SON TUSHUNCHASINING RIVOJLANISHI...  

" Sonlar tabiatni miqdor jihatdan boshqaradi deb aytish mumkin".

J. Maksvell  

Son-matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, kishilarning amaliy

ehtiyojlaridan kelib chiqqan.Sonlarning vujudga kelishi va taraqqiyoti tarixi ilk

bosqichlarini quyidagicha bayon etish mumkin:

N a t u r a l s o n - buyum va turli narsalarni sanash ehtiyoji tufayli paydo

bo’lgan.

M u s b a t k a s r s o n — miqdorlarni o’lchash va taqsimlash ehtiyoji

tufayli vujudga kelgan.

M a n f i y s o n l a r - matematikaning o’z ehtiyojlari, ya’ni algebraik

tenglamalarni yechish va nazariy asoslash ehtiyojlari sababli yaratilgan.

N o l s o n i — manfiy sonlarning kiritilishi tufayli paydo bo’lgan.

Bu ro’yxatni davom ettirish mumkin, lekin biz yuqorida tilga olingan

sonlardan so’ng vujudga kelgan irrasional sonlar tarixi xaqida ma’lumotlarni bayon

etishga kirishamiz.

Pifagor maktabida (miloddan avvalgi V asr) rasional sonlar har qanday

kesmalarni aniq o’lchash uchun yetarli emasligi isbotlangan, o’lchovdosh

bo’lmagan kesmalar, mavjudligi isbotlangan. Masalan, yuzi 2 ga teng kvadratning

tomoni uning diagonali bilan o’lchovdosh emasligi Ye v k l i d n i n g «Negizlar»

10-kitobida qarama-qarshisidan faraz qilish yuli bilan isbotlanadi.

Bu kashfiyot Pifagor ta’limotiga zid edi, chunki ularning fikricha har "qanday

miqdorni butun sonlar va ularning nisbatlari orqali ifodalash mumkin. Dastlab, uni

sir saqlashga intildilar.

Pifagorchi Gippas Metapontskiy (molod. avv. V asr) ishini davom ettirib,

shu asr oxirida Teodor Kerenskiy 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 44, 15, 17 kvadrat

birlik yuzga ega bo’lgan kvadratlarning tomonlari birlik kvadratning tomoni bilan

o’lchovdosh emasligini, ya’ni irrasional ekanligini isbotladi, Teetet esa umumiyrok

masalani, ya’ni ixtiyoriy butun N son (to’liq kvadrat bo’lmagan) uchun N

sonning irrasionalligini asosladi.

Cheksiz ko’p kesma va geometrik miqdorlarni butun va kasr sonlar yordamida

o’lchab bo’lmasligini anglagan pifagorchilar geometriya va algebrani sonlar

haqidagi ta’limot yordamida emas, balki geometriyaning o’zi yordamida

asoslashga urindilar. Shunday qilib, g ye o m ye t r i k a l g ye b r a yaratildi va

rivojlandi, Shu asosda matematiklar butun sonlarni va har qanday miqdorlarni

kesmalar, to’gri to’rtburchaklar va boshqa shakllar yordamida geometrik

ifodalashga kirishdilar.  

Arab Sharqi mamlakatlarida VII asrdan boshlab matematika rivojlana bordi.

Bu davrda son tushunchasining rivojlanishida Markaziy Osiyolik olimlardan AlXorazmiy (783-850), Abu Rayhon Beruniy (973-048), Abu Ali ibn Sino (980-

1037), Abu Nasr Forobiy (873-950), Umar Hayyom (1048-1131) va boshqalar

muhim kashfiyotlar qildilar. Jumladan:

1. Oltmishlik sanoq sistemasi takomillashtirildi;

2. Sonlardan kvadrat ildiz chiqarish usullari ishlab chiqildi;

3. O’nli kasrlar kashf etildi;

5. Binom formulasi isbotlandi;

6. Musbat haqiqiy son tushunchasi kengaytirildi.

Al-Xorazmiy o’zining «Hind xisobi haqida» asarida o’nlik sanoq sistemasini

batafsil bayon etgan bo’lsada u faqat 300 yildan so’nggina keng qo’llanila

boshlandi,

Manfiy sonlarni birinchi marta fransuz olimi Nikola Shyuke (1445- 1500)

ning «Son haqidagi fan», (1484, Lionda 1848 yilda chop etilgan) asarida uchratish

mumkin. Lekin bu sonlar haqidagi dastlabki tasavvurlar Hindiston va Xitoy

matematiklari asarlarida mavjud bo’lgan. Masalan, xitoy matematiklari beshta

noma’lumli beshta chiziqli tenglama sistemasini yechishda manfiy sonlardan

oshkor ravishda bo’lmasada foydalanganlar. Hind matematigi B r a x m a g u p t

a (598-660) manfiy sonlarni «qarz» sifatida ifodalaydi. U quyidagi qoidalardan

foydalanadi: «Ikkita qarzning yig’indisi qarz. Yo’q va qarz yig’indisi yana qarz.

Musbat sonni «buyum» deb ataydi, shuning uchun u «buyum» va «qarz»

yigindisini ularning ayirmasiga teng deb ta’riflaydi. Agar ular teng bo’lsa, ayirma

nol bo’lishini ko’rsatib o’tadi.

Arab matematiklari manfiy ishorani «dushman», musbat ishorani esa

«do’st» sifatida qarab, har xil ishorali sonlar ko’paytmasining ishorasi haqida

xayotiy «qoidalar»ni talqin etganlar.

Irrasional sonlar sohasida eron, matematigi A l- K a r x i y (1016 yilda vafot

etgan) «Al-faxriy» kitobida kvadrat va kub ildizlardan iborat ko’phadlar

qiymatlarini topadi, murakkab bo’lmagan kub ildizlar ustida shakl

almashtirishlarni amalga oshiradi, masalan,

ko’rinishdagi ifodalarni qaraydi.

«Rasional» atamasi lotinchadan «ratio» nisbat so’zidan kelib chiqqan bo’lsa,

«irrasional» tushunchasi rasional bo’lmagan ma’noda ishlatilgan. Dastlab bu

atamalar o’lchovli va o’lchovdosh bo’lmagan miqdorlarga nisbatan qo’llanilgan. V

va VI asrlarda Rimlik matematiklar Marsian, Kapella va Kassiodor bu atamalarni

lotinchaga «rasional» va «irrasional» deb tarjima qilganlar.

Yevklid «Negizlar» asarida irrasional sonlarni geometrik nuqtai nazardan

bayon etadi, ammo eramizning boshiga kelib Yunonistondagi geometrik algebraga

qarama-qarshi o’laroq Sharq mamlakatlarida geometriyagina emas, balki

arifmetikaga asoslangan algebra ham rivojlana bordi, tekis va sferik

trigonometriya, astronomiya uchun zarur xisoblash usullari takomillashdi.

Hindiston, O’rta va Yaqin Sharq matematiklari algebra, trigonometriya va

astronomiyani rivojlantira borib, irrasional sonlarsiz ish tuta olmas edilar, lekin

shunday bo’lsada, ular bu sonlarni ko’p vaqt tan olmay yurdilar. Yunonlar irrasional miqdorni «alogos»- so’zlar bilan ifodalanmaydigan deb, arablar esa

«asamm»- gung deb atar edilar.

XVI asrda italyan matematigi R a f a e l B o m b ye l l i(1526-1572) va

golland matematigi S i m o n S t ye v i n (1548-1620) ham irrasional soni rasional

songa qaraganda kuchli son deb qaragan edilar.

Ulargacha ko’pgina Yaqin va Uzoq Sharq matematiklari ham irrasional

sonlarni algebrada keng qo’llaganlar. Masalan, Umar Hayyom «Yevklidning qiyin

postulatlariga sharhlar» nomli asarida o’sha davr matematikasining rivojlanayotgan

nazariyalari va ularning turlicha tatbiq etilishi asosida bo’linadigan birlikni va

umumlashgan son tushunchasini kiritdi, ularni son deb atadi. Bu umumlashgan son

tushunchasi ham rasional son, ham irrasional sonin o’z ichiga oladi.

Shunday qilib, Umar Hayyom qadimgi matematiklarning son xaqidagi

tushunchasiga yangilik kiritdi, miqdorlar nisbatini son deb ta’rifladi. Bu nisbat

eski ma’noda- butun son, yangi son,edi. Hayyom irrasional miqdor bilan son

orasidagi farq yo’qligini ko’rsatib, son tushunchasini musbat haqiqiy son

tushunchasigacha kengaytirdi.

By soha buyicha ozarbayjonlik matematik Nasriddin Tusiy (at-Tusiy, 1201-

1274) ham katta ishlarni amalga oshirdi. U «To’liq to’rttomonlik haqida risola» va

«Yevklidning bayoni» asarlarida nisbatlar nazariyasi va son xaqidagi ta’limotni

yanada rivojlantirdi.

Jumladan, Sharqda va keyinchalik O’rta asr Yevropasida shuhrat qozongan

«Yevklidning bayoni» («Tahriri Uklidis») asari ikki xil variantda bizgacha yetib

kelgan: birinchisi, qisqa bayoni va ikkinchisi 10 ta kitobdan iborat mufassal bayoni

1594 yilda Rimda chop etilgan. Bu asarida olim kvadrat irrasionalliklar ustida fikr

yuritadi, shuningdek, rasional miqdorga quyidagicha ta’rif beradi: «Berilgan

miqdorga nisbatda turgan xar qanday miqdor rasional deyiladi, bunda son songa

nisbatda bo’ladi». Aks holda u irrasional miqdor deb tushuntiradi, Irrasional

miqdor biror miqdorga nisbatan, agar bu miqdor irrasional bo’lsa, sonning songa

nisbati kabi munosabatda bo’ladi. Masalan,  

O’rta va Uzoq Sharq matematik va astronomlari oltmishlik kasrlardan

oydalanganlar. Bu sohada buyuk o’zbek matematigi va astronomi U l u g’ b ye k

1394-1449) ilmiy maktabining yirik olimlaridan biri G’iyosiddin Jamshid al

Koshiy (1385-1430) ish olib borib, «Arifmetika kaliti» (1427) asarining uch

ismida son ta’limotini rivojlantirishga katta hissa qo’shdi. Unda olim butun sonlar

rifmetikasi, butun sonlardan ildiz chiqarish umumiy qoidalarini bayon etdi.

huningdek, binomni butun musbat darajaga ko’tarishni ham birinchi bo’lib

Koshiy keltirib chiqardi.

Mazkur asarda turli kasrlar: suratlari birdan iborat bo’lgan misr kasrlari,

maxrajlari 60 ga teng bo’lgan bobil kasrlari, surat va maxrajlari turli sonlardan

borat oddiy kasrlar, ularning, yozilish usullari, ular ustida amallarni bajarish va

oshqa turli kasrlar bayon qilingan. Bulardan tashqari, olim maxrajlari 10, 100,

000 va h. k. bo’lgan kasrlarni, ya’ni o’nli kasrlarni qaradi, ularga ta’rif berdi,

o’ndan bir», «yuzdan bir», «mingdan bir» va h. k. atamalarni kiritdi. O’nli  kasrlarni yozishda butun qismidan so’ng tik chiziq chizib, so’ng kasr, qismini

yozdi yoki butun qismini bir xil siyoh bilan, kasr qismini esa boshqa rangli siyoh

bilan yozdi. Al-Koshiy o’nli kasrlar ustida amallar bajarish qoidalarini ifodaladi va

ko’p misollarda tushuntirib berdi. Shunday qilib, vatandoshimiz Samarqandlik

olim al-Koshiy o’nli kasrlar nazariyasini asoslagan birinchi olimdir.

Yevropada o’nli kasrlar haqida Koshiy zamonidan: bir yarim asr o’tgandan

keyin golland matematigi Simon Stevin 1585 yilda asar yozdi. U 1594 yilda

yozgan yana bir «Algebraga ilovalar» asarida oldingi-«o’nlik» asaridagi g’oyalarni

rivojlantirib, o’nlik kasrlarni xaqiqiy songa cheksiz yaqinlashtirish uchun ham

ishlatish mumkinligini ko’rsatdi. Shunday qilib, XVI asrda irrasional son

tushunchasini kiritish va asoslash formal usulda bo’lib, o’nli kasrlarni, hisoblash

g’oyasi yaratildi.