Схемы первой производной различного порядка точности
Схемы первой производной различного порядка точностиРешение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
=== Скачать файл ===
Для того чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно: Если пронумеровать все узлы в некотором порядке x 1 ,x 2 , Для этого каждая из производных заменяется разностным отношением, содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Рассмотрим пример аппроксимации первых и вторых производных функции одного переменного. Заменить ее разностным выражением можно бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены 2. Естественно требовать, чтобы при стремлении h к нулю эта погрешность стремилась к нулю. Для этого построим два семейства прямых 2. В результате задаче 2. Матричная запись для случая нулевых граничных условий. Рассмотрим уравнение Пуассона с нулевыми граничными условиями: Матричная запись для случая граничных условий первого рода. Рассмотрим случай уравнение Пуассона с граничными условиями Дирихле 2. Пусть на одной границе задано граничное условие Неймана: Рассмотрим третью краевую задачу 2. Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами 2. Приведем разностную схему с центральными разностями 2. Эти условия для схемы с центральными разностями будут выполнены лишь при достаточно малых шагах сетки малых скоростях в задачах конвективного переноса 2. Будем рассматривать следующее разностное уравнение 2. Краевые и начальные условия аппроксимируем точно: Условие устойчивости явной схемы требует мелкого шага по времени. Поэтому применяются безусловно устойчивые неявные схемы с итерационными процессами. Итерационными методы предполагают задание достаточно близких к искомому решению начальных данных. Рассмотрим различные неявные схемы для одномерного квазилинейного параболического уравнения 2. Обе они абсолютно устойчивы. Итерационный процесс строится следующим образом: В качестве начальной итерации берется функция y предыдущего шага по времени: Итерационный процесс для большинства встречающихся на практике коэффициентов k и f сходится. Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации. При счете по итерационной схеме 2. Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одинаковый порядок аппроксимации, то казалось бы, что схема а имеет преимущества перед итерационной схемой б. Но, как показывает практика, для получения одинаковой точности счета схема б позволяет использовать настолько более крупный шаг по времени, что, несмотря на необходимость итераций, это приводит к уменьшению объема вычислительной работы. Можно использовать схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и времени. Для решения задачи 2. Рассмотрим метод Ньютона на следующей задаче. Требуется найти корни уравнения 2. Метод имеет квадратичную сходимость, то есть в отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: Быстрая сходимость метода Ньютона гарантируется лишь при очень хороших, то есть близких к точному решению, начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.
Гадание на 36 картах на имя любимого
Где сделать кт ребенку в москве