Seins X
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Seins X
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In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form
x
↦
a
x
{\displaystyle x\mapsto a^{x}}
mit einer reellen Zahl
a
>
0
und
a
≠
1
{\displaystyle a>0{\text{ und }}a\neq 1}
als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten
x
{\displaystyle x}
die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen , bei denen die Basis die unabhängige Größe ( Variable ) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften , z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen , eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum ).
Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion
x
↦
e
x
{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
mit der eulerschen Zahl
e
=
2,718
281
828
459
…
{\displaystyle e=2{,}718\,281\,828\,459\dotso }
als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise
x
↦
exp
(
x
)
{\displaystyle x\mapsto \exp(x)}
. Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung
a
x
=
e
x
⋅
ln
a
{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}
jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis
e
{\displaystyle e}
zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis
e
{\displaystyle e}
.
Die Exponentialfunktion zu der Basis
e
{\displaystyle e}
kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.
Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe , die sogenannte Exponentialreihe
wobei
n
!
{\displaystyle n!}
die Fakultät von
n
{\displaystyle n}
bezeichnet.
Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
:
Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion
exp
:
C
→
C
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
auf den komplexen Zahlen geeignet (s. weiter unten).
Die reelle Exponentialfunktion
exp
:
R
→
R
>
0
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{>0}}
ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv . Dabei bezeichnet
R
>
0
{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}
die Menge der positiven reellen Zahlen.
Sie ist folglich bijektiv .
Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion , der natürliche Logarithmus
ln
:
R
>
0
→
R
{\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }
.
Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.
Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe
lässt sich für alle reellen und komplexen
x
{\displaystyle x\;}
einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz . Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind, [1] ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig . [2]
Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung
exp
(
x
+
y
)
=
exp
(
x
)
⋅
exp
(
y
)
{\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}
erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:
für alle
a
>
0
{\displaystyle a>0}
und alle reellen oder komplexen
x
{\displaystyle x}
.
Generell gilt diese Umformung von
a
x
{\displaystyle a^{x}}
auch für beliebige andere Werte
b
{\displaystyle b}
als neue Basis:
Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition.
Genauer zeigen das die folgenden Potenzgesetze :
Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen
a
{\displaystyle a\,}
und
b
{\displaystyle b\,}
und alle reellen
x
{\displaystyle x}
und
y
{\displaystyle y}
.
Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:
Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis
e
{\displaystyle e}
, beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Funktion selbst ergibt:
fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
, die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit dieser Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.
Allgemeiner folgt für reelles
a
>
0
{\displaystyle a>0}
aus
und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:
In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich die Stammfunktion der e-Funktion:
Für beliebige Exponentialfunktionen mit
a
>
0
{\displaystyle a>0}
und
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
gilt:
lässt sich die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen
z
{\displaystyle z}
definieren. Die Reihe konvergiert für alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
absolut.
Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen Zahlen
z
{\displaystyle z}
,
w
{\displaystyle w}
folgende wichtige Eigenschaften:
Die Exponentialfunktion ist somit ein surjektiver, aber nicht injektiver Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe
(
C
,
+
,
0
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+,0)}
auf die abelsche Gruppe
(
C
∖
{
0
}
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot ,1)}
, also von der additiven auf die multiplikative Gruppe des Körpers
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
In
∞
{\displaystyle \infty }
hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität , ansonsten ist sie holomorph , d. h., sie ist eine ganze Funktion .
Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
, es gilt also
Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen
mit
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
, dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus .
Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:
Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel
Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung
der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
und der Frequenz
f
{\displaystyle f}
.
Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:
Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:
Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche . Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung
entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion
x
↦
e
i
x
{\displaystyle x\mapsto e^{ix}}
mit reellem Argument
x
{\displaystyle x}
. Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang
2
π
{\displaystyle 2\pi }
des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.
Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren , zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm , verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe
definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.
Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion
ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte
x
{\displaystyle x}
und
y
{\displaystyle y}
, die kommutieren , also für Werte mit
x
⋅
y
=
y
⋅
x
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
(dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist).
Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln .
Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form
y
˙
=
A
⋅
y
{\displaystyle {\dot {y}}=A\cdot y}
mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
-Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix
C
{\displaystyle C}
, so dass
C
−
1
A
C
=
D
+
N
{\displaystyle C^{-1}AC=D+N}
, wobei
D
{\displaystyle D}
eine Diagonalmatrix und
N
{\displaystyle N}
eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit
Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension
n
{\displaystyle n}
der Matrix
A
{\displaystyle A}
ist.
Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.
Der Rest der
N
{\displaystyle N}
-ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe , welche auf
Die einfachste Reduktion benutzt die Identität
exp
(
2
z
)
=
exp
(
z
)
2
{\displaystyle \exp(2z)=\exp(z)^{2}}
, d. h. zu gegebenem
x
{\displaystyle x}
wird
z
:=
2
−
K
⋅
x
{\displaystyle z:=2^{-K}\cdot x}
bestimmt, wobei
K
{\displaystyle K}
nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit,
y
K
≈
e
z
{\displaystyle y_{K}\approx e^{z}}
berechnet und
K
{\displaystyle K}
-fach quadriert:
y
n
−
1
:=
y
n
2
{\displaystyle y_{n-1}:=y_{n}^{2}}
.
y
0
{\displaystyle y_{0}}
wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als
exp
(
x
)
{\displaystyle \exp(x)}
zurückgegeben.
Effizientere Verfahren setzen voraus, dass
ln
(
2
)
{\displaystyle \ln(2)}
, besser zusätzlich
ln
(
3
)
{\displaystyle \ln(3)}
und
ln
(
5
)
{\displaystyle \ln(5)}
( Arnold Schönhage ) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten
benutzt werden, um
x
{\displaystyle x}
Porno Pere Avec Sa Fille
J'ai Une Trop Grosse Bite
Elle Allaite Son Fils De 42 Ans