Схема интегрирования уравнений газовой динамики

Способы описания газодинамических течений и построение разностных схем.

=== Скачать файл ===

ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ

Газовой Динамики Уравнения

Еще раз напомним уравнения плоских установившихся течений идеального газа: В них и — потенциальная функция, функция тока, плотность газа — известная функция величины скорости , для адиабатических режимов она имеет вид где у — постоянная, характеризующая газ отношению теплоемкостей при постоянном давлении и объеме. Вместо 2 газовый режим можно характеризовать также заданием расхода как функции от скорости для адиабатических режимов график этой зависимости показан на рис. Интервал скоростей соответствует дозвуковым течениям; здесь расход растет вместе со скоростью и система 1 имеет эллиптический тип. Интервал соответствует сверхзвуковым течениям, здесь при росте скорости расход падает и система 1 имеет гиперболический тип. Величина максимально возможная для данного газа скорость. Система 1 — нелинейная система уравнений с частными производными. При режиме 2 из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазилинейное уравнение где квадрат скорости звука Р — давление ; равенство равносильно Естественно, что это уравнение имеет эллиптический тип при гиперболический при его дискриминант Математическое исследование системы 1 при адиабатическом режиме 2 или — что то же самое — уравнения 3 довольно затруднительно. Поэтому при изучении качественных вопросов, связанных с течениями газов, естественно попытаться ввести некоторый фиктивный газовый режим так, чтобы, с одной стороны, максимально упростить математический формализм и, с другой стороны, сохранить общий характер явлений. Такого рода упрощения впервые сделал С. Чаплыгин, который еще в г. Получаемый таким образом фиктивный газ называется газом Чаплыгина, соответствующее ему уравнение для потенциала имеет вид Это — уравнение минимальных поверхностей, т. Ему посвящена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение 3. Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. Можно было бы попытаться моделировать систему 1 , заменив ее парой простейших систем соответствующего типа: Однако такая модель слишком груба, в ней разрывны основные характеристики течения. Качественные явления газовой динамики существенно лучше отражает модель, предложенная М. Лаврентьевым в г. Сверхзвуковая часть модели была рассмотрена в работе М. Мы введем эту модель, задав следующий фиктивный газовый режим: Сравнивая его с рис. Правда, для очень больших скоростей характер модели иной — для нее максимальная скорость а расход всегда остается большим 1. Заметим, что зависимость от давления Р, которая для адиабатического режима изображается кривой см. I , в нашей модели изображается ломаной, состоящей из двух звеньев: Для нашей модели равна 1 в дозвуковом режиме при и равна в сверхзвуковом поэтому система 1 для нее имеет вид Учитывая, что мы можем дифференцированием исключить из этой системы функцию Для дозвуковых скоростей мы получим обычное уравнение Лапласа а для сверхзвуковых скоростей уравнение гиперболического типа похожее на 3. Эти уравнения можно объединить, и мы получим где Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока: III мы отметили, что для системы уравнений газовой динамики она имеет вид где В случае нашей модели при при поэтому производная система запишется так: Введем еще функцию от скорости: Теперь уравнения для производной системы примут вид т. Мы будем рассматривать три плоскости: В дозвуковой области функция аналитична, представляет собой антианалитическую функцию. В сверхзвуковой области решения нашей системы допускают простое представление. В самом деле, из формул 12 вытекает, что при откуда где произвольные функции, а тогда из 12 найдется и а; учитывая еще 11 , найдем В сверхзвуковой зоне существенную роль играют характеристики системы. Для рассматриваемой модели в плоскости потенциала ими служат прямые и а в плоскости годографа — линии - т. В классической теории характеристиками в плоскости годографа являются эпициклоиды, причем на линии перехода характеристики различных систем касаются друг друга рис. Якобианы отображений о и в дозвуковой зоне равны и обращаются в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой зоне эти якобианы равны они могут обращаться в нуль и менять знак на характеристиках. В сверхзвуковой зоне легко представить через функции отображение плоскости потенциала на плоскость течения. Прежде всего, из соотношений мы находим а учитывая, что из системы 1 получаем Далее, так как у нас отличен от нуля, то можно перейти к производным обратных функций и тогда получим Введем, наконец, новые переменные так что и тогда интегрированием найдем искомое представление: Для простоты письма можно еще ввести функции и аналогично, с заменой на функции а также положить тогда будем иметь Из формул 17 легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Размерностный подход Глава II. Гармонические функции Глава III. Приближенные методы Глава IV. Задачи с переходом через скорость звука Глава V. Склеивание вихревых и потенциальных течений Глава VI. Гидродинамические задачи Глава VII. Кумулятивные струи Глава VIII. Распространение волн и проблема цунами Глава IX. Формирование и движение вихрей Глава Х. Равновесия в жидких средах Глава XI. Модель уравнений газовой динамики Классические уравнения. В них и — потенциальная функция, функция тока, плотность газа — известная функция величины скорости , для адиабатических режимов она имеет вид. Эти уравнения можно объединить, и мы получим где. Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока: Теперь уравнения для производной системы примут вид. В классической теории характеристиками в плоскости годографа. В сверхзвуковой зоне легко представить через функции отображение плоскости потенциала на. Для простоты письма можно еще ввести функции и аналогично, с заменой на функции а также положить тогда будем иметь. Из формул 17 легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Именно, вдоль характеристики первого семейства и имеем а вдоль характеристик второго семейства Отсюда и из 13 видно, что направление биссектрисы угла между характеристиками совпадает с направлением вектора скорости; угол между скоростью и характеристикой угол Маха равен.

Связать кофту из мотивов крючком видео

Парки адлера как добраться

Эротические рассказы подруга мамы

Как убрать домашнюю страницу в браузере

Охрана труда статья 214

Правила благоустройства территории города ярославля

Сколько действует технический паспорт на квартиру

Как работает инверторный генератор

План схема хозяйства

Расписание автобусов ханты пыть ях

Сколько масла в газ 3309

Чем можно сделать выкуп невесты кроме денег