -2х + О(е -4х ) = (по 2.1.3) =
= и - 1 + 2(е -2и+2 + О(е -4и )) + О(е -4х ) = (по 1.2.6) =
= и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) + О(е -2х е -2х ) = (по 2.1.1) =
= и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) + О(О(е -2и ) О(е -2и )) = (по 1.2.4) =
= и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) + О(О(е -4и )) = (по 1.2.5) =
= и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) + О(е -4и ) = и - 1 + 2е -2и+2 + 2 О(е -4и ) = (по 1.2.6) =
Таким образом, x = и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.
Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:
2) х = и - 1 + О (1) = 5 - 1 = 4; (не учитываем ошибку О (1))
3) x = и - 1 + О(е -2и ) = 5 - 1 = 4; (не учитываем ошибку О ( е -2и ))
4) x = и - 1 + 2е -2и+2 + О(е -4и ) = 5 - 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О ( е -4и ))
Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…
Найдем большие положительные корни уравнения
Это уравнение можно обратить следующим образом:
где n - целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n при ( n > ).
§2. Асимптотическое решение интегралов
Пример 2. Вычислить при +0, , А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = А k , k x < k + 1, А k = а 1 + а 2 +…+ а k , а k = k -1 . Причем .
Воспользуемся асимптотической формулой [4]
где - постоянная Эйлера . Введем функцию A( х) = lnx + .
Последний интеграл имеет порядок О ( ln ) при +0, а предпоследний - равен - /2, так что
Оценим интеграл J . Пусть , тогда k 1
Прологарифмируем , получим . Значит
§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда
При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:
В k - числа Бернулли, В m ({ x }) - многочлен Бернулли.
. Коэффициенты k вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:
По 1.2.10 Н k = ln k + O (1). Тогда .
Применим формулу суммирования Эйлера:
Применим формулу суммирования Эйлера:
Пример 3. Найти асимптотику при n суммы
Члены этой суммы быстро растут с ростом номера, так что главный член асимптотики равен последнему члену суммы: S ( n ) ~ n !, n . Действительно,
1. Брейн, Н.Г. Асимптотические методы в анализе / Н.Г. Брейн. - М.: Иностранная литература, 1961.
2. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. - М.: Мир, 1998.
3. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. - М.: Наука, 1978.
4. Панченков, А.Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики / А.Н. Панченков. - Новосибирск: Наука, 1982.
5. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1987.
6. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1969.
Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений. методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем. дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010
Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений. курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач. курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013
Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду. контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014
Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников. курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010
Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений. контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Символ "О" - асимптотический анализ дипломная работа. Математика.
Контрольная работа: Техника обучения спортивному виду плавания кроль на спине
Курсовая работа по теме Институт договора поставки в гражданском праве РФ
Сочинение Н Тему Памятный День
Международно Правовая Ответственность Физических Лиц Эссе
Реферат: Франция как турпродукт. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет по практике по теме Основы товароведения в ООО 'Эр эс ай'
Курсовая работа: Кадры и производительность труда крестьянского хозяйства Смирнова А.В.
Курсовая работа по теме Разработка модели оценки уровня качества
Доклад: Латинская Америка и Россия
Реферат На Тему Россия Правовое Государство
Реферат: Тенденции развития семейно-брачных отношений 11 Заключение 14 Список использованных источников 15
Реферат На Тему Организация Деятельности Центробанка
Небольшое Сочинение О Маме 4 Класс
Реферат: Абсорбція лікарської речовини в організмі
Психоанализ Фрейда Реферат По Философии
Практическое задание по теме Леонардо да Винчи как философ (философия)
Сочинение Карманные Деньги
Доклад: Сжатие информации
Как Писать Характеристику Студенту На Практике
Составление Практические Работы
Международные стандарты бухгалтерского учета - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Обеспечение надежности при строительстве и эксплуатации подводных переходов трубопроводов через водные преграды - Геология, гидрология и геодезия курсовая работа
Современные возможности криминалистической экспертизы холодного оружия - Государство и право дипломная работа