Самое замечательное число
В 73-й серии популярного ситкома "Теория большого взрыва" Шелдон Купер заметил, что число 73 обладает тремя нетривиальными свойствами, которые делают его "самым замечательным числом".
Шелдон: Самое замечательное число - 73. Вы, скорее всего, теряетесь в догадках почему. 73 - это 21-ое простое число. Его зеркальное отражение 37 является 12-ым, чье отражение 21 является результатом умножения, не упадите, 7 и 3.
Леонард: Убедил. Число 73 - Чак Норрис всём числам.
Шелдон: Чак Норрис нервно курит в сторонке. В двоичной системе 73 ещё и палиндром. 1001001, что справа налево читается как 1001001, т.е. абсолютно идентично. А ваш Чак Норрис задом наперёд всего лишь Сиррон Кач.
На тот момент утверждение было голословным: никто, возможно, кроме самого Шелдона не проверял, что других чисел с перечисленными свойствами не существует.
Впервые гипотеза Шелдона привлекла внимание математического сообщества в 2015 году, когда математики Джесси Бирнс, Крис Спайсер и Алисса Тернквист строго её переформулировали и провели предварительный качественный анализ. В журнале Math Horizons учёные опубликовали свои заметки для студентов, заинтересованных в математике, т.к. на момент написания работы Бирнс и Тернквист сами были студентами. Математики показали, что не существует чисел, которые одновременно обладают свойствами "зеркальности" и "произведения", кроме 73.
Заявление Шелдона на математическом языке звучит так: Обозначим n-ое простое число как p(n). Определим зеркальное число m(x), которое получается перестановкой цифр числа x в десятичной записи. Например, m(922) =229, m(1200) =21. Тогда первое свойство запишется как m(p(n)) =p(m(n)). В принципе, чисел, которые удовлетворяют этому свойству, довольно много. Среди первых десяти миллиардов простых чисел, почти 15% имеют зеркального брата. Например, в первой десятке таких чисел семь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Теперь введём функцию П(x), которая возвращает произведение цифр числа х в десятичном представлении. Например, П(647)=168, П(81) =8. Второе свойство выглядит так: П(р(х)) = n. Число m(p(n)) со свойством "зеркальности" также должно быть m(n)-ым по счету простым. Очевидно, ему удовлетворяют однозначные простые числа 2, 3, 5, 7, а также пара 37 и 73. Помимо этих тривиальных примеров, среди первых десяти миллиардов простых чисел встречается только одно число со свойством зеркальности - это р(8114118) =143787341. Интересно, что в этом случае и n и р(n) являются палиндромами.
Но вот свойство "произведения" ограничивает множество кандидатов. Прежде всего, из него следует, что десятичная запись числа р(n) не содержит нуля. Если считать, что все десять цифр в записи числа встречаются с одинаковой вероятностью, то это ограничение оставит из простых чисел длиной n порядка 0.9^n чисел. И чем больше n, тем меньше вероятность встретить число со свойством "произведения".
Также нужно отметить, что простые делители числа П(х) ограничиваются множеством 2, 3, 5, 7, поскольку П(х) получается умножением десятичных цифр. Математики называют такое число 7-гладким. Теперь можем отбросить все простые числа, номер которых делится на простое число больше семи. Среди первого миллиарда простых чисел только 3039 чисел удовлетворяют обоим свойствам.
После полноценной проверки свойства "произведения", из этих кандидатов остаётся только три числа: 17, 73 и 2475989(7-ое, 21-ое и 181440-ое простое число), а свойство "зеркальности" оставляет из них только 73.
И напоследок, ещё один интересный факт. Число 73 на азбуке Морзе также является палиндромом(- - ... ... - -)