Сайт Много Членов
👉🏻👉🏻👉🏻 ЗА ПОДРОБНОСТЯМИ ЖМИ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать .
Возможно у вас включен AdBlock . В этом случае отключите его и обновите страницу .
Т .к . желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь .
Через несколько секунд решение появится ниже .
Пожалуйста подождите сек . . .
С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен .
В процессе работы программа:
- умножает многочлены
- суммирует одночлены (приводит подобные)
- раскрывает скобки
- возводит многочлен в степень
Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т .е . отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре .
Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре .
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением .
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается .
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов .
Приведем примеры таких выражений:
5 a 4 − 2 a 3 + 0 , 3 a 2 − 4 , 6 a + 8 5 a 4 − 2 a 3 + 0 , 3 a 2 − 4 , 6 a + 8
x y 3 − 5 x 2 y + 9 x 3 − 7 y 2 + 6 x + 5 y − 2 x y 3 − 5 x 2 y + 9 x 3 − 7 y 2 + 6 x + 5 y − 2
Сумму одночленов называют многочленом . Слагаемые в многочлене называют членами многочлена . Одночлены также относят к многочленам,
считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена .
Например, многочлен
8 b 5 − 2 b ⋅ 7 b 4 + 3 b 2 − 8 b + 0 , 25 b ⋅ ( − 12 ) b + 16 8 b 5 − 2 b ⋅ 7 b 4 + 3 b 2 − 8 b + 0 , 25 b ⋅ ( − 12 ) b + 16
можно упростить .
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
8 b 5 − 2 b ⋅ 7 b 4 + 3 b 2 − 8 b + 0 , 25 b ⋅ ( − 12 ) b + 16 = 8 b 5 − 2 b ⋅ 7 b 4 + 3 b 2 − 8 b + 0 , 25 b ⋅ ( − 12 ) b + 16 =
= 8 b 5 − 14 b 5 + 3 b 2 − 8 b − 3 b 2 + 16 = 8 b 5 − 14 b 5 + 3 b 2 − 8 b − 3 b 2 + 16
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
8 b 5 − 14 b 5 + 3 b 2 − 8 b − 3 b 2 + 16 = − 6 b 5 − 8 b + 16 8 b 5 − 14 b 5 + 3 b 2 − 8 b − 3 b 2 + 16 = − 6 b 5 − 8 b + 16
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных .
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов .
Так, двучлен 12 a 2 b − 7 b 12 a 2 b − 7 b имеет третью степень, а трехчлен 2 b 2 − 7 b + 6 2 b 2 − 7 b + 6 — вторую .
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени .
Например:
5 x − 18 x 3 + 1 + x 5 = x 5 − 18 x 3 + 5 x + 1 5 x − 18 x 3 + 1 + x 5 = x 5 − 18 x 3 + 5 x + 1
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида .
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки . Поскольку заключение в скобки — это
преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками .
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками .
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена . Например:
9 a 2 b ( 7 a 2 − 5 a b − 4 b 2 ) = 9 a 2 b ( 7 a 2 − 5 a b − 4 b 2 ) =
= 9 a 2 b ⋅ 7 a 2 + 9 a 2 b ⋅ ( − 5 a b ) + 9 a 2 b ⋅ ( − 4 b 2 ) = = 9 a 2 b ⋅ 7 a 2 + 9 a 2 b ⋅ ( − 5 a b ) + 9 a 2 b ⋅ ( − 4 b 2 ) =
= 63 a 4 b − 45 a 3 b 2 − 36 a 2 b 3 = 63 a 4 b − 45 a 3 b 2 − 36 a 2 b 3
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена .
Этот результат обычно формулируют в виде правила .
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена .
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму .
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого .
Обычно пользуются следующим правилом .
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные
произведения .
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими . Пожалуй, наиболее часто
встречаются выражения ( a + b ) 2 , ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 , ( a − b ) 2 и a 2 − b 2 a 2 − b 2 , т . е . квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов .
Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 — это, конечно, не просто квадрат
суммы, а квадрат суммы а и b . Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем
оказываются различные, иногда довольно сложные выражения .
Выражения ( a + b ) 2 , ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 , ( a − b ) 2 нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + a b + b a + b 2 = ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + a b + b a + b 2 =
= a 2 + 2 a b + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок . Помогают этому краткие словесные формулировки .
( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения .
( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения .
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) - разность квадратов равна произведению разности на сумму .
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми .
Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b . Рассмотрим несколько
примеров использования формул сокращенного умножения .
Первый многочлен (делимое - что делим):
Второй многочлен (делитель - на что делим):
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать .
Возможно у вас включен AdBlock . В этом случае отключите его и обновите страницу .
Т .к . желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь .
Через несколько секунд решение появится ниже .
Пожалуйста подождите сек . . .
С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком .
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т .е . отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре .
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре .
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением .
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается .
Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены , то для этого у
нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена
В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x),
степень которого меньше или равна степени многочлена f(x) .
Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную .
Для любых многочленов f ( x ) f ( x ) и g ( x ) g ( x ) , g ( x ) ≠ 0 g ( x ) ≠ 0 , существуют единственные полиномы
q ( x ) q ( x ) и r ( x ) r ( x ) , такие что
f ( x ) g ( x ) = q ( x ) + r ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) = q ( x ) + r ( x ) g ( x )
причем r ( x ) r ( x ) имеет более низкую степень, чем g ( x ) g ( x ) .
Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного q ( x ) q ( x ) и остатка r ( x ) r ( x )
для заданных делимого f ( x ) f ( x ) и ненулевого делителя g ( x ) g ( x )
Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
x 3 − 12 x 2 − 42 x − 3 x 3 − 12 x 2 − 42 x − 3
Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1 . Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ( x 3 / x = x 2 ) ( x 3 / x = x 2 )
2 . Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного) . Записываем результат под первыми
двумя элементами делимого ( x 2 ⋅ ( x − 3 ) = x 3 − 3 x 2 ) ( x 2 ⋅ ( x − 3 ) = x 3 − 3 x 2 )
3 . Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой
( x 3 − 12 x 2 + 0 x − 42 − ( x 3 − 3 x 2 ) = − 9 x 2 + 0 x − 42 ) ( x 3 − 12 x 2 + 0 x − 42 − ( x 3 − 3 x 2 ) = − 9 x 2 + 0 x − 42 )
4 . Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой .
6 . Конец алгоритма .
Таким образом, многочлен q ( x ) = x 2 − 9 x − 27 q ( x ) = x 2 − 9 x − 27 — частное деления многочленов, а r ( x ) = − 123 r ( x ) = − 123 — остаток от деления многочленов .
Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
x 3 − 12 x 2 − 42 = ( x − 3 ) ( x 2 − 9 x − 27 ) − 123 x 3 − 12 x 2 − 42 = ( x − 3 ) ( x 2 − 9 x − 27 ) − 123
или
x 3 − 12 x 2 − 42 x − 3 = x 2 − 9 x − 27 + − 123 x − 3 x 3 − 12 x 2 − 42 x − 3 = x 2 − 9 x − 27 + − 123 x − 3
Задание 1 . Сложить многочлены 8 x + 11 и 7 x + 5
(8 x + 11) + (7 x + 5) = 8 x + 11 + 7 x + 5 = 15 x + 16
Задание 2 . Вычесть из многочлена 8 x + 11 многочлен 7 x + 5
(8 x + 11) − (7 x + 5) = 8 x + 11 − 7 x − 5 = x + 6
8 a + (3 b + 5 a ) = 8 a + 3 b + 5 a = 13 a + 3 b
Задание 7 . Приведите следующий многочлен к стандартному виду:
Задание 8 . Приведите следующий многочлен к стандартному виду:
Задание 9 . Упростите следующее выражение:
Задание 10 . Упростите следующее выражение:
Задание 11 . Упростите следующее выражение:
Задание 12 . Представьте многочлен 5 a 2 − 2 a − 3 ab + b 2 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых 5 a² − 2 a
5 a 2 − 2 a − 3 ab + b 2 = (5 a 2 − 2 a ) + (−3 ab + b 2 )
Задание 13 . В многочлене 2 x 3 + 5 x 2 y − 4 xy 2 − y 3 заключить крайние члены в скобки со знаком плюс (+) перед ними, а средние члены заключить в скобки со знаком минус (−) перед ними .
2 x 3 + 5 x 2 y − 4 xy 2 − y 3 = (2 x 3 − y 3 ) − (−5 x 2 y + 4 xy² )
Задание 14 . Не изменяя значения выражения 2 a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 , заключите его в скобки, поставив перед скобками знак (−)
2 a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 = −(−2 a 3 + 3 a 2 b − 3 ab 2 + b 3 )
Задание 15 . Представьте трёхчлен 2 a − b + 4 в виде разности двух выражений с уменьшаемым 2 a
Задание 16 . Привести подобные слагаемые в следующем многочлене:
Задание 17 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 18 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 19 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 20 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 21 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 22 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 23 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 24 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 25 . Выполните умножение одночлена на многочлен:
Задание 26 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 27 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 28 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 29 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 30 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 31 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 32 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 33 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 34 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 35 . Выполните умножение многочлена на многочлен:
Задание 36 . В многочлене 6 a + 12 вынесите общий множитель за скобки
Задание 37 . В многочлене 5 mn − 5 m вынесите общий множитель за скобки
Задание 38 . В многочлене x 3 − x 2 вынесите общий множитель за скобки
Задание 39 . В многочлене 3 x 2 − 6 x 3 вынесите общий множитель за скобки
Задание 40 . В многочлене x 4 − x 2 вынесите общий множитель за скобки
Задание 41 . В многочлене x 2 y − xy 2 вынесите общий множитель за скобки
Задание 42 . В многочлене a 3 b 2 + a 2 b 3 вынесите общий множитель за скобки
a 3 b 2 + a 2 b 3 = a 2 b 2 ( a + b )
Задание 43 . В многочлене a 8 b 2 + ab 4 вынесите общий множитель за скобки
a 8 b 2 + ab 4 = ab 2 ( a 7 + b 2 )
Задание 44 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 45 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 46 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 47 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 48 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 49 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 50 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 51 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 52 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 53 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Задание 54 . Вынесите общий множитель за скобки в следующем многочлене:
Пошаговое изучение математики для начинающих
Например, выражение 2 x + 4 xy 2 + x + 2 xy 2 является многочленом . Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс» .
В некоторых многочленах одночлены могут соединяться знаком «минус» . Например, 3 x − 5 y − 2 x . Следует иметь ввиду, что это по-прежнему сумма одночленов . Многочлен 3 x − 5 y − 2 x это сумма одночленов 3 x , −5 y и − 2 x , то есть 3 x + (−5 y ) + (−2 x ) . После раскрытия скобок образуется многочлен 3 x − 5 y − 2 x .
3 x + (−5 y ) + (−2 x ) = 3 x − 5 y − 2 x
Соответственно, рассматривая по отдельности каждый одночлен многочлена, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается . Так, в многочлене 3 x − 5 y − 2 x минус перед одночленом 5 y относится к коэффициенту 5 , а минус перед одночленом 2 x относится к коэффициенту 2 . Чтобы не противоречить определению многочлена, вычитание можно заменять сложением:
3 x − 5 y − 2 x = 3 x + (−5 y ) + (−2 x )
Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, учитывая в будущем, что каждый одночлен многочлена будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается .
Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена .
Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом . Например, многочлен x + y является двучленом .
Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом . Например, многочлен x + y + z является трехчленом .
Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом многочлена . Например, в многочлене 3 x + 5 y + z + 7 член 7 является свободным членом . Свободный член многочлена не содержит буквенной части .
Многочленом также является любое числовое выражение . Так, следующие выражения являются многочленами:
К многочлену можно прибавить другой многочлен . Например, прибавим к многочлену 2 x + y многочлен 3 x + y .
Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:
Таким образом, при сложении многочленов 2 x + y и 3 x + y получается многочлен 5 x + 2 y .
Разрешается также сложение многочленов в столбик . Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение . Решим предыдущий пример в столбик:
Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений . Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится» .
Например, сложим в столбик многочлены 2 x 2 + y 3 + z + 2 и 5 x 2 + 2 y 3 . Для начала запишем их так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполним их сложение . Обнаруживаем, что во втором многочлене не содержатся слагаемые, которые можно было бы сложить со слагаемыми z и 2 из первого многочлена . Поэтому слагаемые z и 2 переносятся к результату без изменений (вместе со своими знаками)
Решим этот же пример с помощью скобок:
(2 x 2 + y 3 + z + 2) + (5 x 2 + 2 y 3 ) = 2 x 2 + y 3 + z + 2 + 5 x 2 + 2 y 3 = (2 x 2 + 5 x 2 ) + ( y 3 + 2 y 3 ) + z + 2 = 7 x 2 + 3 y 3 + z + 2
Пример 3 . Сложить многочлены 7 x 3 + y + z 2 и x 3 − z 2
Решим этот пример в столбик . Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:
Во втором многочлене не было слагаемого, которого можно было бы сложить со слагаемым y из первого многочлена, поэтому это слагаемое было перенесёно к результату без изменений . А сложение подобных слагаемых z 2 и − z 2 дало в результате 0 . Ноль по традиции не записываем . Поэтому окончательный ответ это 8 x 3 + y .
Решим этот же пример с помощью скобок:
(7 x 3 + y + z 2 ) + ( x 3 − z 2 ) = 7 x 3 + y + z 2 + x 3 − z 2 = (7 x 3 + x 3 ) + ( z 2 − z 2 ) + y = 8 x 3 + y
Из многочлена можно вычесть другой многочлен . Например, вычтем из многочлена 2 x + y многочлен 3 x + y .
Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:
Приведём подобные слагаемые . Слагаемые y и −y являются противоположными . Сумма противоположных слагаемых равна нулю
Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их . Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена . Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых . Но можно не складывая, записать их друг за другом
Получится тот же результат, поскольку выражения y + (− y ) и y − y одинаково равны нулю:
Возвращаемся к нашему примеру . Вычеркнем члены y и −y :
А сложение подобных слагаемых 2 x и −3 x , даст в результате − x
Или без сложения, записав члены друг за другом:
Значит, при вычитании из многочлена (2 x + y ) многочлена (3 x + y ) получится одночлен − x .
Пример 2 . Вычесть из многочлена 13 x − 11 y + 10 z многочлен −15 x + 10 y − 15 z
Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:
(13 x − 11 y + 10 z ) − (−15 x + 10 y − 15 z ) = 13 x − 11 y + 10 z + 15 x − 10 y + 15 z = (13 x + 15 x ) + (−11 y − 10 y ) + (10 z + 15 z ) = 28 x + (−21 y ) + 25 z = 28 x − 21 y + 25 z
Следует быть внимательным при вычитании в столбик . Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá . Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым .
Так, в данном примере из слагаемого 10 z вычиталось слагаемое −15 z
Результат вычисления этого выражения должен быть положительным, поскольку 10 z − (−15 z ) = 10 z + 15 z .
Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать . Так, в данном примере из многочлена 13 x − 11 y + 10 z требовалось вычесть многочлен −15 x + 10 y − 15 z
(13 x − 11 y + 10 z ) − (−15 x + 10 y − 15 z )
Но первый многочлен можно не заключать в скобки:
13 x − 11 y + 10 z − (−15 x + 10 y − 15 z )
Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части .
Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов . По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена .
Пусть имеется многочлен 3 x + 5 y + z + 7 . Представим его в виде суммы двух многочленов .
Итак, из членов исходного многочлена нужно образовать два многочлена, сложенные между собой . Давайте заключим в скобки члены 3 x и 5 y , а также члены z и 7 . Далее объединим их с помощью знака «плюс»
Значение исходного многочлена при этом не меняется . Если раскрыть скобки в получившемся выражении (3 x + 5 y ) + ( z + 7) , то снова получим многочлен 3 x + 5 y + z + 7 .
(3 x + 5 y ) + ( z + 7) = 3 x + 5 y + z + 7
В скобки также можно было бы заключить члены 3 x , 5 y , z и прибавить это выражение в скобках к члену 7
Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила . Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные .
Вернемся к многочлену 3 x + 5 y + z + 7 . Представим его в виде разности двух многочленов . Давайте заключим в скобки многочлен 3 x и 5 y , а также z и 7, затем объединим их знаком «минус»
Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки . Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные . Делать это нужно внутри скобок:
Заключая члены в скобки, нужно следить за тем, чтобы значение нового выражения тождественно было равно предыдущему выражению . Этим и объясняется замена знаков членов внутри скобок . Если в выражении (3 x + 5 y ) − (− z − 7) раскрыть скобки, то получим изначальный многочлен 3 x + 5 y + z + 7 .
(3 x + 5 y ) − (− z − 7) = 3 x + 5 y + z + 7
Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:
Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками .
Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками .
Пример 1 . Представить многочлен 3 x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:
Пример 2 . Представить многочлен 3 x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:
Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5 x 2 и −4 были записаны с противоположными знаками .
Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду . В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать .
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене . Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена , а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов .
Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть .
Приведём многочлен 2 x + 4 xy 2 + x − xy 2 к стандартному виду . Для этого приведём его подобные члены . Подобными членами в этом многочлене являются 2 x и x , а также 4 xy 2 и − xy 2 .
В результате получили многочлен 3 x + 3 xy 2 , который не имеет подобных членов . Такой вид многочлена называют многочленом стандартного вида .
Как и у одночлена, у многочлена имеется степень . Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех .
В предыдущем примере мы привели многочлен 2 x + 4 xy 2 + x − xy 2 к стандартному виду . В результате получили многочлен 3 x + 3 xy 2 . Он состоит из двух одночленов . Степенью первого одночлена является 1, а степенью второго одночлена является 3 . Наибольшая из этих степеней является 3 . Значит, многочлен 3 x + 3 xy 2 является многочленом третьей степени .
А поскольку многочлен 3 x + 3 xy 2 тождественно равен предыдущему многочлену 2 x + 4 xy 2 + x − xy 2 , то и этот предыдущий многочлен является многочленом третьей степени .
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов .
В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду .
Например, приведем многочлен 3 xx 4 + 3 xx 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 x к стандартному виду . Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду . Сначала приведём их к стандартному виду:
3 xx 4 + 3 xx 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 − 5 x 3
Теперь получившийся многочлен 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 − 5 x 3 можно привести к стандартному виду . Для этого приведем его подобные члены . Подобными являются члены 3 x 5 и −5 x 5 . Больше подобных членов нет . Члены 3 x 4 и −5 x 3 будут переписаны без изменений:
3 xx 4 + 3 xx 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 − 5 x 3 = −2 x 5 + 3 x 4 − 5 x 3
Пример 2 . Привести многочлен 3 ab + 4 cc + ab + 3 c 2 к стандартному виду .
Сначала приведем одночлен 4 cc , входящий в исходный многочлен, к стандартному виду, получим 4 с 2
3 ab + 4 cc + ab + 3 c 2 = 3 ab + 4 с 2 + ab + 3 c 2
3 ab + 4 cc + ab + 3 c 2 = 3 ab + 4 с 2 + ab + 3 c 2 = 4 ab + 7 c 2
Пример 3 . Привести многочлен 4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y − y к стандартному виду .
Подобными членами в данном многочлене являются 4 x 2 и − x 2 , а также −4 y , 17 y и −y . Приведем их:
4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y − y = 3 x 2 + 12 y
Приводя подобные члены, можно использовать скобки . Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс» .
Решим предыдущий пример с помощью скобок . Подобными членами в нём были 4 x 2 и − x 2 , а также −4 y , 17 y и −y . Заключим их в скобки и объединим с помощью знака «плюс»
4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y − y = (4 x 2 − x 2 ) + (−4 y + 17 y − y )
Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:
4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y − y = (4 x 2 − x 2 ) + (−4 y + 17 y − y ) = (3 x 2 ) + (12 y )
В получившемся выражении (3 x 2 ) + (12 y ) раскроем скобки:
4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y − y = (4 x 2 − x 2 ) + (−4 y + 17 y − y ) = (3 x 2 ) + (12 y ) = 3 x 2 + 12 y
Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок .
Пример 4 . Привести многочлен 12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y к стандартному виду .
Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»
12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = (12 x 2 − 9 x 2 ) + (−9 y + 6 y + y )
12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = (12 x 2 − 9 x 2 ) + (−9 y + 6 y + y ) = (3 x 2 ) + (−2 y )
Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:
12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = (12 x 2 − 9 x 2 ) + (−9 y + 6 y + y ) = (3 x 2 ) + (−2 y ) = 3 x 2 − 2 y
Рассмотрим двучлен x − y . Как сделать так, чтобы член − y располагался первым, а член x вторым?
Многочлен это сумма одночленов . То есть исходный двучлен двучлен x − y является суммой x и −y
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется . Тогда x и −y можно поменять местами
Пример 2 . В двучлене −y − x поменять местами члены .
Двучлен −y − x это сумма членов −y и −x
Тогда согласно переместительному закону сложения получим (− x ) + (− y ) . Избавим выражение от скобок:
Таким образом, решение можно записать покороче:
Пример 3 . Упорядочить члены многочлена x + xy 3 − x 2 в порядке убывания степеней .
Наибольшую степень в данном многочлене имеет член xy 3 , далее − x 2 , а затем x . Запишем их в этом порядке:
x + xy 3 − x 2 = xy 3 − x 2 + x
Одночлен можно умножить на многочлен . Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить .
Например, умножим одночлен 3 x 2 на многочлен 2 x + y + 5 . При умножении одночлена на многочлен, последний нужно заключать в скобки:
Теперь умножим одночлен 3 x 2 на каждый член многочлена 2 x + y + 5 . Получающиеся произведения будем складывать:
3 x 2 (2 x + y + 5) = 3 x 2 × 2 x + 3 x 2 × y + 3 x 2 × 5
Вычислим получившиеся произведения:
3 x 2 (2 x + y + 5) = 3 x 2 × 2 x + 3 x 2 × y + 3 x 2 × 5 = 6 x 3 + 3 x 2 y + 15 x 2
Таким образом, при умножении одночлена 3 x 2 на многочлен 2 x + y + 5 получается многочлен 6 x 3 + 3 x 2 y + 15 x 2 .
Умножение желательно выполнять в уме . Так решение получается короче:
3 x 2 (2 x + y + 5) = 6 x 3 + 3 x 2 y + 15 x 2
В некоторых примерах одночлен располагается после многочлена . В этом случае опять же каждый член многочлена нужно перемножить с одночленом и полученные произведения сложить .
Например, предыдущий пример мог быть дан в следующем виде:
В этом случае мы умножили бы каждый член многочлен (2 x + y + 5) на одночлен 3 x 2 и сложили бы полученные результаты:
(2 x + y + 5) × 3 x 2 = 2 x × 3 x 2 + y × 3 x 2 + 5 × 3 x 2 = 6 x 3 + 3 x 2 y + 15 x 2
Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения .
То есть чтобы умножить число a на сумму b + c , нужно число a умножить на каждое слагаемое суммы b + c , и полученные произведения сложить .
Вообще, умножение одночлена на многочлен, да и распределительный закон умножения имеют геометрический смысл .
Допустим, имеется прямоугольник со сторонами a и b
Достроим отсутствующую сторону и закрасим для наглядности получившийся прямоугольник:
Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника . Он включает в себя желтый и серый прямоугольники .
Чтобы вычислить площадь получившегося большого прямоугольника, можно по отдельности вычислить площади желтого и серого прямоугольников и сложить получе
Сайт Много Членов
Порноролики С Аналом Бесплатно
Волосатые Видео
Торрент Фильмы Для Взрослых